福建省漳州台商第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题-A4

这是一份福建省漳州台商第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题-A4，共7页。试卷主要包含了，，则，设，则“”是“”的，函数的单调递减区间为，设，，，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．
第 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I卷（选择题 共60分）
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．，
4．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ）
B．
C．D．
5．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图在长方体中，，E，F，G分别是棱的中点，P是底面内一个动点，若直线平面平行，则线段的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
7．年春，为了解开学后大学生的身体健康状况，寒假开学后，学校医疗部门抽取部分学生检查后，发现大学生的舒张压呈正态分布（单位：），且，若任意抽查该校大学生人，恰好有人的舒张压落在内的概率最大，则（ ）
A．B．C．D．
8．设函数的定义域为D，且其图象上所有点均在直线的上方，则称函数为“函数”，若函数的定义域为，且为“函数”，则实数t的最大整数值为（ ）
A．B．C．1D．2
多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列各式中能够说明随机事件A与随机事件B相互独立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知正数、，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为.B．的最大值为.
C．的最小值为.D．的最小值为.
12．如图，在直四棱柱中，分别为侧棱上一点，，则（ ）
A．B．
C．的最大值为D．当时，
第 = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II卷（主观题 共90分）
填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是______________.
14．某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设，与的数据如表格所示：
得到与的线性回归方程，则___________.
15．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则__________.
16．新冠病毒存在人际间传播现象，即存在A传B，B又传C，C又传D的传染现象，那么A，B，C就被称为第一代､第二代､第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代､第二代､第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为________；若小明被感染，则是被第三代传播者感染的概率为______.
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数在处取得极值2.
(1)求a，b的值：
(2)求函数在上的最值.
18．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．下图是2018-2022年移动物联网连接数与年份代码的散点图，其中年份2018-2022对应的分别为1~5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度；
(2)求关于的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数，，，
19．如图1，在梯形ABCD中，，，，E为CD中点，将沿AE翻折，使点D与点P重合，如图2．
(1)证明：PB⊥AE；
(2)当二面角等于时，求PA与平面PEC所成角的正弦值．
20．北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯；制成石墨烯发热膜．从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
(1)根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关；
(2)研究人员得到石墨烯后．再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元．试问如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？
附：，其中．
21．三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示.
(1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明；
(2)求二面角的正弦值.
22．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
台商一中2023-2024学年高二年段下学期第二次月考数学试题
参考答案
一、选择题
填空题: ; ; ； 0.83,.
7．【详解】因为，则，由题意知：抽查该校大学生人，恰好有人的舒张压落在内的概率为，要使此式的值最大，解得，
8．【详解】因为函数的定义域为，且为“函数”，所以在上恒成立，所以，设，则，令，则，所以在上单调递增，又，，所以存在使得，取最小值，且，所以，故函数的最小值为，又，所以，故t的最大整数值为.
11．【详解】对于A，因为，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最大值为1，故A正确；对于B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于D，令，，则，，，，所以，所以的最小值为1，故D正确.
12．【详解】在等腰梯形中，因为，根据平面几何知识可得，，，在直棱柱中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，故A正确；因为两两垂直，所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，
，，，，则，故B不正确；
，
令，则，
所以当，时，取得最小值，则，根据平面向量夹角的范围可知，的最大值为，故C不正确；当时，，，，所以，又与不相交，所以，故D正确.
16【详解】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”，
事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，则，，，，，，所以小明被感染的概率为；小明被感染,则是被第三代感染的概率为故答案为：0.83；.
17．【详解】（1），，在处取得极值2，
且，即，解得, 经检验符合题意，所以值为，值为2；
（2）由（1）有，，
由，可得，在上单调递减，由，可得， 在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极小值，即为最小值，，，，
在处最大值，综上所述，在上的最小值为2，最大值为.
18．【详解】（1）由图可知，两个变量线性相关．由已知条件可得：，，所以，
，，
所以相关系数，因此，两个变量具有很强的线性相关性．
（2）结合（1）可知，， 所以回归方程是：，
当时，有，即预测2024年移动物联网连接数为亿户．
19．【详解】（1）证明：取AE中点为O，连接PO，BO，BE，由题可知，，又，所以，所以，，又平面POB，所以平面POB，
又因为平面POB，所以．
（2）因为二面角等于，所以平面PAE⊥平面ABCE，
平面平面ABCE＝AE，因为PO⊥AE，所以PO⊥平面ABCE，
所以OA，OB，OP两两垂直．以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，不妨设AB＝2，由已知得，所以，，
则，，，，，，，，设平面PEC的法向量，则，
取平面PEC的一个法向量，设PA与平面PEC所成角为，则，即PA与平面PEC所成角的正弦值为．
20．（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：
零假设为：试验结果与材料无关．计算可得，
依据的独立性检验，推断不成立，即认为试验结果与材料有关．
（2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元．
易知的可能取值为0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5．
，，，
，，，
则的分布列为
修复费用的期望．
所以石墨烯发热膜定价至少为万元/吨，才能实现预期目标．
21．【详解】（1）连接，取的中点为，连接，则平面.在三棱柱中，四边形是平行四边形，即为的中点，而为的中点，于是，平面平面，所以平面.
（2）在三棱柱中， 是等腰三角形，为的中点，则，而平面平面，平面平面平面，于是平面，连接，而四边形是菱形，且，，则，，即有两两垂直，以为坐标原点，以射线的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
显然平面的一个法向量为，，设平面的一个法向量为，则，令，得
，令二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为.
22．（1）因为，所以.
因为，若，即时，在上单调递增，
若，即时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，恒成立，即恒成立，令，则，显然在上单调递增，
又，，所以存在唯一实数，使得，即，
所以.所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以时，恒成立，
若，恒成立，满足条件；若，函数在上单调递增，
而，不合题意；若，函数在上单调递减，
而，符合题意；所以当时，在上恒成立，
3
4
6
7
2.5
3
4
5.9
材料
材料
合计
试验成功
试验失败
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
A
D
B
C
C
B
BC
BC
ABD
AD
材料
材料
合计
试验成功
45
30
75
试验失败
5
20
25
合计
50
50
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5