安徽省蚌埠市部分重点高中2025-2026学年高一上学期12月联考试题 数学（含答案）

这是一份安徽省蚌埠市部分重点高中2025-2026学年高一上学期12月联考试题 数学（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则集合等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合B，再利用交集运算求解.
【详解】解：因为集合，，
所以，
故选：C．
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的性质即可判断.
【详解】若，且或，则或无意义，此时条件“”无法推出结论 “”，故充分性不成立；
若，因为在上单调递增，可知，因此结论“”可以推出条件“”，故必要性成立.
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
3. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出BCD选项中函数的定义域，再结合函数值的正负判断出答案.
【详解】对于B选项：，定义域为：，
因为，不满足图像，B错误；
对于C选项：，定义域为：，
因为，不满足图像，C错误；
对于D选项：，定义域为：，
因为，不满足图像，D错误；
故选：A.
4. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指对函数的单调性，考虑与的大小关系，即可判定.
【详解】
故选：B.
5. 函数的零点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分析每一段零点个数，当时，易得一个零点，当，根据单调性及零点存在定理判断即可.
【详解】当时，令，解得，
当时，，，
，所以在上存在零点，
又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点．
综上，的零点个数为2.
故选：C.
6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的8倍，大约经过（ ）天（参考数据：，，）
A. 32B. 33C. 103D. 104
【答案】D
【解析】
【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解.
【详解】设经过天“进步“的值是“退步”的值的倍.
则 ，即，
故，故，
故大约经过104天.
故选：D
7. 若定义在上的奇函数在上是增函数，且，则的解集为（ ）
A. B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】找到临界点，由函数的奇偶性与单调性求解即可.
【详解】由是奇函数，且定义域为，则， ，则，
又因为其在内是增函数，则有：
当或时，，
当或时，，
的解集为或，
故选：C
8. 已知函数，若实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数的对称性，得到之间的关系，再运用基本不等式，即可得解.
【详解】，
，
.
又，
，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
则.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项中，正确的是（ ）
A. 幂函数在上递减，则实数
B. 函数的值域为
C. 函数（且）的图象恒过定点
D. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为或
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用幂函数单调性求出参数值判断A；求出值域判断B；利用指数函数图象性质求出定点判断C；求出不等式的解集判断D.
【详解】对于A，由幂函数在上递减，得，解得，A正确；
对于B，函数定义域为，且在上单调递增，则，
当时，，因此函数的值域为，B正确；
对于C，对任意，当，即时，函数值恒为，
因此函数（且）的图象恒过定点，C错误；
对于D，由关于不等式的解集为，得且是方程的两个根，，即，
则不等式为，
解得或，D正确.
故选：ABD
10. 若正实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用基本不等式、消元法，结合指数与对数运算的性质，逐一判断即可.
【详解】对于A：，令，则有，
整理得，解得或（舍去），即，当且仅当时，等号成立，故A错误；
对于B：由A可知，故，故B正确；
对于C：由可得，
故，
当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；
对于D：，令，则有，解得（舍去）或，
即，，当且仅当时，等号成立，
因此，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，，．则下列说法正确的是（ ）
A. 函数与函数互为反函数
B. 函数在区间内没有零点
C. 若a，b，c均为正实数，且满足，则
D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则
【答案】AD
【解析】
【分析】求函数的反函数，判断A，根据零点存在性定理判断B，取特殊值判断C，根据反函数的性质判断D.
【详解】函数的反函数为，
所以函数与函数互为反函数，A正确；
由已知，
因为当时，，
当时，，
所以函数在区间内至少有一个零点，B错误；
取，可得，，，
所以，，，故，C错误；
因为函数，互为反函数，
所以函数，的图象关于直线对称，
又函数图象关于直线对称，
又函数与函数的图象的交点为，
函数与函数的图象的交点为，且
所以点和点关于对称，
所以，故，
所以，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 求值________．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数和对数的运算法则以及换底公式计算可得.
【详解】
.
故答案为：
13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒成立，再通过对称轴和函数的最值的限定，列出不等式求解.
【详解】因为函数在上单调递减，在单调递增，
所以在上单调递减，且恒成立，
即，解得.
故答案为：.
14. 已知，方程有四个不同根，且满足，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】画出函数的图象，问题转化为函数的图象与直线有四个不同的交点，利用数形结合思想、化归思想，利用对钩函数的单调性进行求解即可.
【详解】函数与直线的图象如下图所示：
因为方程有四个不同根，
所以函数的图象与直线有四个不同的交点，
由图可知：，
因为二次函数的对称轴为，
所以，
由及图象可得，
因为，
所以由
，
因为，所以，
于是，
由对勾函数的单调性可知函数在时，单调递减，
所以有，
所以的取值范围是，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知全集，集合，．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数性质解不等式，再结合并集的定义，即可得解；
（2）由题意得⫋，然后列不等式组即可求出的取值范围.
【小问1详解】
，解得，故，
若，则，因此.
【小问2详解】
若“”是“”成立的必要不充分条件，可得⫋，
因为，，
故，解得，
故.
16. 国内某企业响应国家号召，为打破国际芯片垄断，投入大量研发力量，从零开始，研发出一款自主知识产权的芯片．为了尽快提高芯片产能满足国内需求，该企业制定了三个不同的增产方案，年产量（万片）随方案实施年数增加而增加，三个方案分别对应三个函数模型：
方案一：；
方案二：；
方案三：．
如果该企业计划在7年内，尽快实现年产量15万片的目标，应该选择哪个方案？
【答案】应该选择方案二，理由见解析．
【解析】
【分析】计算出方案一需要6年时间，方案二的年产量将在5年后超过15万片，方案三无法在7年内达到年产量15万片的目标，得到答案.
【详解】应该选择方案二，理由如下：
由题意可知，应在满足，且的情况下，选择所需时间最短的方案，
方案一：因在上单调递增，且，
则方案一可以在7年内实现年产量15万片的目标，
由，解得，
所以方案一实现年产量15万片需要6年时间；
方案二：因为在上单调递增，且，
则方案二可以在7年内实现年产量15万片的目标，
由得，又因为，所以，
即方案二的年产量将在5年后超过15万片；
方案三：因为在上单调递增，且，
所以方案三无法在7年内达到年产量15万片的目标，故不能选择方案三．
综上，应该选择方案二．
17. 已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，．
（1）求函数与的解析式；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），，，
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数奇偶性得到，联立即可求解；
（2）令，得到，通过分参求最值即可求解.
【小问1详解】
由，①
可得，又是奇函数，是偶函数，
得，②，
①+②得，，则，；
【小问2详解】
，
由（1）得：，
令，又 在单调递增，所以，
则，
得：在恒成立，
分参可得：，当时，，
当时，
，
因为，当且仅当时取等号， 的最小值为，
综上当时，的最小值为，
所以.
18. 已知函数
（1）当时，求函数的定义域；
（2）当时，函数的值域为，求的值；
（3）在（2）的条件下，设函数，解关于的不等式．
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）代入，再结合对数函数的定义域即可得解；
（2）分与讨论判断，即可得解；
（3）先确定的定义域与单调性，根据函数值的大小确定自变量大小，再对进行分类讨论，即可得解.
【小问1详解】
若，，
，，即，
即，解得，
即函数的定义域为.
【小问2详解】
若，设，令，
则可转化为关于的函数.
为开口向下的二次函数，
在对称轴处取到最大值，
若（即时），恒成立，则的定义域为空集，不符题意；
若（即时），存在最大值且最大值大于，
则存在最大值，与值域为矛盾，故舍去；
若，则，
当时，，，符合题意
综上所述，.
【小问3详解】
若，则，，解得，
故，定义域为.
易知为单调递增函数，且定义域为，
故由，
可得，
其中若与成立，则成立，
因此解即可，
而可整理为，
因此即解.
①若，即时，可解得，即；
②若，即时，可解得或，
即；
③若，即时，可解得或，
即.
综上所述，当时，；
当时，；
当时，.
19. 我们知道，函数的图象是关于坐标原点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象是关于点的中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）已知为奇函数，若函数与的图象共有个交点：，，，，且，求的值；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题干材料，构造函数，先由奇函数定义域的性质解出，再根据解出，即可确定对称中心；
（2）由于函数与均关于成中心对称，故两个函数的交点也关于成中心对称，再分为偶数与为奇数讨论，即可得解；
（3）由对称性，将关于的不等式在区间上有解转化为在区间上有解，再对对称轴的位置进行分类讨论，使，即可解出.
【小问1详解】
假设存在对称中心，
则为奇函数.
由，解得，
由于奇函数的定义域关于原点对称，故，即，
.，则，解得.
综上，，因此的对称中心为.
【小问2详解】
若为奇函数，即关于中心对称，
则函数为的图象先往右平移1个单位，再往上平移2个单位，
故关于中心对称.
而的图象是一条直线，且经过点，
因此也关于成中心对称，
因此函数与的图象的交点也关于成中心对称.
因此，，.
若交点的数量为偶数，有，解得，不符合为偶数，故舍去；
若交点的数量为奇数，由对称性可知，必有一个交点为，
因此有，解得，符合为奇数.
综上所述，.
【小问3详解】
因为函数的图象关于点对称，
故关于的不等式在区间上有解等价于在区间上有解，
即在上的最小值.
又因为当时，，对称轴为.
当，即，在处取到最小值，，解得；
当，即时，在处取到最小值，
，解得或，此时无解；
当，即时，，不成立，此时无解；
综上所述，