福建省泉州市永春第二中学等五校高一下学期期中联考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省泉州市永春第二中学等五校高一下学期期中联考数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 在中，若，，则点M在， 已知，则， 在中，，则的取值范围为， 若向量，则下列说法正确的是， 已知函数等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数在复平面内对应的点在第一象限确定的范围，再根据充分必要条件进行判断即可.
【详解】若复数在复平面内对应的点在第一象限，则，所以，
故“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的充分不必要条件.
故选：A.
2. 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆锥母线，进而求出圆锥的高.
【详解】由圆锥的底面半径为1，得侧面展开图半圆弧长为，因此该半圆半径为2，
即圆锥的母线长为2，所以圆锥的高为.
故选：C
3. 已知，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简求模长即可．
【详解】，
，
故选：A．
4. 在中，若，，则点M在（ ）
A. 的角平分线所在的直线上B. 线段的垂直平分线上
C. 边所在直线上D. 边的中线上
【答案】A
【解析】
【分析】利用单位向量和向量加法的几何意义求解即可.
【详解】因为和是方向上的单位向量，
所以是的角平分线所在的直线上的向量，
故在的角平分线所在的直线上，
则点M在的角平分线所在的直线上.
故选：A
5. 已知的内角的对边分别是，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由同角的三角函数关系求出，根据正弦定理求得，（R为外接圆半径），再根据正弦定理边化角，即可求得答案.
【详解】因为，所以，
在中，由正弦定理（R为外接圆半径），
则.
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件，利用二倍角余弦公式可求，再利用诱导公式求结论.
【详解】由知，
.
所以.
故选：D.
7. 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A. 等腰非直角三角形B. 直角非等腰三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案.
【详解】因为，所以，整理得，
又，所以，
即，即，
又，所以，得，
因为，所以，所以，故为等腰非直角三角形.
故选：A
8. 在中，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，再利用余弦定理及基本不等式求出范围.
详解】由，得，
在，由余弦定理得：，
即，则，
即，当且仅当时等号成立，因此，即，
所以的取值范围为.
故选：B
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 与平行
C. 在上的投影向量为D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据平面向量的模的坐标公式计算即可判断；对于B，根据平面向量的坐标判断即可；对于C，根据投影向量的定义计算即可；对于D，先根据平面向量夹角余弦的坐标公式计算，再利用平方关系求正弦值即可.
【详解】A选项：，则，，则，所以，故A正确；
B选项：，又，因为，所以与不平行，故B错误；
C选项：，又，所以，，
所以在上的投影向量为，故C正确；
D选项：，又，
所以，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为2
B
C. 函数的图象关于直线对称
D. 若方程在上有两个不等实数根，则．
【答案】BC
【解析】
【分析】首先通过图象的最值确定的值，再根据图象上两点的横坐标求出周期，进而得到的值，然后将特殊点代入函数求出的值，最后根据正弦函数的对称轴性质以及方程根的对称性来逐一分析选项.
【详解】由函数图象可知， 表示振幅，所以.
函数的图象过点和，这两点间的距离是个周期，即，那么，故A错误；
根据正弦型函数的周期公式（），可得，所以.
把点代入中，得到，即.
因为，所以，，解得，故B正确；
由上分析可得：. 令，解得.
当时，，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
函数的图象在上，其对称轴为，即.
若方程在上有两个不等实数根，根据正弦函数图象的对称性可知.所以，故D错误.
故选：BC.
11. 如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（ ）
A. 四边形ABCD的面积为
B. 该外接圆的半径为
C. 过D作交BC于F点，则
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：在中，利用余弦定理结合圆的性质可得，进而可求得，，再利用面积公式运算求解；对于B：可知四边形的外接圆为即为的外接圆，利用正弦定理求外接圆半径；对于C：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果.对于D：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果；
【详解】
对于A：连接，由题意可知，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
所以，
且，则，即，
所以四边形的面积
，
故A错误；
对B：该四边形的外接圆为即为的外接圆，设外接圆的半径为，
在中，由正弦定理可得，
即，故B正确；
对于C：由题意可得：，
过作，垂足，则为的中点，可得，
在方向上投影向量即为，
所以，故C正确；
对于D：过作，垂足，则为的中点，可得，
过作，垂足，可得，
故，即在方向上的投影向量为，
所以，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，P，Q分别是四边形的对角线与的中点，设，，且，不是共线向量，向量____________（.试用基底，表示）
【答案】
【解析】
【分析】取的中点G，连接，，由向量共线定理可得，，根据向量加法的三角形法则即可求解.
根据向量加法
【详解】如图
因为，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，
取的中点G，连接，，
所以，，，
∴.
故答案为：
13. 已知向量满足，则与的夹角为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件对两边平方即可求出的值，然后即可求出的值，从而可得出的值．
【详解】因为，，，
所以，
解得，所以，
又因为，所以．
故答案为：．
14. 已知正四棱台的高为3，其顶点都在同一球面上．若该球的半径为5，球心在正四棱台的一个底面上，则该正四棱台的体积为______．
【答案】122
【解析】
【分析】根据题意求出上下底面的边长，再利用棱台的体积公式求解即可.
【详解】因为球心在正四棱台的一底面上，设球心所在底面为下底面，正四棱台的高为3，球半径为5，
连接球心与正四棱台上底面一顶点，以及球心与上底面中心，构成直角三角形，
设上底面边长为，则上底面中心到顶点距离为
根据勾股定理，即，解得，
因为球心在下底面，下底面中心到顶点距离就是球半径5，
设下底面边长为，则，解得，
根据正四棱台体积公式（其中是高，是下底面积，是上底面积），
下底面积，上底面积，
已知高，则体积
故答案为：122
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角、、的对边分别为、、，已知，，.
（1）求角的大小；
（2）求的值；
（3）求的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理计算即可求解；
（2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可；
（3）利用三角形的面积公式求解即可.
【小问1详解】
因为，，，
所以，
因为，所以，
【小问2详解】
在中，由正弦定理得，
又因为，，， 所以，解得，
因为，所以，
【小问3详解】
因为，，，
所以.
16. 已知锐角的终边与单位圆相交于点.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用锐角三角函数的定义得到，，再利用二倍角公式求出，，最后利用两角和的余弦公式求解即可.
（2）利用给定条件结合同角三角函数的基本关系得到，最后利用两角差的正弦公式求解即可.
【小问1详解】
由于点在单位圆上，且是锐角，可得，，
则；因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，，
由二倍角公式可得，，
所以.
【小问2详解】
因为为锐角，所以，又，
所以，故，
因为，所以，
则，
.
17. 如图，是圆柱的直径且是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上的点．

（1）求圆柱的侧面积和体积；
（2）求三棱锥体积的最大值；
（3）若是的中点，点E在线段上，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）1； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式和体积公式直接计算可得；
（2）分析点C到的最大距离，结合三棱锥的体积公式可得；
（3）将绕着旋转到使在的反向延长线上，利用余弦定理求解即可.
【小问1详解】
圆柱的底面半径，高，
圆柱的侧面积，
圆柱的体积.
【小问2详解】
三棱锥的高，底面三角形中，，
则当点C到的最大值等于底面圆的半径1，
所以三棱锥体积的最大值.
【小问3详解】
将绕着旋转到使在的反向延长线上，
，，
，
，
，
即的最小值为等于．

18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中：
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求关于的函数解析式；
（2）求游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过的时长；
（3）若甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2（座舱编号沿顺时针依次编号），求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位）参考数据：，．
【答案】（1），．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得旋转的角速度和初相，结合三角函数，列出与的函数关系；
（2）令，得，求解三角不等式可得；
（3）根据（1）的结果，结合两人的角度差，分别计算和，化简高度差函数，根据t的取值范围，结合三角恒等变换化简得，利用三角函数性质即可求最值.
【小问1详解】
如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．
设时，游客甲位于点，以为终边的角为；
根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约，
由题意可得，．
【小问2详解】
在运行一周的过程中，
由，则，
令，可得，
则，解得.
所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过的时长为.
【小问3详解】
由甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2，
如图，甲、乙两人位置分别用点表示，不妨设点相对于始终落后，
则，
经过后，甲距离地面的高度为，
点相对于始终落后，
此时乙距离地面的高度，
则甲、乙高度差，
利用，
可得，，
当或，即或，
所以
，
则将参考数据，代入得，
.
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为.
19. 已知函数，
（1）求最小正周期；
（2）求的对称中心；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式，将化成，即可求出最小正周期；
（2）写出，令即可求解出对称中心；
（3）将等价转化为，进而转化为，求出的最大值和最小值后解不等式组即可.
【小问1详解】
,
所以最小正周期为.
【小问2详解】
令，解得：，
故的对称中心为.
【小问3详解】
若在上恒成立，
即在上恒成立，
故，
因为，，
则，所以，
故，解得：.