2.2.3立方根 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：2.2.3 立方根副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：我们已经学习了平方根，知道一个数的平方与平方根的关系。今天，我们将探讨一个数的立方以及与之对应的立方根，看看立方根有哪些独特的性质和应用。幻灯片 2：学习目标理解立方根的定义，掌握立方根的表示方法，能准确区分立方根与平方根。探索并掌握立方根的性质，能熟练运用立方根的性质求一个数的立方根，理解开立方与立方的逆运算关系。通过类比平方根学习立方根，培养类比推理能力，提升数学思维的严密性，体会数学知识之间的内在联系。幻灯片 3：知识回顾：平方根相关知识平方根定义：如果一个数\(x\)的平方等于\(a\)（即\(x^2 = a\)，\(a \geq 0\)），那么\(x\)叫做\(a\)的平方根。正数有两个平方根，它们互为相反数；\(0\)的平方根是\(0\)；负数没有平方根。平方根表示：正数\(a\)的平方根记作\(\pm \sqrt{a}\)，例如\(9\)的平方根是\(\pm \sqrt{9} = \pm 3\)。思考与提问：我们知道了平方与平方根的关系，那如果一个数的立方等于另一个数，会有怎样类似的概念呢？幻灯片 4：创设情境，引入立方根概念问题情境：小明要制作一个体积为\(27cm^3\)的正方体模型，这个正方体模型的棱长应该是多少？设正方体棱长为\(x cm\)，根据正方体体积公式\(V = x^3\)，可得方程\(x^3 = 27\)。思考：什么数的立方等于\(27\)呢？因为\(3^3 = 27\)，所以\(x = 3\)，即正方体棱长为\(3cm\)。进一步探究：若体积变为\(64cm^3\)，棱长又是多少？设棱长为\(y\)，则\(y^3 = 64\)，由于\(4^3 = 64\)，所以\(y = 4\)。归纳总结：从这些问题中可以看出，已知一个数的立方，求这个数的过程，就像已知一个数的平方求平方根一样，这里我们引出立方根的概念。幻灯片 5：立方根的定义与表示立方根定义：一般地，如果一个数\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^3 = a\)，那么这个数\(x\)就叫做\(a\)的立方根（也叫做三次方根）。举例：因为\(2^3 = 8\)，所以\(2\)是\(8\)的立方根；因为\(( - 2)^3 = - 8\)，所以\(-2\)是\(-8\)的立方根。立方根表示：一个数\(a\)的立方根记作\(\sqrt[3]{a}\)，读作 “三次根号\(a\)”，其中\(a\)是被开方数，\(3\)是根指数。注意：根指数\(3\)不能省略，与平方根不同（平方根根指数\(2\)可省略）。例如\(\sqrt[3]{27}\)表示\(27\)的立方根，\(\sqrt[3]{ - 64}\)表示\(-64\)的立方根。幻灯片 6：探究立方根的性质探究活动：求下列各数的立方根，并观察立方根的特点。\(8\)的立方根：因为\(2^3 = 8\)，所以\(\sqrt[3]{8} = 2\)；\(0\)的立方根：因为\(0^3 = 0\)，所以\(\sqrt[3]{0} = 0\)；\(-27\)的立方根：因为\(( - 3)^3 = - 27\)，所以\(\sqrt[3]{ - 27} = - 3\)；\(64\)的立方根：因为\(4^3 = 64\)，所以\(\sqrt[3]{64} = 4\)；\(-\frac{1}{8}\)的立方根：因为\(( - \frac{1}{2})^3 = - \frac{1}{8}\)，所以\(\sqrt[3]{ - \frac{1}{8}} = - \frac{1}{2}\)。性质总结：正数的立方根是正数，例如\(\sqrt[3]{125} = 5\)（因为\(5^3 = 125\)）；负数的立方根是负数，例如\(\sqrt[3]{ - 125} = - 5\)（因为\(( - 5)^3 = - 125\)）；\(0\)的立方根是\(0\)。任何数都有且只有一个立方根，这与平方根中正数有两个平方根不同，体现了立方根的唯一性。幻灯片 7：立方根与平方根的区别与联系对比维度平方根立方根定义若\(x^2 = a\)（\(a \geq 0\)），则\(x\)是\(a\)的平方根若\(x^3 = a\)，则\(x\)是\(a\)的立方根表示方法正数\(a\)的平方根为\(\pm \sqrt{a}\)\(a\)的立方根为\(\sqrt[3]{a}\)根指数平方根根指数\(2\)可省略（\(\sqrt{a}\)默认根指数为\(2\)）立方根根指数\(3\)不能省略被开方数取值范围\(a \geq 0\)（负数没有平方根）\(a\)为任意实数（任何数都有立方根）个数正数有两个平方根，互为相反数；\(0\)的平方根是\(0\)；负数没有平方根任何数都有且只有一个立方根联系都是乘方运算的逆运算；\(0\)的平方根和立方根都是\(0\)都是乘方运算的逆运算；\(0\)的平方根和立方根都是\(0\)幻灯片 8：例题讲解：求立方根及相关应用例题 1：求下列各数的立方根。（1）\(125\)；（2）\(-\frac{8}{27}\)；（3）\(0.064\)；（4）\(-1\)。解答：（1）因为\(5^3 = 125\)，所以\(\sqrt[3]{125} = 5\)；（2）因为\(( - \frac{2}{3})^3 = - \frac{8}{27}\)，所以\(\sqrt[3]{ - \frac{8}{27}} = - \frac{2}{3}\)；（3）因为\(0.4^3 = 0.064\)，所以\(\sqrt[3]{0.064} = 0.4\)；（4）因为\(( - 1)^3 = - 1\)，所以\(\sqrt[3]{ - 1} = - 1\)。例题 2：已知\(\sqrt[3]{x - 2} = - 2\)，求\(x\)的值。解答：因为\(\sqrt[3]{x - 2} = - 2\)，根据立方根的定义，两边同时立方可得\(x - 2 = ( - 2)^3\)，即\(x - 2 = - 8\)，解得\(x = - 6\)。幻灯片 9：随堂练习求下列各数的立方根：（1）\(216\)；（2）\(-343\)；（3）\(\frac{1}{1000}\)；（4）\(-0.008\)。答案：（1）\(6\)（因为\(6^3 = 216\)）；（2）\(-7\)（因为\(( - 7)^3 = - 343\)）；（3）\(\frac{1}{10}\)（因为\((\frac{1}{10})^3 = \frac{1}{1000}\)）；（4）\(-0.2\)（因为\(( - 0.2)^3 = - 0.008\)）。若\(\sqrt[3]{2x + 1} = 3\)，求\(x\)的值。答案：两边同时立方得\(2x + 1 = 3^3 = 27\)，\(2x = 26\)，解得\(x = 13\)。判断：（1）\(1\)的平方根和立方根都是\(1\)。（错误，\(1\)的平方根是\(\pm 1\)，立方根是\(1\)）（2）\(-27\)没有平方根，但有立方根。（正确）（3）\(0\)的平方根和立方根一样。（正确）幻灯片 10：课堂小结核心概念：立方根定义：若\(x^3 = a\)，则\(x\)是\(a\)的立方根，记作\(\sqrt[3]{a}\)。立方根性质：正数立方根为正，负数立方根为负，\(0\)的立方根是\(0\)，任何数都有唯一立方根。关键区别：与平方根对比，立方根根指数不可省略，被开方数可为任意实数，且个数唯一。解题要点：求立方根时，通过寻找哪个数的立方等于被开方数来求解；解含立方根的方程时，利用立方根与立方的逆运算关系，两边同时立方求解。幻灯片 11：课后作业基础题：求下列各数的立方根：（1）\(512\)；（2）\(-\frac{64}{125}\)；（3）\(1\)；（4）\(-0.125\)。提升题：（1）已知\(x^3 - 8 = 0\)，求\(x\)的值；（2）若\(\sqrt[3]{m + 1} = 2\)，求\((m + 1)^2\)的值。拓展题：一个正方体的体积变为原来的\(8\)倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的\(27\)倍呢？\(n\)倍呢？（提示：设原正方体棱长为\(a\)，体积为\(V = a^3\)，根据体积变化求出变化后的棱长，再与原棱长比较）【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.了解立方根的概念，知道立方根的性质.2. 知道平方根与立方根的联系与区别.3. 会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求一个数的立方根.问题 如图，一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成.假如要制作一个体积为216 cm3的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少? 此时 a 的值为多少呢？ 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫作a的立方根（也叫作三次方根）. 8 知识点 立方根0思考(1)一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢?一个数的立方根只有一个.知识点 立方根(2)求8，0，-27的立方根，8的立方根是2，0的立方根是0，-27的立方根是-3.(3)正数有几个立方根?0有几个立方根?负数呢?(3)正数、0、负数的立方根都只有一个， 注意：这个根指数3不能省略！ 知识点 立方根仿照平方根的表示方法，如何表示立方根？立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数.知识点 立方根正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作开立方.（a叫作被开方数）知识点 立方根 知识点 立方根 4知识点 立方根 知识点 立方根  知识点 立方根       知识点 立方根两个，互为相反数一个，为正数00没有平方根一个，为负数可以为任意实数非负数 平方根与立方根的不同点  知识点 立方根都与相应的乘方运算互为逆运算.0 的平方根与立方根都是 0.平方根与立方根的相同点 知识点 立方根    2 4. 一个正方体，它的体积是棱长为3 cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少?解：设这个正方体的棱长为x cm，根据题意，得x3=8×33，即x3=216，因为63=216，所以x=6，所以这个正方体的棱长为6 cm，知识点1 立方根的定义 55    0 返回   返回3.下列说法正确的是( )D  返回4.体积为4的正方体的棱长是( )CA.4的平方 B.4的平方根C.4的立方根 D.4的算术平方根 返回5.下列说法正确的是( )D  返回知识点2 开立方 B  返回7.下列计算中，错误的是( )D  返回     （3）0.512；      返回  6 6  返回            返回知识点4 立方根的应用（第11题） A  返回 B（第12题）  返回 C  返回 DA.1 B.2 C.3 D.1或2或3 返回 A  返回   返回 96 返回      返回19.（1）填写下表并解决下列问题：  （2）根据你发现的规律填空：  7.697 返回20. 【发现】 【归纳】  【应用】   返回立方根性质表示定义如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫作a的立方根（也叫作三次方根）.正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数；  必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！