河南省南阳市兴宛学校2025--2026学年高二上册期中考试数学试题【附解析】

这是一份河南省南阳市兴宛学校2025--2026学年高二上册期中考试数学试题【附解析】，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可求解.
【详解】点关于轴对称的点的坐标为．
故选：B.
2. 椭圆与椭圆的（ ）
A. 长轴长相等B. 短轴长相等
C. 离心率相等D. 焦距相等
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出两个椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率，再逐项比对即可判断作答.
【详解】椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，
长轴长是10，短轴长是6，焦距是8，离心率是，
椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，
长轴长是，短轴长是，焦距是8，离心率是，
由于k值的变化，则在所给选项中，椭圆与椭圆只有焦距相等.
故选：D
3. 已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，利用点到直线距离求出b的取值范围.
【详解】因为圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，所以圆心到直线l：的距离小于1，因此有，故本题选D.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想.
4. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可.
【详解】设与直线垂直的直线方程为，
将点代入，可得，解得，
可得所求直线方程为，故B正确.
故选：B.
5. 在空间四边形中，分别是的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意易知是的中位线，即，
所以.
故选：C
6. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间中点到直线的距离的向量求法求解即可.
【详解】依题意，得，．
因此在上得投影长为，
所以点到直线的距离为．
故选：B．
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可得为正三角形，继而得出直线为线段的垂直平分线，写出直线的方程为并与椭圆方程联立，得到韦达定理，由利用弦长公式推出，结合图形将化简转化，利用椭圆的定义即可求得.
【详解】
如图，连接因为，即，，
因，则为正三角形.
又，则直线为线段的垂直平分线，故，，且，
故直线的方程为，代入椭圆的方程，得.
设，则，，
则，
解得，则，
.
故选：D.
8. 已知直线l上两点，，若直线l的倾斜角为，则实数n的值为（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可.
【详解】因为点，在直线l上，直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率为，解得.
故选：A.
二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分）
9. 已知直线，直线m在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线l在y轴上的截距为
B. 向量是直线m的方向向量
C. 直线l与m的交点坐标为
D. 直线l，m与x轴围成的三角形的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，根据直线l的方程，令，即可求解判断；对于B，根据直线l的斜率先得到直线m的斜率，即可得到直线m的一个方向向量，进而判断即可；对于C，先求出直线m的方程，再联立直线m与直线l的方程即可求解，进而判断；对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C，则直线l，m与x轴围成的三角形即，进而求出的坐标，再计算面积即可判断.
【详解】对于A，由直线，令，得，
所以直线l在y轴上的截距为2，故A错误；
对于B，由直线，则直线l的斜率为，
因为，所以直线m的斜率为，
所以直线m的方向向量可以是，
因为，所以是直线m的方向向量，故B正确；
对于C，由题意知，直线m过点，
所以直线m的方程为，即，
联立，解得，
所以直线l与m的交点坐标为，故C正确；
对于D，设直线l，m与x轴的交点分别为A，B，直线l与m的交点为C，
则直线l，m与x轴围成的三角形即，
由直线，令，得，则，
由题意及C选项分析可设，，所以，
则的面积，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线C于A，B两点.以F为圆心，FA为半径的圆交准线l于M，N两点（点M在x轴上方）.以下说法正确的有（ ）
A. B.
C. 的面积是D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据焦点坐标计算求解得出进而判断A，D，再应用圆的性质及三角形面积计算判断B，C.
【详解】由题意知，，，直线l的方程为，直线AB的方程为.
由消去y，整理得，解得或.
因为圆F与准线l相交，所以，所以点A的横坐标，所以，，
所以，，，故A正确.
因为，所以由圆的对称性可知，，所以，，故B正确.
由圆的对称性可知，点，所以.
因为，所以点B到直线l的距离，
所以的面积，故C错误.
由以上分析可知，，所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知斜率为的直线l经过抛物线的焦点，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意可得方程，联立曲线即可解出A，B两点坐标，结合两点间距离公式与向量数量积逐项计算即可得.
【详解】由题意可得，则，
联立可得，解得或，
即，，
对A：，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，，则，
故与不垂直，即不为，故C错误；
对D：，又，故，故D正确.
故选：AD.
三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，.则异面直线与所成的角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的线性运算可表示出，根据向量数量积的定义和运算律可求得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，由向量夹角运算求得，由此可得所求余弦值.
【详解】因为，
所以
，
所以，又，
所以，所以，
所以
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故答案为：.
13. 设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用点差法求解即可．
【详解】设，，则，，
所以，也即，
因为，的中点为，所以，，
所以，所以，
所以直线斜率为，经检验满足题意．
故答案为：
14. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解.
【详解】由题意得直线，即，
由平行线间距离公式得这两条平行线之间的距离为.
故答案：
四、解答题（本题5小题，共77分）
15. 已知圆的圆心在直线上，圆与直线相交于两点，且．
（1）求圆的方程；
（2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先根据题意求出圆心，取中点为，求出，在直角中结合三角函数值求出半径，即可得出答案；
（2）分为直线的斜率是否存在两种情况，再结合直线与圆相切的条件即可求解.
【小问1详解】
由圆的方程得圆心，
因为圆心在直线上，所以，解得，
故圆心坐标，
取中点为，连接，所以，
圆心到直线的距离，
因为，所以，
在直角中，，即，
所以圆的方程为.
【小问2详解】
当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，
此时直线与圆相切，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即，
若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，
所以直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
16. 已知双曲线C的方程为 实轴长和离心率均为2．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于A，B两点， 求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由离心率，再结合实轴长求解；
（2）设的方程为，与双曲线的方程联立，再利用弦长公式求解.
【小问1详解】
由离心率，又，则，
又实轴长，所以，所以，
故双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
∵直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点，
∴的方程为，设，
由，消去，得，
∴，
∴．
17. 如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点.

（1）证明：；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直；
（2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，再代入点到平面的距离公式，即可求解；
（3）求两个平面的法向量，再代入二面角的向量公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为，为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以；
【小问2详解】
因为，，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以，
由（1）得，，故以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，
设平面的一个法向量，
则即，解得，，所以，
所以点到平面的距离.
【小问3详解】
由（2）得，，
设平面的一个法向量，则即
令，解得，，所以，
由（2）知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则
.
18. 已知空间中三点，，，设，.
（1）求与的值；
（2）已知向量与互相垂直，求k的值.
【答案】（1），
（2）5
【解析】
【分析】（1）由向量夹角公式即可求解；
（2）由向量垂直的坐标表示即可求解.
【小问1详解】
因为，，，
所以，，
所以，，
.
【小问2详解】
，
因为向量与互相垂直，
所以，
解得．所以的值是5.
19. 如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
（3）证明：直线与平面相交.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形性质得，由线面垂直性质得,由三棱柱性质可得，因此，最后根据线面垂直判定定理得结论；
（2）根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果；
（3）根据平面一个法向量与直线方向向量数量积不为零，可得结论.
【小问1详解】
在三棱柱中，
∵平面，
∴四边形为矩形，
又E，F分别为，的中点，
∴，
∵，E为的中点，
∴，而，
∴平面；
【小问2详解】
由（1）知，，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
如图建立空间直角坐标系，

由题意得，，，，，
∴，
设平面的法向量为，
∴，
∴，
令，则，，
∴平面的一个法向量，
又∵平面的一个法向量为，
∴，
所以平面与平面的夹角余弦值为；
【小问3详解】
平面一个法向量为，
∵，，
∴，
∴，
∴与不垂直，
∴与平面不平行且不在平面内，
∴与平面相交．