黑龙江省鸡西市2025~2026学年上册八年级1月期末数学试题【附解析】

这是一份黑龙江省鸡西市2025~2026学年上册八年级1月期末数学试题【附解析】，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列式子中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列作图中，点M到、两边距离相等的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（ ）
A．缩小到原来的B．扩大倍
C．不变D．缩小到原来的
5．如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（ ）
A．4B．8C．16D．32
6．如图，，是过A的一条直线，且在异侧，于D，于E．若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．5D．8
7．蝴蝶颜色绚丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美．如图，蝴蝶图案关于轴对称，点的对应点为，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．DeepSeek公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．x+（x-2）=1.2
9．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：其中能够验证平方差公式有（ ）
A．①②③④B．①③C．①④D．①③④
10．如图，在中，，，为边边上的中线，于G，交于F，过点B作的垂线交于点E．有下列结论：①；②；③G为的中点；④F为的中点；⑤．其中正确的结论有（ ）个．
A．①②③B．①③④C．①②⑤D．③④⑤
二、填空题
11．中国宝武太原钢铁集团生产的手撕钢，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅米，是世界上最薄的不锈钢，数据“”用科学记数法表示为 ．
12．如图，已知点在的边上，以为边作．若，，则添加条件 （只需添加一个条件即可），使得．
13．若分式有意义，则的取值范围是 ．
14．因式分解： ．
15．如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为 ．
16．若，则的值为 ．
17．如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF=6，CF=2，则AC= ．
18．如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1=∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，…．若∠α=55°，∠γ=75°，则∠β= °．
19．如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点从点出发在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有与全等，则此时的长度为 ．
20．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，…均为等边三角形，若，则的边长为 ．
三、解答题
21．计算：
（1）；
（2）．
22．先化简．再求值：，其中．
23．如图，的三个顶点的坐标分别为，，．

（1）在图中，请画出与关于轴对称的；
（2）直接写出点的坐标；
（3）求作轴上一点，使得最短．
24．大家约定：关于的代数式，，若不论为何值，都有（m为常数），则称代数式，互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，，因为，所以，互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题．
（1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”．
①与（______）；②与（______）．
（2）已知关于的整式，，若，互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值．
25．（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，BC、DE分别是底边．求证：；
（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接．
请直接写出线段、、之间的数量关系______．
26．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表：
（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
（2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量．
27．如图，已知在中，，，，为的平分线，是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，交射线于点．
（1）当点在点的左侧运动时，求证：；
（2）若，，则的长为______．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的定义与判别．根据轴对称图形的定义逐一分析每个选项即可得出答案．
【详解】解：A项：该图形存在一条直线，沿着该条直线对折后，两侧图形能完全重合，是轴对称图形，故A正确；
B项：该图形不存在直线能沿着直线对折后两侧图形完全重合，不是轴对称图形，故B错误；
C项：该图形存在一条直线，沿着该条直线对折后，两侧图形能完全重合，是轴对称图形，故C正确；
D项：该图形存在一条直线，沿着该条直线对折后，两侧图形能完全重合，是轴对称图形，故D正确．
故选B．
2．【正确答案】D
【分析】此题考查了分式的定义．根据分式的定义，分母中必须含有字母的式子才是分式．分析各选项分母是否含有字母即可得到答案．
【详解】解：∵分式的定义要求分母中含有字母，
选项A：分母是数字，不含字母，∴不是分式.
选项B：分母π是常数，不含字母，∴不是分式.
选项C：分母3是数字，不含字母，∴不是分式.
选项D：分母中含有字母a，∴是分式.
故选D.
3．【正确答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，作角平分线和垂线，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由角平分线的性质可得点M在的角平分线上，再根据角平分线的作法判断即可．
【详解】解：点M到、两边距离相等，
点M在的角平分线上，
由作法可知，选项C中为的角平分线，选项A、B、D均为作垂线，
故选C．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键．
先把分式中的和都扩大倍，化简之后与原分式比较即可解答．
【详解】解：如果把分式中的和都扩大倍可得：
，
那么分式的值缩小到原来的，
故选A．
5．【正确答案】C
【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系．
根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可．
【详解】解：∵是中点，
∴，
∵是中点，
∴，，
∴
，
∴，
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，然后证明，得到，最后利用得出答案．
【详解】解：∵于D，于E，
∴，
∵，
，
，
，
，
，
∵，，
∴，
故选B．
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的性质，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于轴对称的两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【详解】解：点与点关于轴对称，
点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，
点的坐标为，
点的坐标为．
故选B．
8．【正确答案】C
【分析】本题考查分式方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键．
设单独处理需要x小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作1.2小时完成，可得出方程．
【详解】解：依题意得，
故选C．
9．【正确答案】A
【分析】分别计算每幅图中两个图形的面积，即可判断．
【详解】解：图①，左边图形的阴影部分的面积＝a2－b2，右边图形阴影部分的面积＝（a＋b）（a－b），
∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故①可以验证平方差公式；
图②，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2－b2，右边图形阴影部分的面积＝（a＋b）（a－b），
∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故②可以验证平方差公式；
图③，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2－b2，右边图形阴影部分的面积＝（2a＋2b）（a－b）＝（a＋b）（a－b），
∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故③可以验证平方差公式；
图④，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2－b2，右边图形阴影部分的面积＝（a＋b）（a－b），
∴a2－b2＝（a＋b）（a－b），故④可以验证平方差公式．
∴正确的有①②③④．
故选A．
10．【正确答案】C
【分析】①由条件可知，可得，再结合条件即可证明；②⑤，结合条件可证明，则有，，可得；③假设G为的中点，先证明，可得，即可证明，进而可得，此与相矛盾，④可得根据直角三角形的斜边大于直角边可得，结合，可知F不可能为中点．即可作答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
又∵D为中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确；
假设G为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，此与相矛盾，
故假设错误，即G不是的中点，故③错误，
在中，，
∵，
∴，
∴F不是的中点，故④不正确；
又∵，
∴，而，
∴，故⑤正确；
故正确的有：①②⑤
故选C
11．【正确答案】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】用科学记数法表示为.
12．【正确答案】（或或）
【分析】本题考查全等三角形的判定．先由角的和差性质证得，结合三角形五种判定方法即可判断．
【详解】解：∵，
∴，
即，
又，
当添加，
则，
当添加，
同理可得出，
当添加，
∵（对顶角相等）
∴，
∴.
13．【正确答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
根据分式有意义的条件，分母不为零，即 ，运算求解即可．
【详解】由题意，分母 ，
解得 .
14．【正确答案】
【分析】本题考查了平方差公式的因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
直接应用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解.
15．【正确答案】
【分析】本题主要考查分式的混合运算，原等式两边除以再加上1即可得出撕掉部分中▲的内容．
【详解】解：
．
16．【正确答案】
【分析】本题考查已知式子的值，求代数式的值．
将转化为，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
17．【正确答案】8
【分析】根据垂直平分线的性质可得AF=BF=6，然后根据已知条件即可求出结论．
【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝6，
∴AF=BF=6
∵CF＝2，
∴AC=AF＋CF=8．
18．【正确答案】65
【分析】根据两条光线与平面镜的夹角相等及三角形内角和即可求得∠ABC，进而可求得答案．
【详解】解：如图所示：
由题意得：∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-∠α-∠γ=50°，
∴.
19．【正确答案】或
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键．
根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可．
【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动，
∴点从的时间为，
∵它们运动的时间为，
∴，，则，
当时，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当时，
∴，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，的长度为或.
20．【正确答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质以及30度角的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
，
∴，
又∵，
，
∵，
，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
以此类推：．
21．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查幂的运算，整式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先进行幂的乘方运算，再合并同类项即可；
（2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
22．【正确答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，先计算括号里分式的减法，再将除法转化为乘法，计算分式的乘法，然后再算分式的减法，通过零指数幂，负整数指数幂求出的值，再代入求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
，
∵．
∴原式
．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）见详解
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据对称性质即可得到坐标；
（3）作点C关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，此时最短．
【详解】（1）如图所示，为所求三角形，
（2）∵点B和关于y轴对称，
∴
（3）如图所示，点P为所求点

24．【正确答案】（1）①√；②×
（2）或或或
【分析】本题主要考查了整式的加减运算，分式的混合运算，利用平方根解方程，绝对值方程等知识点，正确理解“差值代数式”是解决此题的关键．
（1）根据定义解答即可得解；
（2）先由定义得出或，解方程即可得解．
【详解】（1）解：①，
∴当时，与互为“差值代数式”，“差值”为1.
②，
∴与不是“差值代数式”.
（2）解：∵关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，
∴，
∴或，
当时，即 ，
∴或；
当时，即，
∴或；
综上所述，或或或．
25．【正确答案】（1）见详解（2）
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．
（2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，
根据，，，可得，所以，据此判断出即可．
【详解】解：（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
．
（2）和均为等腰直角三角形，
，，，，
，
即，，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
．
26．【正确答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个
（2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键．
（1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可；
（2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购小区预备支出不超过25000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可列方程，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
（元/个）．
答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个．
（2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个），
双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个），
设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元．
∵此次加购小区预备支出不超过25000元，
，解得，
的最小值为8，
∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个．
27．【正确答案】（1）见详解
（2）1或7
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定定理是解题关键．
（1）首先证明，，然后利用“”证明即可；
（2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合求解即可；
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，为的平分线，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：当点在点的左侧时，如下图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当点在点的右侧时，如下图，
∵，，为的平分线，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
综上所述，的长为1或7；
单枪充电桩
花费：50000元
单价：x元/个
双枪充电桩
花费：45000元
单价：元/个