新高考数学二轮复习高分突破训练第03讲 函数的单调性问题（2份，原卷版+解析版）

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1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。即确定定义域→求出导函数→令解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格
2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解
3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式
例1．已知函数，若函数在区间上是单调减函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知在上有恒成立，即可得关于的不等式组，由此可得相应可行域，结合的几何含义，即可求其最小值.
【详解】由题意知：在上，恒成立，∴，即由不等式组可得如下可行域，
∴为可行域内的点到原点的距离的平方，其最小值为O到距离的平方，故，
故选：C
【点睛】关键点点睛：由函数在区间内单调递减知其导函数在该区间内恒小于等于0，得到关于的不等式组，结合目标式，应用线性规划思想求最小值.
例2．已知函数，函数的图象过定点，对于任意，有，则实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图象过定点可得，设，结合已知条件可得在递增，求的导数，令，由二次函数的性质可得，从而可求出实数的范围.
【详解】解：因为的图象过定点，所以，解得，
所以，因为对于任意，
有，则，设，
即，
所以，令，
因为，则，所以要使在恒成立，只需，
故，整理得，解得，故选:A.
【点睛】关键点睛：本题的关键是由已知条件构造新函数，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.
例3．已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求导得到，然后根据在，上为增函数，在上为减函数，由求解
.【详解】已知函数，则，因为在，上为增函数，在上为减函数，所以，即，解得 ，所以实数的取值范围为故选：B
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.
例4．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数的单调性与导数的关系可得在区间上恒成立，求得当时，即可得解.
【详解】因为，所以，又函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，因为，
当时，，所以，所以.故选：D.
【点睛】本题考查了导数、三角恒等变换及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
例5．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合函数单调性可求得实数的取值范围.
【详解】因为，则，由题意可知，对任意的，，即，令，则，因为函数、在上均为减函数 ，则函数在上为减函数，故.故选：A.
例6．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数研究函数的单调性，f(x)在内存在单调增区间，等价于在上有有解，然后参变分离即可求解﹒
【详解】∵函数在区间内存在单调递增区间，∴在区间上有解(成立)，即在区间上成立，又函数在上单调递增，∴函数在上单调递增，故当时，取最小值，即，即，得．故选：D﹒
例7．已知函数，若对任意的正实数t，在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由在R上恒成立，整理成二次项系数为正的二次三项式，则其对恒成立，分离参数后，求出关于的函数的最小值，即得的范围．
【详解】由题意在R上恒成立，其中，
整理得对恒成立，
所以对恒成立，
，令，，
时，，递减，时，，递增，所以，
所以的最小值是16，所以．故选：D．
例8．已知函数，若对任意，恒有成立，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据已知不等式的形式构造函数，利用函数的单调性，结合导数进行求解即可.
【详解】因为，所以由
，
构造函数，所以有，即
因为，所以函数是上增函数，当时，，因为函数在上都是增函数，所以函数是上增函数，符合题意；
当时，，因为函数函数在上都是增函数，
所以函数在和上单调递增，要想函数在上单调递增，
只需，在同一直角坐标系内画出函数的图象如下图所示：
因为当时，，所以由数形结合思想可得：当时，，当时，，
当时，设，设，当时，
单调递增，故单调递增，所以有，
所以当时，由可得：，或，综上所述：或，故答案为：
【点睛】关键点睛：根据不等式构造函数，利用函数的单调性进行求解是解题的关键.
过关练习
1．函数对于任意，恒有，那么（ ）
A．可能不存在单调区间 B．是R上的增函数
C．不可能有单调区间 D．一定有单调区间
【答案】A
【解析】根据题意，举出两个满足的例子，据此分析选项可得答案.
【详解】根据题意，函数对于任意，恒有，则的解析式可以为：
，满足，不是增函数，没有单调区间，
也可以为，满足，是增函数，其递增区间为，则可能存在单调区间，也可能不存在单调区间，则A正确；BCD错误；故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查函数单调性的定义，构造反例是解决本题的关键.
2．若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求得，由题意可知，有两个不同的零点，可得出，进而可求得实数的取值范围.
【详解】由题意得，函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题利用函数的单调区间个数求参数，解题的关键就是结合题意确定函数的极值点的个数，结合二次函数的基本性质解题.
3．若函数恰有4个单调区间，则实数m的取值范围为 （ ）
A．（﹣∞，） B．（﹣∞，0）∪（0，） C．（0，] D．（，1]
【答案】B
【详解】若恰有4个单调区间，则等价为函数与x轴有两个不同的交点，即m≠0且判别式，即，
即−8m+1>0，解得m