福建省漳州市漳浦道周中学高二下学期第一次月考数学试题-A4

这是一份福建省漳州市漳浦道周中学高二下学期第一次月考数学试题-A4，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.设x,y是实数，已知三点A(1,5,−2)，B(2,4,1)，C(x,3,y+2)在同一条直线上，那么x+y=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.已知函数fx=3f′1x−x2+lnx+12，则f′1=( )
A. −12B. 12C. 1D. 2
3.若{a,b,c}为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( )
A. {c,a+b,a−b}B. {b,a+b,a−b}
C. {a,a+b,a−b}D. {a+b,a−b,2a+b}
4.函数y=x+3x+2lnx的单调递减区间是( )
A. (−3,1)B. (−1,3)C. (0,1)D. (0,3)
5.设函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)且函数y=(1−x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A. 函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(2)
C. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(−2)
D. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
6.点A是曲线y=32x2−lnx上任意一点，则点A到直线y=2x−1的最小距离为( )
A. 510B. 55C. 2 55D. 5
7.函数f(x)=x3−3x−1，若对于区间[−3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)−f(x2)|≤t，则实数t的最小值是 ( )
A. 0B. 3C. 18D. 20
8.丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数fx在a,b上的导函数为f′x,f′x在a,b上的导函数记为f′′x，若在a,b上f′′xcshx恒成立
C. ∀x0>0，sinh(sinhx0)>sinhx0
D. ∀x1，x2∈R，且x1≠x2，则sinhx1−sinhx2x1−x2>1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为 ．
13.已知a=(−1,λ,−2),b=(2,−2,μ)，若a//b，则λ+μ的值为 ．
14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆．该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=6，点E在棱AB上，BE=2AE，动点P满足BP= 3PE，若点P在平面ABCD内运动，则点P对应的轨迹的面积是 ；F为C1D1的中点，则三棱锥P−B1CF体积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=13x3+ax2+b(a,b∈R)的图象过点(1,23)，且f′(−1)=−1．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
16.(本小题15分)
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设AB=a，AC=b，AA1=c．
(1)试用a,b,c表示向量MN；
(2)若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60∘，AB=AC=AA1=1，求MN的长．
17.(本小题15分)
如图，在四边形ABCD中，AB=BC，CB⊥AB，CD⊥AC，以AC为折痕把△ACD折起，使点D到达点P的位置，且PB⊥AB．
(1)证明：PC⊥平面ABC；
(2)若M为PA的中点，二面角P−AB−C等于60°，求直线PB与平面MBC所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=aex−x．
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a>0，∀x∈(0,+∞)，f(x)>e−xa−1x，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
英国数学家泰勒发现了如下公式：
ex=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!+⋯
其中n!=1×2×3×4×⋯×n,e为自然对数的底数，e=2.71828⋯⋯.以上公式称为泰勒公式.设fx=ex−e−x2,gx=ex+e−x2，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．
(1)证明：ex≥1+x；
(2)设x∈0,+∞，证明：fxx