2025年福建省泉州市鲤城区九年级中考模拟测试数学试卷（解析版）-A4

这是一份2025年福建省泉州市鲤城区九年级中考模拟测试数学试卷（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1. 下列比小数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．将每个选项中的有理数分别和比较大小即可得出答案．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形．
故选A．
3. 预计2024年福建省GDP比上一年的总增量约为亿元．将亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握科学记数法的表示，确定的值是关键．
科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数的变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解．
【详解】解：亿，
故选：D ．
4. 把如图五角星绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据五角星的特点，用周角360°除以5即可得到最小的旋转角度，从而得解．
【详解】解：∵360°÷5=72°，
∴旋转的角度为72°的整数倍，
36°、72°、90°、108°中只有72°符合．
故选：B．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
5. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、去括号、单项式的乘法、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据合并同类项、去括号、单项式的乘法、完全平方公式的运算法则，逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项计算不正确，不符合题意；
B、，故此选项计算不正确，不符合题意；
C、，故此选项计算正确，符合题意；
D、，故此选项计算不正确，不符合题意；
故选：C．
6. 为了解九年级同学春节期间体育锻炼总时间，老师随机抽查了本校100名九年级同学，将所得数据整理后制作成如图所示的频数分布直方图．则可估计本校500名九年级同学春节期间体育锻炼总时间不少于30小时的人数大约是（ ）
A. 30人B. 70人C. 150人D. 200人
【答案】C
【解析】
【分析】根据“频率=频数÷总数据和”可得100名学生中，体育锻炼总时间不少于30小时的人数；根据样本估计总体的思想可得500名学生中体育锻炼总时间不少于30小时的人数，再由“频数=总数据和×频率”即可得到答案．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
【详解】解：春节期间体育锻炼总时间不少于30小时的人数所占的百分比：，
则该校春节期间体育锻炼总时间不少于30小时的人数有（人）；
故选：C．
7. 如图，A，B，C是上的三点，，则的度数是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．连接，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，再利用圆周角定理即可求出的度数．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
．
故选：C．
8. 如图，滨海办公区东、西两栋办公楼的高度相等，且水平距离为．下午3时太阳光线与地面所成的角是．这时东楼二层离地的阳台与西楼的楼顶、太阳恰好在一条直线上，则这两栋办公楼的高度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意得，，再根据正切的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，
由题意得，，，
在中，，
，
这两栋办公楼的高度为．
故选：B．
9. 计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表：
例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（ ）
A. B. C. D. 210
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题需先根据十进制求出E与F的乘积，再把结果转化成十六进制即可．掌握十进制和十六进制之间的换算是解题的关键，属于基础题．
【详解】解：由于，
则，
所以用十六进制表示为，
故选：C．
10. 已知二次函数的图象与x轴交于点和点，其中a为常数，则该二次函数的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质；根据题意得到展开整理成顶点式即可求出．
【详解】解：根据题意得，
当时，有最大值；
故选：C．
二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．利用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是______．（填“＞”或“＜”）
【答案】＜
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数值的大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的性质即可解答．
【详解】解：，
反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内随增大而增大，
点，在反比例函数的图象上，且，
，
故答案为：＜．
13. 一个不透明的口袋中先放入除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球各2个，要使得从中摸到一个白球的概率为，则需再往袋中放入形状大小都相同的______个黑球．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查概率计算；设再往袋中放入形状大小都相同的个黑球，根据题意列出，计算求解即可．
【详解】解：设再往袋中放入形状大小都相同的个黑球，
解得
∴再往袋中放入形状大小都相同的2个黑球，
故答案为：2．
14. 不等式组的所有整数解的和为______.
【答案】0
【解析】
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是解集的公共部分，然后确定整数解，然后将各整数解求和即可．
【详解】解：解不等式，得：x≥﹣2，
解不等式，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
所以不等式组的所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，正确求解不等式组的解集是解题的关键．
15. 一根钢管放在“V”形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了求不规则图形的面积、解直角三角形、切线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，由题意得都是的切线，得到，利用四边形的内角和定理得出，再证出，得到，利用正切的定义求出的长，最后利用阴影部分的面积即可求解．
【详解】解：如图，连接，
由题意得，都是的切线，
，，
，
，
，
，，，
，
，，
在中，，
，
，
阴影部分的面积
．
故答案为：．
16. 如图，在中，点E在边上，连接，交对角线于点F．若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、比例的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用平行四边形的性质得到，，，利用比例的性质得到，证明得到，，进而推出，再利用图形面积之间的比例关系即可求解．
【详解】解：，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题（共9小题，满分86分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．先代入特殊角的三角函数值，再利用绝对值和负整数指数幂的运算法则计算，最后相加减即可求解．
【详解】解：
．
18. 已知：如图，在正方形中，对角线相交于点，点分别是边上的点，且．
求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由正方形的性质得出OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，再证明∠COE=∠DOF，从而得到△COE≌△DOF，即可证明CE=DF．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD=OC，∠ODF=∠OCE=45°，∠COD=90°，
∵∠EOF=90°，即∠COE+∠COF=90°，
∴∠COE=∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），
∴CE=DF．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据正方形的性质得出条件证明全等．
19. 【观察发现】有些三位数，十位上的数字的两倍恰好等于百位上的数字与个位数字的和．如：345，147等，我们称这样的三位数为“和倍数”．
【猜想验证】猜想“和倍数”是哪个正整数（1除外）的倍数，并验证你的猜想．
【答案】“和倍数”是3的倍数，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了新定义、整式加减的应用，正确理解“和倍数”的定义是解题的关键．设“和倍数”为，根据“和倍数”的定义可得，整理可得，即可得出结论．
【详解】解：“和倍数”是3的倍数，证明如下：
设“和倍数”为，
由题意得，，
，
，
是整数，
是整数，
是3的倍数，
“和倍数”是3的倍数．
20. 如图，已知，，是高．
（1）求作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，．求外接圆的半径．
【答案】（1）画图见解析
（2）
【解析】
【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求；
（）连接，由等腰三角形的性质得，即由勾股定理得，设的半径为，则，在中由勾股定理得，解方程即可求解；
本题考查了画三角形的外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，正确画出图形是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：连接，
∵，，
∴，，
∴，
设的半径为，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴外接圆的半径为．
21. 为了解同学们一段时间以来仰卧起坐的训练情况，老师在班上各选取10位男生和10位女生，进行1分钟仰卧起坐对抗赛．负责统计的同学在女生最后一位选手没比完之前，完成如下不完整的统计表和折线统计图．
根据所给信息回答下面的问题：
（1）若10位男生和女生成绩的平均数相同．
①将折线统计图补充完整，并根据折线统计图判断男生还是女生的成绩比较稳定；
②求出女生选手成绩的众数；
（2）若男女生选手成绩的中位数相等，求出女生最后一位选手成绩的最小值．
【答案】（1）①见解析，女生的成绩比较稳定；②34次
（2）37次
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图、平均数、众数、中位数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）①先求出10位男生成绩的平均数，设女生最后一位选手的成绩为次，根据10位男生和女生成绩的平均数相同，列出方程解出的值，将折线统计图补充完整，再根据折线统计图即可作出判断；②根据众数的定义即可求解；
（2）先求出10位男生成绩的中位数，设女生最后一位选手的成绩为次，分，和三种情况讨论，分别求出对应的女生选手成绩的中位数，得出的最小值即可解答．
【小问1详解】
解：①10位男生成绩的平均数为（次），
设女生最后一位选手的成绩为次，
由题意得，，
解得：，
女生最后一位选手的成绩为34次，
补充折线统计图如下：
根据折线统计图可得，女生的成绩比较稳定．
②由统计表可知，女生选手成绩的众数为34次．
【小问2详解】
解：将男生的成绩从小到大顺序排列，中位数为第5位和第6位的平均数，
男生选手成绩的中位数为（次），
将女生的成绩从小到大顺序排列，中位数为第5位和第6位的平均数，
设女生最后一位选手的成绩为次，
若，则女生选手成绩的中位数为（次），不符合题意；
若，则女生选手成绩的中位数为（次），不符合题意；
若，则女生选手成绩的中位数为（次），符合题意；
综上所述，的范围为，即的最小值为37，
女生最后一位选手成绩的最小值为37次．
22. 为改善生活环境，减少污水排放，长青村准备筹集资金，购买甲，乙两种污水处理设备，安装在专门设置的场地，用于处理全村排放的污水．已知每套乙种设备价格比甲种设备少，用360万元单独购买甲种设备比乙种设备要少2套，安装一套甲种设备需占地，一套乙种设备需占地．
（1）甲，乙两种污水处理设备每套分别是多少万元？
（2）长青村共筹集到资金500万元，准备购买20套甲，乙两种污水处理设备，经预算，安装设备的前期准备工程的费用不少于总资金的四分之一，求安装这20套污水处理设备占地的最大面积是多少？
【答案】（1）甲种污水处理设备每套20万元，乙种污水处理设备每套18万元
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用、不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设甲种污水处理设备每套万元，则乙种污水处理设备每套万元，根据题意列出方程，解出的值即可解答；
（2）设购买套甲种污水处理设备，则购买套乙种污水处理设备，根据题意列出不等式，求出的解集，设污水处理设备占地的面积为，根据题意列出与的关系式，再利用一次函数的性质求出的最大值即可解答．
【小问1详解】
解：设甲种污水处理设备每套万元，则乙种污水处理设备每套万元，
由题意得，，
解得：，
经检验，是方程的解且符合题意，
则，
答：甲种污水处理设备每套20万元，乙种污水处理设备每套18万元．
【小问2详解】
解：设购买套甲种污水处理设备，则购买套乙种污水处理设备，
由题意得，，
解得：，
是整数，
，
设污水处理设备占地的面积为，
由题意得，，
，
中随着的增大而增大，
当时，有最大值，
答：安装这20套污水处理设备占地的最大面积是．
23. 阅读下列材料，解答问题．
【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，原来经过小土坡铺设的水管（）由于风吹日晒，老化损坏，现在李叔准备从土坡下直接埋一条水管（D，B，C，E在同一直线上）．
【问题】为了计算新水管的长度，需要测量B，C之间的距离；
要了解水管承受的压力，需要测量土坡的高度．
【工具】一把皮尺和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小．
【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度，，再用测角仪测得．
解答问题：
（1）求的长度；（结果用含a，b，的代数式表示）
（2）若测得，，，求出小土坡的高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作交延长线于点，设，在中利用三角函数的定义求出和的长，得出的长，在中利用勾股定理表示出的长，再根据平角的定义得到，即可求解；
（2）过点作于点，结合（1）中的结论，代入数据求出和的长，再利用等面积法得到，求出的长，即可解答．
【小问1详解】
解：如图，过点作交延长线于点，则，
设，
在中，，，
，，
，
在中，，
，
，
，即，
，
的长度为．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，
，，，
，，
，
，
答：小土坡的高度为．
24. 如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上．
（1）求直线的解析式；
（2）求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值；
（3）如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）先求出点A，B，C的坐标，设直线的解析式为，代入点B，C的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，利用割补法表示出以A，B，P，C为顶点的四边形面积，再利用二次函数的性质求出最大值，再比较2种情况的最大值的大小即可得出答案；
（3）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，得出，，通过证明，得到，结合图形列出方程，解出的值即可求出点P的坐标．
【小问1详解】
解：令，则，
解得：，，
，，
令，则，
，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得：，
直线的解析式为．
【小问2详解】
解：由（1）得，，，，
，，
设，
①若点在直线上方，则，
如图，连接、、、，
，
，
当时，有最大值；
②若点在直线下方，则，
如图，连接、、，
，
，
当时，有最大值；
，
以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值为．
【小问3详解】
解：由（1）得，直线的解析式为，，
设，
①若点在直线上方，则，
如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，
，
当，则，
，
，
轴，
，
，
，
解得：，，
点的坐标为或；
②若点在直线下方，则，
如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，
同理①中的方法可得，，，
轴，
，
，
，
解得：（舍去），，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
25. 综合与实践：
【答案】结论1：见解析；结论2：；结论3：①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质得到，，再利用矩形的判定即可证明；
（2）先证明四边形是平行四边形，再根据旋转的性质得到，，，利用直角三角形的性质和等角对等边推出，得出的长度，再利用即可求解；
（3）①连接、，先证明四边形是平行四边形，得出，再由翻折的性质得到，，进而得出，推出，即可得证；②作于点，作于点，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，再证明，得到，再利用等腰三角形的性质得出的长，即可求出线段的长．
详解】解：结论1：
由平移的性质得，，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形．
结论2：
，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，
，
，
．
结论3：
①如图，连接、，
由结论2可得，四边形是平行四边形，
，，
点M，N分别是，的中点，，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
由翻折的性质得，，，
，，
，
，
直线和直线重合，
点C，，N在同一条直线上；
②如图，作于点，作于点，
，
，
，
由①中的结论得，，即，
又，，
，
，
，，
，
，
．
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
十进制
0
1
2
3
4
5
6
十六进制
8
9
十进制
8
9
10
11
12
13
14
选手
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
男生（次）
34
36
37
38
35
31
39
33
39
38
女生（次）
34
37
36
35
34
35
39
39
37
准备
在复习探究《几何图形变化》的时候，老师让同学们准备了两张全等的直角三角形纸片，并且把它们的一条直角边重合在一起（如图1），已知，，．
实践探究
平移
如图2，小明同学把沿直线平移，当点B与点A重合时，点C与点D重合，点A的对应点为点．
结论1：四边形是矩形；
旋转
如图3，小红同学把绕点A顺时针旋转，当点C对应点恰好落在边上时，点B的对应点为点，与边交于点E．
结论2：可求出图中任意一条线段的长，如；
对折
如图4，若点M，N分别是，的中点，小军同学将沿着直线对折，点B的对应点为．
结论3：①点C，，N在同一条直线上；
②可求出线段的长．
验证计算
根据以上同学对三种图形变化的探究，请你完成三个结论的证明或计算．结论3中①②可任选一个，②比①多得2分．