2025-2026学年山东省烟台市芝罘区上 册九年级数学12月月考试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年山东省烟台市芝罘区上 册九年级数学12月月考试卷 [附答案]，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．反比例函数y=﹣中常数k为（ ）
A．﹣3B．2C．﹣D．﹣
2．对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．图象分布在一、三象限B．y随x的增大而减小
C．图象与坐标轴无交点D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上
3．如图是三个反比例函数，，在x轴上方的图象，由此观察k₁，k₂，k₃的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ）
A．或或B．或
C．或D．或或
5．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
6．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；
②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的有（ ）
A．B．C．D．
7．已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为3，则的值为（ ）
A．B．或C．或D．
8．如图，点在上，，点是的中点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以点为圆心，半径为1的圆上的动点，点Q是线段的中点，连结，则线段的最大值是（ ）
A．3B．2C．D．
10．如图，已知矩形中，点E是边上的点，，垂足为F下列结论：①；②；③平分；④其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是 ．
12．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点．若阴影部分的面积是，则半圆的半径OA的长为 ．
13．点，，在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是 ．
14．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是 ．

15．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为 ．
三、解答题
16．计算：
（1）；
（2）．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图象经过直线上的点．
（1）求直线的表达式；
（2）已知点在反比例函数的图象上，且，求点的坐标．
18．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与，若点C到地面的距离为，坐垫中轴E处与点B的距离为，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：，，）
19．直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点．
（1）求一次函数与反比例函数的关系式；
（2）若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标．
20．如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的值．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求的面积；
（3）若点Р是抛物线上的一个动点，过点Р作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
22．如图，为的直径，为弦的中点，连接并延长交于点，过点作∥，交的延长线于点，连接，．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若时，
①求图中阴影部分的面积；
②以为原点，所在的直线为轴，直径的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段上求一点，使得直线把阴影部分的面积分成的两部分．
23．投掷实心球是贵州省中考体育考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度米与水平距离米之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为2米，当水平距离达到4米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据黔东南州中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分15分．请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由．
（3）实心球运动的抛物线经过，两点，且M，N分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求m的值．
答案
1．【正确答案】D
【详解】试题解析：反比例函数y=-中常数k为.
故选D．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据反比例函数的定义及性质，逐一分析选项即可．
【详解】解：A：反比例函数中，，因此图象分布在第一、三象限，正确；
B：当时，反比例函数在每一象限内随的增大而减小，但若未限定“在每一象限内”，当跨越正负时（如从增大到），会从增加到，此时反而增大，因此选项B的表述不严谨，错误；
C：反比例函数定义域为，值域为，故图象与坐标轴无交点，正确；
D：若点在图象上，则，即，点代入函数得，因，等式成立，故也在图象上，正确；
故选B
3．【正确答案】C
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质．根据图象所在的象限，判断出，再根据的图象在的图象的上方，得到，即可．掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
【详解】解：∵的图象在第二象限，，的图象在第一象限，且的图象在的图象的上方，
∴，
∴；
故选C．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．
由函数图象可知，当或时，函数在的图象的上方，据此即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，
当或时，函数在的图象的上方，
∴，
故选C．
5．【正确答案】A
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝12，
∴×π×+π×+AC×BC﹣π×＝12，
∴AC×BC＝24，
AB＝．
故选A．
6．【正确答案】C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①抛物线开口向下，则，
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a，b异号，即，
抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，
故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线，
∴函数的最大值为：，
∴，即，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，
∴当时，，
∴，
故④错误；
⑤∵，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，即，
∵，
∴，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选C．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查一次函数与x轴交点问题，二次函数图象性质，二次函数的最值．根据二次函数的图象与轴最多有一个公共点，得，求得，再根据的最小值为3，分类讨论，求出t值即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点，
∴
化简得
解得：，
∵，
∵，抛物线开口向上，
当时，∵，y随m增大而增大，
∴时y值最小，此时最小值为
∵的最小值为3，
∴
解得：；
当时，
当时，y有最小值
∵的最小值为3，
∴
此时t无解；
当时，∵，y随m增大而减小，
∴ ，y值最小，此时最小值为
∵的最小值为3，
∴
解得（舍去）；
综上，若的最小值为3，则．
故选D．
8．【正确答案】B
【分析】连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，再根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：如图所示，连接，
，点是的中点，，
，
由圆周角定理得：，
故选B．
9．【正确答案】A
【分析】当、、三点共线，且点在之间时，最大，而是的中位线，即可求解．
【详解】解：令，则，
故点，
设圆的半径为，则，
连接，而点、分别为、的中点，故是的中位线，
当、、三点共线，且点在之间时，最大，此时最大，
则，
故选A．
10．【正确答案】B
【分析】根据矩形的性质证明≌，，利用勾股定理求出，然后逐一进行判断即可解决问题．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
≌，
，，故①②正确，
不妨设平分，则是等腰直角三角形，这个显然不可能，故③错误，
，，
，
，
，故④错误，
正确的结论有①②共个．
故选B．
11．【正确答案】3
【分析】分别过、两点作轴的垂线，构成直角梯形，根据，判断为直角梯形的中位线，得出，根据双曲线解析式确定、两点的坐标及、的长，根据求解．
【详解】解：分别过、两点作轴，轴，垂足为、，
，
，
设，所以，
．
12．【正确答案】4
【分析】如图，连接 证明再证明从而可以列方程求解半径．
【详解】解：如图，连接
点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，


为等边三角形，





解得： （负根舍去）
13．【正确答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于的一元一次不等式．根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为，由题意推出二次项系数小于，再结合、点坐标的特点即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：二次函数的对称轴为，
∵点在二次函数的图象上，且，
∴当时，有最大值，
，
∴二次函数图象在上随的增大而增大，在上随的增大而减少，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴点离对称轴更近，
，
解得.
14．【正确答案】
【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值．
【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．

∵，
∴，
∵，
设，，

∴，
∴，
∴或（舍弃），
∴，
∵，，，
∴（等腰三角形两腰上的高相等）
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为.
15．【正确答案】的值为8或
【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可．
【详解】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
①当时，即时，
，在对称轴右侧，随的增大而减小，
当时，有最大值为6，
，
解得：；
②当时，即时，
当时，有最大值为6，
，
解得：，
，
（不合题意，舍去），
③当时，即时，
，在对称轴左侧，随的增大而增大，
当时，有最大值为6，
，
解得：，
综上所述，的值为8或．
16．【正确答案】（1）；
（2）．
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据特殊角的三角形函数值，零指数幂化简，再根据实数的混合运算求解即可；
（2）根据特殊角的三角函数值，绝对值意义，负整数指数幂，算术平方根进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出点P坐标，再把点P坐标代入一次函数解析式，求出k值即可；
（2）根据得出，利用两直线平行，比例系数相同，得求出直线的表达式为：，再联立函数解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴直线的表达式为：．
（2）解：如图，
∵，
∴，
又∵直线的表达式为：，
∴直线的表达式为：，
联立，得，
解得：，，
∵，
∴．
18．【正确答案】点E到地面的距离约为
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意；过点C作于点H，过点E作垂直于延长线于点F，设，则，，然后可得，则有，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
过点C作于点H，过点E作垂直于延长线于点F，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，，
由可知：，
解得：，
∵，，
∴，
则点E到地面的距离为，
答：点E到地面的距离约为．
19．【正确答案】（1），
（2）或．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）利用先求出反比例函数的关系式，得到，再利用待定系数法求解一次函数关系式即可；
（2）先求出，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象分别交于点和点，
∴，，
∴反比例函数，
当时，，
∴；
将，代入得，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：在中，当时，，即，
当时，，解得：，即，
∵与相似，
∴当时，，
∴，
设点P的坐标为，
则，
解得，
∴此时点的坐标为；
当时，，
∴，
设，则，，，
，
解得：，
此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
20．【正确答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，再由，即可得出．根据圆周角定理结合题意可知，即得出．由此易证，即得出．
（2）过点作，垂足为．根据题意可求出，结合（1）可知，即可求出．根据题意又可求出，利用三角函数即可求出，最后再利用三角函数即可求出最后结果．
【详解】（1）证明：∵四边形是圆的内接四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点作，垂足为．
∵，，
∴．
由（1）知．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
21．【正确答案】（1）y＝−x2＋2x＋；（2）；（3）（，2）或（，2）
【分析】（1）利用二次函数的交点式，结合待定系数法即可求解；
（2）△AMC的面积＝S△MHC＋S△MHA＝×MH×OA，即可求解；
（3）点D在直线AC上，设点D（m，−m＋），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．
【详解】解：（1）令x＝0，则y＝，即C（0，），
设抛物线的表达式为y＝a（x−5）（x＋1），
将点C的坐标代入上式得：＝a（0−5）（0＋1），
解得a＝−，
∴抛物线的表达式为：y＝−（x−5）（x＋1）＝−x2＋2x＋；
（2）由抛物线的表达式得：顶点M（2，），
过点M作MH∥y轴交AC于点H，
设直线AC的表达式为y＝kx＋t，
则，解得：，
∴直线AC的表达式为：y＝−x＋，
当x＝2时，y＝，则MH＝−＝3，
则△AMC的面积＝S△MHC＋S△MHA＝×MH×OA＝×3×5＝；
（3）点D在直线AC上，设点D（m，−m＋），
由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，
∴EF2＝OD2＝m2＋（−m＋）2＝m2−m＋，
∵＞0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m＝1，
∴点D（1，2），
∵点P、D的纵坐标相同，
∴2＝−x2＋2x＋，解得x＝
故点P的坐标为（，2）或（，2）．
22．【正确答案】（1）见详解；（2） ① ②或
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的三线合一定理得出OD⊥AC，根据平行线的性质得出OD⊥DE，从而得出切线；
（2）首先得出△AOD为等边三角形，然后根据题意得出△ACD和△OCD的面积相等，从而得出阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后根据扇形的面积计算法则得出答案；
（3）根据题意得出直线AC的解析式，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥AD，垂足分别为M，N，设设根据面积分成1:2两部分得出△APD的面积等于阴影部分面积的或列出方程，求出x的值，得出点P的坐标.
【详解】解：（1）连结，∵，为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴是⊙O的切线 ；
（2）①由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴，∴， ∵，
∴，
∴；
②由已知得： ∴直线的表达式为
过点P分别作轴，垂足分别为，， 由①得平分
∴设
∵直线把阴影部分的面积分成的两部分，
若 即
解得：，此时
若同理可求得
综上所述：满足条件的点P的坐标为和
23．【正确答案】（1）
（2）该生在此项考试中得到满分，理由见详解
（3）m的值为或
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键．
（1）设y关于x的函数表达式为：，将代入得，，解方程即可得到结论；
（2）令，则，解方程得到舍去，比较即可得到结论；
（3）①如右图，当时，，②如右图，当时，，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：依题意设y关于x的函数表达式为：，
将代入得，，
解得：，
关于x的函数表达式为：；
（2）解：该生在此项考试中得到满分，理由如下：
令，
则，
解得：舍去，
，
该生在此项考试中得到满分；
（3）解：①如右图，当时，，
即，
解得：或；
与相矛盾，故舍去，
；
②如右图，当时，，
即，
解得：或，
与相矛盾，故舍去，
，
综上所述，m的值为或．