2024年中考数学（盐城）第三次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（盐城）第三次模拟考试（含答案），共43页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．在0、 、、3这四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．C．D．3
2．如图图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B． C．D．
4．如图，A、B、C、D是平面内四点， 若，，，则线段的长度可能是（ ）
A．2B．4C．5D．6
5．机器人的研发是当今时代研究的重点．中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型工业纳米机器人，其大小仅约纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米．
6．如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，，以的顶点为圆心，直角边为半径画弧，与斜边交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，，，边长为的正方形从点出发，沿射线运动．当点与点重合时，运动停止．设，正方形与的重叠面积为，关于的图象如图所示．下列结论：
①，，，，；②当时，；③在运动过程中，的最大值为．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．要使分式有意义，则的取值范围是 .
10．如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图．由此他可以估计不规则图案的面积为 ．
11．如图，在中，，是的中线，点E，F分别是，的中点，连接，若，则的长为 ．
第11题第14题
12．已知一个正边形的内角和与外角和的差为，则 ．
13．“让孩子变聪明的方法，不是补课，不是增加作业量，而是阅读、阅读、再阅读”. 某学校坚持开展阅读活动，学生人均阅读量从年的万字，增加到年的万字，则该校人均阅读量年均增长率为 ．
14．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后可拼接成矩形．若，则的面积是 ．
15．如图，在正方形中，边，点，分别是边，的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到正方形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 ．
第15题第16题
16．如图，反比例函数的图形过点A，反比例函数的图象与直线交于点B，C，已知，则 ；过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点D和E，连接交y轴于G，连接交x轴于点F，当的面积为1时， ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有负整数解．
19．（8分）先化简，再求值：，其中是方程的根．
20．（8分）花钿（diàn）是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，在唐代比较流行．王欣和张敏都是汉服妆造爱好者，两人买了四种不同的花钿（如图所示），由于每个花钿都很漂亮，一时不知道该选哪个来装扮，因此用抽卡片的方式来决定，将这四种花钿分别画在四张背面完全相同的不透明卡片上（卡片大小、形状、质地均相同），将背面朝上洗匀，王欣先从这四张卡片中随机选择一张不放回．
(1)王欣选中的花钿恰好是的概率是______；
(2)张敏将剩下的三张卡片洗匀后，再从这三张卡片中随机选择一张，请用列表或画树状图的方法求两人选择的花钿恰好是和的概率．（不分先后顺序）
21．（8分）如图，在平行四边形中，E是边上一点．
(1)过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，求证：．
22．（10分）为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某市教育部门对友谊中学九年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，根据图中信息解答下列问题：
(1)本次共调查了 名学生．
(2)本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为 ；众数为 ．
(3)该校九年级有1700名学生，请你估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生约有多少人？
23．（10分）【建构模型】
对于两个不等的非零实数，，若分式的值为零，则或．
又因为，
所以关于的方程有两个解，分别为，．
【应用模型】
利用上面的结论解答下列问题：
(1)方程的两个解分别为，，则______，______；
(2)关于的方程的两个解分别为，，求的值．
24．（10分）如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，．
(1)求证：是的切线；
(2)过点作于点，若的半径为，求图中阴影部分的面积．
25．（10分）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
(1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
(2)求p与x之间满足的函数关系式；
(3)当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？
(4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
26．（12分）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________；
(2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________．
(3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由．
27．（14分）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
2024年中考第三次模拟考试(盐城卷)
数 学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．在0、 、、3这四个数中，最小的数是（ ）
A．0B．C．D．3
【答案】B
【分析】解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．
根据“负数0正数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小”可得答案．
【详解】解：∵，
∴最小，
故选：B．
2．如图图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、 利用二次根式的性质化简，同底数幂相乘，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D．
4．如图，A、B、C、D是平面内四点， 若，，，则线段的长度可能是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】本题考查两点间的距离及三角形三边关系，掌握构成三角形的条件是解题的关键．分别在和中根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”列不等式组并求解即可．
【详解】解：在中，，即：
在中，，即：，
∴，
各个选项中满足条件的只有4，
故选：B．
5．机器人的研发是当今时代研究的重点．中国科学院宁波材料技术与工程研究所研发的新型工业纳米机器人，其大小仅约纳米．已知1纳米米，则纳米用科学记数法表示为（ ）
A．米B．米C．米D．米．
【答案】A
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．熟知科学记数法的表示方法是关键．
【详解】解：∵1纳米米，
∴纳米米
故选∶A．
6．如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，则面积比为，即可得出投影三角形的面积．
【详解】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为，
∴投影三角形的面积为．
故选：B．
7．如图，，以的顶点为圆心，直角边为半径画弧，与斜边交于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，邻补角的性质，由得到，进而由得到，再利用邻补角互补即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
8．如图，在中，，，，边长为的正方形从点出发，沿射线运动．当点与点重合时，运动停止．设，正方形与的重叠面积为，关于的图象如图所示．下列结论：
①，，，，；②当时，；③在运动过程中，的最大值为．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．②③
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数关系式，动点问题，解直角三角形，解题的关键是找出运动过程的边界点．分情况讨论，求出，，，时，与的关系即可求解．
【详解】解：画出运动过程中草图如下：
；临界点为B与G重合时；
；临界点为与重合时；
；临界点为D与C重合时；
时，临界点为F与A重合时；
时，临界点为G与C重合，此时运动停止．
经过计算可知，S与x的关系式如下（部分未化简）：
由上，，，，成立，故①正确；
当时，如下图所示，，符合，故②正确；
由图像可知，在时取到最大值．化简前式使用顶点公式可知，最大值为，显然与③不符，故③错误；
综上，①②正确，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
9．要使分式有意义，则的取值范围是 .
【答案】，且
【分析】本题考查分式有意义的条件、解不等式，平方根的定义，等知识，由分式有意义的条件得到，求解即可得到答案，熟记不等式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：要使分式有意义，
，解得，且，
故答案为：，且．
10．如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图．由此他可以估计不规则图案的面积为
．
【答案】2.1
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为0.35．根据图2可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为，
设不规则图案的面积为，
则，
解得：，
不规则图案的面积约为，
故答案为：2.1．
11．如图，在中，，是的中线，点E，F分别是，的中点，连接，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质；
先根据三角形中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案．
【详解】解：∵点E，F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，是的中线，
∴，
故答案为：．
12．已知一个正边形的内角和与外角和的差为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，解一元一次方程，根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键．
【详解】解：由题知，正边形的内角和为，正边形的外角和为，
又∵正边形的内角和与外角和的差为，
∴，
解得：，
故答案为：．
13．“让孩子变聪明的方法，不是补课，不是增加作业量，而是阅读、阅读、再阅读”. 某学校坚持开展阅读活动，学生人均阅读量从年的万字，增加到年的万字，则该校人均阅读量年均增长率为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了一元二次方程的增长率问题：设该校人均阅读量年均增长率为，根据“学生人均阅读量从年的万字，增加到年的万字” ，列式，即可作答．
【详解】解：设该校人均阅读量年均增长率为，
∵学生人均阅读量从年的万字，增加到年的万字
∴，解得，负值已舍去
则该校人均阅读量年均增长率为
故答案为：
14．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后可拼接成矩形．若，则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，由四边形是矩形，得，，从而可证，，根据面积和差得到，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
同理可证：，
∴，，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
∴，
故答案为：．
15．如图，在正方形中，边，点，分别是边，的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到正方形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 ．
【答案】
【分析】连接交于P，连接，根据正方形的判定与性质证明四边形是矩形，求得，再证明求得，进而利用勾股定理求得，由得知点H在为直径的圆上，设圆心为O，当点E与M重合时，点H在点N处，当点E与A重合时，点H在点P处，可得点H的运动轨迹为， 利用等腰直角三角形性质和圆周角定理求得，进而利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接交于P，连接，

∵四边形是正方形，
∴，，，
∵点M、N分别是边、的中点，，
∴，
∴四边形是矩形，
又，
∴，
动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，
，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，则，
∴点H在为直径的圆上，设圆心为O，
当当点E与M重合时，点H在点N处，当点E与A重合时，点H在点P处，则点H的运动轨迹为，
，
，
∴，
则点H所经过的路径长是，
故答案为：．
16．如图，反比例函数的图形过点A，反比例函数的图象与直线交于点B，C，已知，则 ；过点A分别作y轴和x轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点D和E，连接交y轴于G，连接交x轴于点F，当的面积为1时， ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何综合，求一次函数解析式，三角形面积的计算，相似三角形的判定与性质，延长交x轴于点N，过点B作轴于点M，证明，得出，求出，设点且，则，，求出点B的坐标，从而得出点C的坐标，求出直线的解析式，得出，求出直线的解析式，得出，根据面积列式求解即可得到答案；
【详解】解：延长交x轴于点N，过点B作轴于点M，如图所示，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点且，则，，
∵，
∴，
∴，
∴点坐标为
∵、两点是正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点，
∴与关于原点对称，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，把，代入得，
，解得：，
∴的解析式为：，
把代入得，，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得，
，解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
解得：，
∴，
∵的面积为1，
∴，
即：，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：，．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：
．
18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有负整数解．
【答案】，它的负整数解是
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的负整数即可．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
原不等式组的解集是
它的负整数解是．
19．（8分）先化简，再求值：，其中是方程的根．
【答案】，4
【分析】本题考查的是分式的化简求值，解一元二次方程，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x是方程的根求出x的值，把x的值代入进行计算即可．
【详解】解：
∵x是方程的根，
∴解得：，，
∵x不能取，
∴当时，原式．
20．（8分）花钿（diàn）是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，在唐代比较流行．王欣和张敏都是汉服妆造爱好者，两人买了四种不同的花钿（如图所示），由于每个花钿都很漂亮，一时不知道该选哪个来装扮，因此用抽卡片的方式来决定，将这四种花钿分别画在四张背面完全相同的不透明卡片上（卡片大小、形状、质地均相同），将背面朝上洗匀，王欣先从这四张卡片中随机选择一张不放回．
(1)王欣选中的花钿恰好是的概率是______；
(2)张敏将剩下的三张卡片洗匀后，再从这三张卡片中随机选择一张，请用列表或画树状图的方法求两人选择的花钿恰好是和的概率．（不分先后顺序）
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可；
（）画出树状图，利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：∵一共有、、、四种花钿，
∴选中的花钿恰好是的概率是，
故答案为：；
（2）解：根据题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种，
∴两人选择的花钿恰好是和的概率．
21．（8分）如图，在平行四边形中，E是边上一点．
(1)过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在上截取，结合可得四边形是平行四边形，则；
（2）根据平行线的性质得出，，即可证明．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
在和中，，
∴．
22．（10分）为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某市教育部门对友谊中学九年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，根据图中信息解答下列问题：
(1)本次共调查了 名学生．
(2)本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为 ；众数为 ．
(3)该校九年级有1700名学生，请你估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生约有多少人？
【答案】(1)100
(2)1.5，1.5
(3)306人
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估算整体，
（1）用每天完成作业所用的时间为小时的人数除以占比，即可求解；
（2）根据条形统计图分析出中位数和众数；
（3）根据样本计算出每天完成作业所用时间为2小时的学生在样本的比例，根据比例估算出九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生．
【详解】（1）解：本次调查的人数为：（人），
故答案为：；
（2）完成作业时间为小时的有：（人），
用小时的人数最多，
抽查学生完成作业所用时间的众数是．
从小到大排列后，第和名用时都是，
中位数是，
故答案为：，；
（3）解：，
（人），
答：九年级学生中，每天完成作业所用时间为小时的学生约有人．
23．（10分）【建构模型】
对于两个不等的非零实数，，若分式的值为零，则或．
又因为，
所以关于的方程有两个解，分别为，．
【应用模型】
利用上面的结论解答下列问题：
(1)方程的两个解分别为，，则______，______；
(2)关于的方程的两个解分别为，，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由题意可得，；
（2）将已知方程变形为，则可得或，再求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，；
（2）解：，
，
，
或，
或，
又，
，，
．
24．（10分）如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，．
(1)求证：是的切线；
(2)过点作于点，若的半径为，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，利用等边对等角求得，，利用三角形内角和定理求得，即可证明是的切线；
（）利用勾股定理和直角三角形的性质分别求出及，再根据即可求解；
此题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，不规则图形的面积计算，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形内角和得，
，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：由（）得，
∴为直角三角形，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
，
，
∴图中阴影部分的面积．
25．（10分）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
(1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
(2)求p与x之间满足的函数关系式；
(3)当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？
(4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)其中为正整数
(3)第15场和第35场
(4)第21场获得的利润最大，最大利润为145万元
【分析】（1）根据第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，即可解答；
（2）根据题意设出相应的函数表达式，然后通过表格中的数据求出表达式中的未知量即可；
（3）把分别代入（2）中两个解析式中即可求解；
（4）分别表示出利润的相关函数，再在自变量取值范围内研究哪一场获得的利润最大，最大利润是多少．
【详解】（1）解：∵第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台，
∴与的函数关系式为．
（2）解：设基本价为，
①第1场～第20场，且为正整数，
设与的函数关系式为，
依题意得，解得，
∴．
第21场～第40场，即且为正整数时，
设与的函数关系式为，即．
依题意得，解得，
∴，
综上所述，其中为正整数；
（3）解：当时，，
解得；
，解得．
故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场
（4）解：设每场获得的利润为（万元）．
当且为正整数时，
，
∵在对称轴的左侧，随的增大而增大，
∴当时，最大，最大利润为（万元）．
当且为正整数时，，
∵随的增大而减小，
∴当时，最大，最大利润为（万元），
∵，
∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元．
26．（12分）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________；
(2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________．
(3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)，，或
(3)是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可；
（2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围；
（3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出，，，即可判断的形状．
【详解】（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形“梦之点”满足，，
∴点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”，
故答案为：，；
（2）∵点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，
∴把代入得，
∴，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在直线上，
联立，解得或，
∴，
∴直线的解析式是，
函数图象如图：

由图可得，当时，x的取值范围是或；
故答案为：，，或；
（3）是直角三角形，理由如下：
∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，
∴联立，解得或，
∴，，
∵
∴顶点，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形．
27．（14分）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
【答案】(1)，2
(2)，理由见详解
(3)
【分析】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解；
（2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可；
（3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出和相等，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长．
【详解】（1）解：（1），
，
，，
由翻折的性质可知，，
，
，
又，
，
又，
，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
，
，
，
，即，
故答案为：，2；
（2），理由如下：
由（1）可知，，，
，
；
（3）过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图，
，
，，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
设，
四边形为菱形，
，
，
，
，，
，，
由勾股定理可得：，
，
解得：，即的长为．
x（场）
3
10
25
p（万元）
10.6
12
14.2
x（场）
3
10
25
p（万元）
10.6
12
14.2