2026高考数学一轮复习-2.3函数的奇偶性、周期性与对称性【课件】

第一章第3节　函数的奇偶性、周期性与对称性[课程标准要求]1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,判断应用函数的周期性.积累·必备知识01回顾教材,夯实四基1.函数的单调性f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x) y轴原点函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.2.函数的周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的 正周期.最小1.奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|).(3)若函数满足f(x)=0或解析式可化简为f(x)=0(x∈D),其中定义域D是关于原点对称的非空数集,则函数既是奇函数又是偶函数.(4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.周期性的常用结论设函数y=f(x),x∈R,a>0.(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a.(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a.(3)若f(x+a)= ,则函数的一个周期为2a.(4)若f(x+a)= ,则函数的一个周期为2a.3.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,即f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x).(2)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称,即f(b+x)+f(b-x)=0或f(x)+f(2b-x)=0.(3)若函数y=f(x)满足f(m)=f(n),且m+n=p(常数),则y=f(x)的图象关于直线x= 对称.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)上是偶函数.(　 　)(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.(　 　)(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.(　 　)(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点( ,0)对称.(　 　)××√√√443.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3-3x+1,则f(3)=　　　　. 解析:由题意可得,f(3)=-f(-3)=-(-54+9+1)=44.4.已知定义在R上的函数f(x)在[-2,+∞)上单调递减,且f(-2-x)=f(-2+x),则f(-4)与f(1)的大小关系为　　　　　　　　. 解析:因为f(-2-x)=f(-2+x),所以f(x)的图象关于直线x=-2对称,又f(x)在[-2,+∞)上单调递减,所以f(-4)=f(0)>f(1),故f(-4)>f(1).f(-4)>f(1)5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数f(x)的解析式为　 　　　　　　. 解析:设x0,由题意可知f(-x)=(-x)2-x-1=x2-x-1,因为f(x)是R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2+x+1,且f(0)=0.02提升·关键能力类分考点,落实四翼考点一　函数奇偶性的判断[例1] (多选题)(2024·山东临沂统考一模)已知f(x)=x3g(x)为定义在R上的偶函数,则函数g(x)的解析式可以为(　　)√√√判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称,否则为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.[针对训练](1)已知函数f(x)=sin x,g(x)=ex+e-x,则下列结论正确的是(　　)A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数√解析:(1)选项A,f(x)g(x)=(ex+e-x)sin x,f(-x)g(-x)=(e-x+ex)sin(-x)=-(ex+e-x)sin x=-f(x)g(x),是奇函数,A错误;选项B,|f(x)|g(x)=|sin x|(ex+e-x),|f(-x)|g(-x)=|sin(-x)|(e-x+ex)=|sin x|(ex+e-x)=|f(x)|g(x),是偶函数,B错误;选项C,f(x)|g(x)|=|ex+e-x|sin x,f(-x)|g(-x)|=|e-x+ex|sin(-x)=-|ex+e-x|sin x=-f(x)|g(x)|,是奇函数,C正确;选项D,|f(x)g(x)|=|(ex+e-x)sin x|,|f(-x)g(-x)|=|(e-x+ex)sin(-x)|=|(ex+e-x)sin x|=|f(x)g(x)|,是偶函数,D错误.故选C.(2)下列函数是奇函数的是　　 　(填序号). ①②③④③显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.因为当x0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时,-x