安徽省合肥一六八中学2026届高三上学期数学限时训练六试卷（Word版附解析）

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一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集定义求解．
【详解】由题意，所以，
故选：A．
2. 如图，在中，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】因为，
所以，
即得.
故选：B.
3. “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数图像解出参数的取值范围，然后由充分必要条件的定义逐个判断各个选项即可.
【详解】当时，不等式为，不满足在上恒成立，舍去；
当时，由二次函数图像可知不等式不满足在上恒成立，舍去；
当时，由二次函数图像可知，即或，
∴，
∵，，
∴是的必要不充分条件，A选项正确；
∵是的充要条件，B选项错误；
∵，，
是的充分不必要条件，C选项错误；
∵，，
是的既不充分也不必要条件，D选项错误；
故选：A.
4. 已知，为正实数，且，则下列选项错误的是（ ）
A. 的最大值为2B. 的最小值为4
C. 的最小值为3D. 的最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】对条件进行变形，利用基本不等式对选项一一分析即可确定答案.
【详解】因为，为正实数，故，
当且仅当即时取等号，
解得，即，故的最大值为2，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，B正确；
，
当且仅当，即时取等号，C错误；
，
当且仅当即时取等号，
此时取得最小值，D正确．
故选：C．
5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数的图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再由函数在上的取值情况，利用排除法即可判断.
【详解】因为，定义域为，
又，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除C、D，
又当时，，，故排除B．
故选：A．
6. 某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷与地面所成的角大小为（ ）时，所遮阴影面面积达到最大.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．
【详解】如图，过点作交于，连接，由题知，
因此就是遮阳篷与地面所成的角，
因为，则求遮阴影面面积最大，即是求最大，
又，，
设，由正弦定理得，
由得，
当且仅当时取等号，此时所遮阴影面面积最大，
所以．
故选：B
7. 已知函数，若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数研究的单调性，结合函数值的符号和单调性画出示意图，由题意或共有4个不同的实根，由知与的图象仅有一个交点，从而的图象与直线有3个交点，数形结合即可求解.
【详解】由得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出其大致图象如图.
方程
即，所以或.
因为的极大值为，而，
由图可知与的图象仅有一个交点.
要使原方程有4个不同的实数根，需的图象与直线有3个交点，
由图可知此时的取值范围为.
故选：B
8. 已知定义域为的函数满足：，且当时，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合函数单调性的定义结合题设易得函数在上单调递增，进而构造函数，，利用导数分析单调性可得，构造函数，，利用导数分析单调性可得，进而结合函数的单调性即可判断.
【详解】由题意，任取，且，则，，
所以，
即，所以函数在上单调递增，
由，
设，，
则，所以函数在上单调递增，
所以，
则，即.
由，
设，，则，
因为，所以，则，
而，则，
所以，则函数在上单调递减，
所以，
则，即.
综上所述，，
又函数在上单调递增，则.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数，，，，利用导数分析单调性，得出大小关系，进而结合函数的单调性即可判断.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可．
【详解】由图可知，，函数最小正周期，故A正确；
由，知，
因为，所以，所以，，即，，
又，所以，所以，
对于B，当时，，所以，
所以的值域为，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．
故选：ACD．
10. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】构造函数，判断其单调性，将变形为的形式，再结合不等式性质及基本不等式可得，从而可得b、a、的大小关系，从而得到答案．
【详解】令，
∵，
∴在单调递减．
由，
∴，
又，
所以，
又在单调递减，
∴，
故选：BC．
11. 已知对于，，，，且，则下列说法正确有（ ）
A. 为偶函数
B.
C. 的周期为4
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由结合可判断A，通过赋值可判断B，由，得到，可判断C，由函数周期可判断D.
【详解】对于A：， 关于对称，
，得，所以，
所以，即，
所以为偶函数，故A正确；
对于B：由，中令得，所以，
中令得，即，
所以，故B正确；
对于C：，
可知，，
可得，则，
所以，可知周期为6，故C错误；
对于D：由，， 中，
令，可得，
所以， ，，，，
所以，又周期为6，
所以，故D错误.
故选：AB
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由不等式在上有解，结合单调性求出范围，再由假命题求得答案.
【详解】若，使得为真命题，得当时，不等式有解，
而函数在上单调递增，则当时，，则，
由命题“，”为假命题，得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
13. 若，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】先切化弦条件等式的右边，结合二倍角正弦公式和辅助角公式求出，接着由诱导公式求出，再由倍角公式即可求解.
【详解】由题，
所以，
所以.
故答案为：
14. 若关于的不等式的解集中恰好含有2025个整数，则实数的取值集合是______
【答案】或
【解析】
【分析】分别讨论、和三种情况，求得不同条件下不等式解集，根据题意，分析计算，即可得答案.
【详解】当，即时，，解集为，有无数个解，不符合题意；
当，即时，，
当时，，则不等式的解集为，
包含无数个解，不符合题意；
当时，，则不等式解集为，
包含无数个解，不符合题意；
当时，解得或，
当时，，不等式解集为，
因为，所以，
因为解集中恰好含有2025个整数，
所以，解得；
当时，，不等式解集为，
因为，所以，
因为解集中恰好含有2025个整数，
所以，解得，
综上，实数取值集合或.
故答案为：或
四、解答题（15题15分，16题15分，17题17分，共47分）
15. 已知函数在上为奇函数，.
（1）求实数m的值；
（2）存在，使成立.
（i）求t的取值范围；
（ii）若恒成立，求n的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）（ii）
【解析】
【分析】（1）由奇函数定义列出恒等式即可求解.
（2）（i）由复合函数单调性得在上单调递减，结合奇函数性质得，由此即可求解；（ii）将原不等式转换为恒成立，通过换元法即可求解.
【小问1详解】
由题意函数在上为奇函数，
所以，
因为，所以解得，经检验符合题意.
【小问2详解】
（i）由（1）得在上为奇函数，
显然在上单调递增，在上单调递减，
所以由复合函数单调性可知在上单调递减，
从而在上单调递减，
所以
，
即，
因为，所以，所以；
（ii）由（2）（i）得，所以，
若恒成立，
则恒成立，
所以当，即时，，
所以n的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：第二问（i）的关键是先得函数单调性，结合奇函数性质可得关于的函数方程，由此即可顺利得解.
16. 已知函数，其中
（1）若，求函数的单调递增区间和最小值；
（2）在中，分别是角的对边，且，求的值；
（3）在第二问的条件下，若，求面积的最大值.
【答案】（1）单调递增区间为，最小值为
（2）2 （3）
【解析】
【分析】（1）利用数量积运算法则和两角和差的正弦公式及其正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用两角和差的正弦公式，正弦定理，正弦函数的单调性即可得出；
（3）利用余弦定理，三角形的面积计算公式，基本不等式即可得出.
【小问1详解】
，
由，解得，
又，因此函数的单调递增区间为.
其最小值为
【小问2详解】
由，可得，化简得，
由，得，令，解得.
由正弦定理可得
【小问3详解】
由（2）可知：.
，当且仅当时取等号.
的面积，
因此，面积的最大值为.
17. 设函数．
（1）若函数在上单调递增，求的值；
（2）当时，
①证明：函数有两个极值点，，且随着的增大而增大；
②证明：．
【答案】（1）
（2）①证明见解析②证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意恒成立，二次求导，分情况讨论的正负情况；
（2）①由（1）得，且，即，可确定的取值范围，且，可证随着的增大而增大，且，所以随着的增大而增大；②若证即证，设，，可转化为求的最值问题.
【小问1详解】
，，由题意知，恒成立，
当时，恒成立，则单调递增，
又，则当时，，单调递减，
即不符合题意；
当时，．解得．可知，在上单调递减，在上单调递增，
，
设，，在上单调递增，在上单调递减，
所以．
若，即时，，符合题意；
若，即时，，不符合题意．
综上，．
【小问2详解】
证明：①时，，由（1）知，，且，
当时，，当时，，所以为极大值点，
由（1）有，则当时，，
所以，所以当时，，
当时，．当时，．所以为极小值点，
所以有两个极值点，
因为，所以，
设，则，
由（1）可知，，所以，单调递增，所以随着的增大而增大，且，所以随着的增大而增大．
②由，可得，
要证，即证，
即证，
设，，
，，．
所以单调递减，所以，
所以在上单调递减，
所以，
所以命题得证．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．