2025-2026学年湖北省武汉市水果湖第二中学九年级上册期中考试数学试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年湖北省武汉市水果湖第二中学九年级上册期中考试数学试卷 [附答案]，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若二次函数的与的部分对应值如下表：
则抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
5．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A．B．C．D．
6．某公司10月份的利润为100万元，要使12月份的利润为144万元，则平均每月增长的百分率是（ ）
A．B．C．D．
7．将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（ ）
A．1 mB．2 mC．3 mD．6 m
9．如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则的度数是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知二次函数（，，都是实数），满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，当时，，则的值为（ ）
A．0B．0.5C．1D．2
二、填空题
11．方程的根是 ．
12．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
13．若抛物线与轴无交点，则的取值范围是 ．
14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数（x，-2x）放入其中，得到-1，则x= ．
15．如图，在中，， ，分别以、为直角边，C为直角顶点向外作等腰和等腰，连接、．在的边变化的过程中，当最大时，的长是 ．
16．抛物线（，是常数，）经过点，下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③若，两点均在抛物线上，且，则；④若方程有四个根，则至少有两个正根．其中正确的是 ，（填序号）
三、解答题
17．解下列方程：
（1）；
（2）．
18．如图，一面墙长18m，借助这面墙用长32m的篱笆围成面积为的矩形花园（墙的长度大于花园的长）．求矩形的宽的长．
19．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线的解析式；
（3）当时，的取值范围是________．
20．如图，在四边形中，，，．
（1）将绕点逆时针旋转得，求的度数；
（2）若，，求的长．
21．如图是由边长为个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点都是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．
（1）在图中，将线段向上平移个单位长度，点对应点，点对应点，画出平移后的线段，再将线段绕点顺时针旋转，画出对应线段；
（2）在图中，点是格线上一点，先作点关于点对称的点，再过点作直线分别交于点，使得．
22．某商店销售一种中性笔，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，这种中性笔的月销售量（支）是售价（元/支）的一次函数，其售价（元/支）、月销售量（支）、月销售利润（元）的部分对应值如下表．[注：月销售利润月销售量（售价进价）]
（1）中性笔的进价为________元，关于的函数关系式为________；
（2）商店销售这种中性笔月销售利润是否存在最大值，若存在，求出售价的值，若不存在，请说明理由；
（3）现商店决定每销售1支中性笔就捐赠元利润给“爱心助学”活动，要求在售价不超过37元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，求的取值范围．
23．在等边中，，于D，点E为边上一点，点F为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．
（1）当点E与点A重合时，
①如图1，连接，若的延长线过点C，连接，则线段________；
②如图2，若，连接、． M、N分别为、的中点，连接、和，求线段的长；
（2）如图3，点E不与点A、B重合，若，的延长线交边于点H，连接、．当的周长最小时， _________．
24．抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C．
（1）如图1，当时，直接写出点A、B、C的坐标；
（2）在（1）的条件下，若点P在抛物线上，，求P点的坐标；
（3）如图2，当时，若H是抛物线上B、C之间的一点（不与B、C重合），直线，分别交y轴于M、N两点，在点H运动过程中，总有，求m的值．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意；
故选D．
2．【正确答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意；
、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意；
、当时，方程为，不是一元二次方程，该选项不符合题意；
、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意；
故选．
3．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，根据对称性可求出对称轴为直线，再结合表格中的数据可得答案．
【详解】解：∵当时和当时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∵当时的函数值为，
∴顶点坐标为，
故选C．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟记：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解决问题的关键．
通过计算判别式的值来判断方程的根的情况即可．
【详解】解：∵方程，
∴，，，
∴，
∴ 方程有两个不相等的实数根，
故选D．
5．【正确答案】C
【分析】本题重点考查配方法解一元二次方程，配方法就是通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．此题中，将常数项移到右边，并同时加上一次项系数一半的平方，即，即得到，最后配成完全平方形式即完成求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，关键是正确列出方程并求解．
设平均每月增长的百分率为，根据从10月到12月共两个月增长，列出方程求解．
【详解】解：设平均每月增长的百分率为，
，
，
则，
解得或（舍去），
因此，平均每月增长的百分率是，
故选B．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移变化，熟练掌握平移的规则：左加右减，上加下减，是解题的关键．
【详解】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的表达式为：．
故选B．
8．【正确答案】B
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，
则O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a=﹣0.5，
∴抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，
把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5=﹣0.5x2+2，
解得：x=±3，
2×3﹣4=2，
所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米，
故选B．
9．【正确答案】D
【分析】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
根据旋转的性质即可得到，，，，再根据三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理得出，再根据平角的定义求出，进而可求出．
【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到．
∴，，，，
∴，，
∵在中，，
∴，
∵，，三点在同一条直线上，
∴
∴
故选D．
10．【正确答案】B
【分析】本题考查二次函数中求参数，由题中关系列式求解即可得到答案．
由对任意实数，都有，且当时，有成立，取时，两个不等式同时取等号，得到抛物线过点；再结合当时，，代入二次函数解析式，通过解方程组求解即可得到答案．
【详解】解：∵对任意实数，都有，
∴ 当时，；
∵当时，有成立，
∴当时，；
综上所述，二次函数图象过点，
①；
当时，，
②；
由①②得：，
化简得：，
解得，
故选B．
11．【正确答案】，
【分析】本题考查解一元二次方程，使用因式分解法求解．
【详解】解：方程，
提取公因式，得，
因此或，
即，.
12．【正确答案】
【分析】本题考查坐标与中心对称，根据点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为相反数，据此进行作答即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
13．【正确答案】
【分析】本题考查由抛物线与轴交点情况与判别式的关系求参数，熟记抛物线与轴交点情况与判别式的关系是解决问题的关键．
抛物线与轴无交点，则对应的一元二次方程无实数根，即判别式小于零，列不等式求解即可得到答案．
【详解】解：抛物线与轴无交点，
一元二次方程无实数根，
则
解不等式得.
14．【正确答案】-2
【分析】根据新定义得到x2﹣2（﹣2x）+3=﹣1，然后把方程整理为一般式，然后利用配方法解方程即可．
【详解】解：根据题意得x2﹣2（﹣2x）+3=﹣1，
整理得x2+4x+4=0，
（x+2）2=0，
所以x1=x2=﹣2．
15．【正确答案】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理．根据等腰直角三角形的性质证明可得，确定，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，根据勾股定理可得答案．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线，即点在上时，最大，如图所示：
，
最大值为，
过点作于，如图所示：
由等腰三角形“三线合一”得，
，
∴BC.
16．【正确答案】①②
【分析】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，①根据函数图象经过点的意义，只要得到即可；②由①得，结合判断出的正负即可；③得出对称轴为直线，根据,，则，即可求解；④将两个根转化为交点的横坐标，即可求解．
【详解】解： 抛物线经过点，
，
，
∴，
当时，，
，
该抛物线一定经过，故①正确．
②由①得：，
，
，
，
，
．故②正确．
③抛物线的对称轴为直线，
，，
，
解得：，故③错误．
④方程即，
设，
∵，
∴，
∵方程有四个根，
∴，
此时有两个根，一正一负；
有两个根，均满足；
∴当时，的根均为负，仅有一个正根，结论不成立，错误.
17．【正确答案】（1）
（2），
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）方程左侧为完全平方式，可利用因式分解法求解．
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
解得．
（2）解：
，
解得，．
18．【正确答案】10米
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，找出等量关系列出方程并求解．
设矩形的宽为米，那么长为米，根据矩形面积公式列出方程，求解后结合墙的长度进行取舍．
【详解】解：设矩形的宽的长为米，则长的长为米．
由题意可得方程：
解得，
当时，米，因为墙长18米，，不符合题意，舍去，
当时，米，，符合题意，
所以矩形的宽的长为10米．
19．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、二次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由待定系数法直接求出值，即可得到抛物线的解析式；
（2）由（1）中求得的抛物线的解析式为，求出点，再由待定系数法列方程组求出，即可得到直线的解析式；
（3）由（1）知，，由二次函数图象与性质可得最大值；当时，取得的最小值，是在与时所得值中小的那个；从而得到的取值范围．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，
将点代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知，，
抛物线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，即，
将、代入，得
，
解得，
直线的解析式为；
（3）解：由（1）知，，
，对称轴为，
抛物线开口向下，当时，有最大值，为；
而当时，取得的最小值，是在与时所得值中较小的那个，
当时，；当时，；
，
的最小值是，
综上所述，当时，的取值范围是.
20．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由旋转性质得到，，，再由等腰直角三角形的判定与性质得到，进而等量代换得到，从而得到，最后在中，由三角形内角和定理计算即可得到答案；
（2）将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的延长线于点，如图所示，由旋转性质及四边形内角和得到，从而得到是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解得到，在中，由勾股定理求出，再由旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理列方程求解得到．
【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得，
，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴；
（2）解：将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的延长线于点，如图所示：
，，，，
在四边形中，，，
∴，
，
，
∴，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∴，
，
，即，
解得，
∴，
，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，即，
解得．
21．【正确答案】（1）画见详解
（2）画见详解
【分析】（）根据平移和旋转的性质作图即可；
（）如图，连接并延长交格线于点，由平行线等分线段定理可得，同理作点关于点的对称点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，易得四边形是平行四边形，即得，进而可证，得到，故点即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，线段和即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求．
22．【正确答案】（1）
（2）存在，
（3）
【分析】（1）设进价为元/支，由销售表列方程求解即可得到答案；设关于的函数关系式为，将代入关系式列二元一次方程组求解即可得到答案；
（2）由题意，得到，根据二次函数图象与性质求最值即可得到答案；
（3）由题意，得到新的销售利润，由二次函数图象与性质得到当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，列不等式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设进价为元/支，
则由销售表可得，
解得；
设关于的函数关系式为，
将代入关系式可得，
解得，
则关于的函数关系式为.
（2）解：存在，
由题意可得
，
，
二次函数图象开口向下，当时，函数值有最大值；
（3）解：要求在售价不超过37元，
，
新的销售利润
，
二次函数图象开口向下，对称轴为，
则当时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，
，
解得，
的取值范围．
23．【正确答案】（1）①6；②
（2）
【分析】（1）①根据题意得是等边三角形，当E和A重合时，可证，得出，根据三角形外角的性质等可求出，，根据等角对等边得出，根据含角的直角三角形的性质得出，则 ，即可求解；
②由①可求，，过点N作交于点K，证明，根据相似三角形的性质可求出，，根据勾股定理求出，由①知： ，则，，证明，得出，，则，进而可证为等边三角形，最后根据等边三角形的性质求解即可；
（2）根据旋转的性质，等边三角形的判定与性质可求出，，则，故A、E、F、H四点共圆，根据圆周角定理可得出 ， ，，根据含角的直角三角形的性质，根据勾股定理求出，可求的周长为，故当时，最小，即的周长最小，此时可证明是等边三角形，得出，进而可证垂直平分，根据三线合一可求出，然后证明，得出，然后根据含角的直角三角形的性质，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：①等边中，，
，，
，
，，
，
线段绕点E顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
当E和A重合时，，
，
又，，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
；
②由①知，
又，
，则，
过点N作交于点K，
，，
，
，
，
点 N为的中点，
，
，
，，
，
在中，，
由①知： ，
，，
M、N分别为、的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
为等边三角形，
；
（2）解：线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，
为等边三角形，
，，
，
，为等边三角形，
，，
，
A、E、F、H四点共圆，如图所示，
，
，，
，
，
的周长为，
当时，最小，即的周长最小，
如图，
又，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
垂直平分，
平分，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
又，
，
24．【正确答案】（1）
（2）或
（3）
【分析】（1）当时，，即可求出；
（2）可得，当点在直线下方抛物线上时，记为，可得，过点作交于点，过点作轴的平行线，过点分别做平行线的垂线，垂足为点，则，求出，继而可求直线，则与抛物线解析式联立即可求解；当点在直线下方抛物线上时，记为，过点作轴的垂线交直线于，，则，则，同理可求直线，即可同上求解；
（3）本题可先设出点，其中，再分别求出直线，的解析式，进而得到​M、N的纵坐标、，结合，最后根据列出等式求解​m的值．
【详解】（1）解：当时，．
令，则；
令，则，
解得，或．
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
当点在直线下方抛物线上时，记为
∵，
∴，
过点作交于点，过点作轴的平行线，过点分别做平行线的垂线，垂足为点，
∴为等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线，则，
解得，
∴直线，
则
则，
解得或（舍）
∴；
当点在直线下方抛物线上时，记为，
过点作轴的垂线交直线于
∴
∵，，
∴，
∴，
对于直线，当时，，
解得，
∴，
∴，
∴，
同理可求直线，
则，
解得，（舍），
∴，
综上：P点的坐标为或；
（3）解：设，其中．
对，
令，则．
∴．
∴．
解得．
令，得．
∵A在B左侧，
∴，．
设直线的解析式为，
把，代入可得：
．​​
，得．
解得．​
把代入①，得．
∴．
∴直线的解析式为．
令，可得．
设直线的解析式为​，
把，代入可得
．
，得．
解得．​
把代入③，得．
∴．
∴直线的解析式为．
令，可得．
∵，
∴设C的纵坐标为．
∵，，
且，H在B、C之间，
∴．
即．
∴．
∵，
∴．
约分，得．
∴．
∴．
∵方程对任意t（H运动过程中）恒成立，
∴含t的系数必须为 0．
∴．
解得：．
故m的值为．​​0
1
2
3
3
0
0
3
售价元/支）
30
32
月销售量（支）
200
180
月销售利润（元）
2000
2160