2025-2026学年河北省石家庄市第十七中学八年级上册12月期中数学试卷 [附答案]

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一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．实数，，0，，1.010010001…中无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列说法正确的是( )
A．的平方根是B．的平方根是
C．的立方根是D．没有算术平方根
4．如图，在△ABC 中，∠C=90 ，D 是BC 边上的一点，∠1=∠2 ，BC=10 ，BD=7 ，则点D 到AB 的距离为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．10
5．下列语句中正确的是（ ）
A．近似数精确到千分位B．近似数精确到个位
C．近似数万精确到千分位D．近似数精确到百分位
6．若分式的值为零，则的值是（ ）
A．B．C．D．或0
7．如图，已知的六个元素，甲、乙、丙三个三角形中标出了某些元素，则其中与全等的三角形是（ ）
A．只有乙B．只有丙C．甲和乙D．乙和丙
8．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
9．某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．尺规作图要求： I、过直线外一点作这条直线的垂线： II、 作线段的垂直平分线；III、过直线上一点作这条直线的垂线： IV、 作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是( )
A．①-IV，②-II，③-I，④-IIIB．①-IV， ②-I，③-II，④-I
C．①-II，②-IV，③-1II，④-ID．①-IV，②-I，③-II，④-III
12．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与射线，交于点，，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的为（ ）
A．①③B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题
13．比较大小：
14．二次根式有意义的条件是 ．
15．如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 处．（填写区域对应的序号）
16．如图，点C在线段BD上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿AC向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动：过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N、设运动的时间为ts，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为 s．
三、解答题
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．计算：．
19．化简求值：，其中．
20．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，垂足为D，且．
求证：．
21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出关于直线l对称的，的面积为______；
（2）在直线l上找一点Q，使的值最小．
22．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在距地面高的C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，，求妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度．

23．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场；某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价格比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少．
（1）求今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，A，B两种型号车的进货和销售价格如下表，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？
24．如图， 和都是等边三角形， 直线， 交于点．
（1）如图1，当，，三点在同一直线上时，的度数为，线段与 的数量关系为___．
（2）如图2， 当绕点顺时针旋转（）时， （） 中的结论是否还成立？若不成立， 请说明理由： 若成立， 请就图给予证明．
（3）若， ， 当绕点顺时针旋转一周时， 求出长的取值范围．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
B．该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C．该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
D．该图既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；
故选D．
2．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
根据无理数的定义，判断所给实数中哪些是无理数，统计个数后选择答案．
【详解】解：无理数是无限不循环小数．是开方开不尽的数，是无理数；中是无限不循环小数，所以是无理数；是无限不循环小数，是无理数；是整数，是有理数；是分数，是有理数．
所以无理数有，，，共个．
故选C．
3．【正确答案】D
【分析】本题考查平方根、立方根和算术平方根的概念．根据定义，算术平方根仅针对非负数，负数无算术平方根；平方根有两个值(正负)；立方根只有一个实数值．
【详解】解：∵ 算术平方根定义为非负数的非负平方根，
∴ 负数没有算术平方根，故D正确．
A错误，的平方根是，而非仅；
B错误，∵，的平方根是，而非；
C错误，的立方根是，而非
故选D．
4．【正确答案】A
【分析】根据题意易求CD=3 ，由角平分线的性质可知DE=CD ，即可求得．
【详解】解：作DE⊥AB 于点E ，如图，
∵ BC=10 ，BD=7 ，
∴ CD=BC−BD=3 ，
∵ ∠1=∠2 ，
∴ AD 是∠CAE 的角平分线，
∵ ∠C=90 ，DE⊥AB ，
∴ DE=CD=3 ，
∴ DE 是点D 到AB 的距离，
即点D 到AB 的距离为3 ，
故选A．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了近似数的精确度，近似数精确到某一位，是指该数的最后一位数字所在的数位，逐项判断各选项的精确度即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：近似数，精确到百位，原选项说法错误，不符合题意；
、近似数精确到个位，原选项说法正确，符合题意；
、近似数万精确到千位，原选项说法错误，不符合题意；
、近似数精确到千分位，原选项说法错误，不符合题意；
故选．
6．【正确答案】C
【分析】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可．
根据分式值为零的条件可得且，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴且，
解得：．
故选C
7．【正确答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的判定．分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可．
【详解】解：由图形知，中，边长为a的对角为，邻角为，
甲中，边长为a的对角为，∴甲中三角形与不一定全等；
乙中，，则边长为a的对角为，邻角为，∴乙中三角形与全等；
丙中，边长为a的对角为，邻角为，∴丙中三角形与全等；
综上可知：能和全等的是乙、丙，
故选D．
8．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了三角形角平分线的性质，熟练掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键．
根据“到三角形三边距离相等的点的性质”，结合三角形特殊点的定义来判断凉亭位置．
【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴该点是三条角平分线的交点，
故选．
9．【正确答案】D
【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可．
【详解】解：设自行车的速度为，则汽车的速度为，，由题意，得：
；
故选D．
10．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，关键在于审清题意，看懂图形，找到各部分面积的关系．先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形．
因为三个小正方形的面积分别为，
所以三个小正方形的边长分别为：，，．
由图知大正方形的边长为：，
所以．
故选A．
11．【正确答案】D
【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【详解】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是：①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅱ，④-Ⅲ．
故选D．
12．【正确答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键．
根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解．
【详解】解：∵点在的角平分线上，
∴，
如图所示，过点作于点，作于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在四边形中，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由可得，
∴，故②正确；
由可得，
∴，
∴四边形的面积是定值，故③正确；
如图所示，连接，由上述结论可得，，，，，
∴，即的长度发生变化，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选B．
13．【正确答案】>
【分析】该题考查了二次根式比较大小，通过比较两数的平方值，根据正数平方大的原数也大，判断大小关系．
【详解】解：∵ ， ，且，
∴ ．
14．【正确答案】
【分析】本题考查二次根式的概念，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，同时考虑分式中分母不能为零，据此进行解题即可．
【详解】解：由二次根式有意义的条件得：且
由于分子，
所以分母，解得．
故答案为．
15．【正确答案】②
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
【详解】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
这个正方形应该添加区域②处.
16．【正确答案】1或3
【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点P在上，点Q在上时；点P在上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解．
【详解】解：当点P在上，点Q在上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与全等，
∴，
∴，
∴，
当点P在上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与全等，
∴，
∴，
∴，
综上所述：t的值为1或3．
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后并检验即可；
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后并检验即可．
【详解】（1）解：，
方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为；
（2）解：，
方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
18．【正确答案】
【分析】本题考查了零次幂，求一个数的算术平方根，化简绝对值，乘方运算，正确掌握相关性质是解题的关键．先求一个数的算术平方根，进行乘方运算，化简零次幂以及绝对值，再进行加减运算，即可作答．
【详解】解：
．
19．【正确答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．先化简分式，然后将x的值代入计算．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．【正确答案】见详解
【分析】本题主要查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，，即可求证．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
21．【正确答案】（1）见详解；4
（2）见详解
【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图，再利用割补法求面积即可；
（2）连接，交直线于点Q，根据轴对称的性质解答即可．
【详解】（1）解： 如图，即为所求，
的面积为: .
（2）解：如图，连接，交直线于点Q，点Q即为所求．
∵和关于直线l对称，
∴，
∴，
即的值最小，点Q即为所求．
22．【正确答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，可证明得到，据此求出的长，进而求出点D与地面的距离即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵爸爸在距地面高的C处接住她，
∴点E到地面的距离为，
∴点D到地面的距离为，
答：妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度为．
23．【正确答案】（1）1600元
（2）30辆
【分析】本题主要考查了列分式方程和一元一次不等式解决实际问题，解题的关键是找准等量关系和不等关系．
（1）设今年售价为元，则去年售价为元，根据数量相等列出方程求解即可；
（2）设A型车进了辆，则B型车进了辆，根据利润列出不等式，然后求解即可．
【详解】（1）解：设今年售价为元，则去年售价为元，根据题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解，并符合题意，
∴今年A型车每辆售价为1600元；
（2）解：设A型车进了辆，则B型车进了辆，根据题意得，
，
解得，
∴A型车至多进30辆．
24．【正确答案】（1），；
（2）成立，理由见详解
（3）
【分析】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定及性质，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键．
（1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论；
（2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出；
（3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，，
，且，
，
综上，的度数为，线段与 的数量关系为.
（2）解：（1）中结论仍成立，证明如下：
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，，
，且，
；
（3）解：是等边三角形，
，
当旋转时，B、C、D三点共线且最大，，此时；
当旋转时，B、C、D三点共线且最小，，此时；
∴长的取值范围为．
A型车
B型车
进货价格（元）
1100
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2000