辽宁省葫芦岛市协作校2025-2026学年高一上学期第二次考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省葫芦岛市协作校2025-2026学年高一上学期第二次考试数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．下列函数不是幂函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
6．“函数的定义域为”是“函数的定义域为”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
7．一种质量为的物质，在化学分解中，经过时间（单位：）后，所剩的质量（单位：）与时间t的函数关系为（，均为参数，且）.已知的该物质，在化学分解中，经过后，所剩的质量为，再经过后，所剩的质量为，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知是定义在上的偶函数，对任意的，当时，恒成立，若，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．“每个整数的平方都是整数”是真命题
B．“每个整数的平方都是整数”是存在量词命题
C．“，”是假命题
D．“，”的否定是“，”
10．已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．以下关系式能构成关于的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．的最小值为 .
13．已知函数是上的减函数，则的取值范围是 .
14．若函数恰有两个零点，则的取值范围是 .
四、解答题
15．（1）若，求的值；
（2）求值：.
16．已知函数.
(1)证明：为奇函数.
(2)求方程的解.
(3)若函数在上的最大值为，求的值.
17．已知函数，.
(1)若，求的取值范围；
(2)设函数的定义域为，的定义域为，且，求的取值范围.
18．某企业计划生产某新产品，前期需投入固定成本4万元，以后生产万千克该产品，需另投入成本万元，且已知该产品每千克的售价为8元，且该企业生产的这种产品能全部销售完．利润是收入与成本之差．
(1)当时，求该企业这种产品的利润；
(2)求该企业这种产品的利润（单位：万元）与生产量（单位：万千克）的函数关系式；
(3)求该企业这种产品的利润的最大值．
19．已知函数．
(1)当时，讨论在上的最小值；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)讨论关于的不等式的解集．
1．A
先确定集合，即可得出答案.
【详解】，所以，
又，所以.
故选：A.
2．C
根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式.
【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数；
对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数；
对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数；
对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数.
故选：C.
3．A
利用配凑法求得，即可求解.
【详解】因为函数，
所以，则.
故选：A
4．D
首先根据指数函数和一次函数性质得到为单调递增函数，再利用零点存在性定义即可判断零点所在区间.
【详解】因为指数函数在上单调递增，一次函数在上单调递增，所以函数在上单调递增.
；；；
；；
因为函数在上单调递增，且，
所以函数的零点所在区间为.
故选：D.
5．C
根据奇函数的定义，结合特殊点运用排除法进行判断即可.
【详解】因为的定义域为，
且，
所以是奇函数，排除 D．
又因为，
所以，排除A．
当时，，排除B.
故选：C
6．A
分别求出“函数的定义域为”和“函数的定义域为”时函数的定义域，再根据充分条件和必要条件的定义判断两个条件之间的关系.
【详解】根据题意，函数的定义域为，即，则有，
∴函数的定义域为.
对于函数，则有，解得，
故函数的定义域为，
∴充分性成立.
反之，若函数的定义域为，即，则有，
∴函数的定义域为，
对于函数，有，解得，
故函数的定义域为，
∴必要性成立，
∴“函数的定义域为”是“函数的定义域为”的充要条件.
故选：A.
7．A
根据条件列出指数方程，再利用指数的运算得到之间的关系.
【详解】本题考查函数的应用，考查数学运算的核心素养.
由题意可得，
所以，解得.
故选：A
8．C
根据题意求出，接着由题设得到，令，得到为偶函数，且在上递增，在上单减，结合，把不等式转化为，得到不等式组，即可求解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，解得，
，且，则，
又因为，所以，
所以，则，
令，则，故在上单调递增，
因为为上的偶函数，所以为上的偶函数，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以，即为，
即，则或，
解得或，
所以不等式的解集为.
故选：C.
9．ACD
由全称量词命题的定义及真假判断AB选项，由存在量词命题的真假及否定判断CD选项.
【详解】“每个整数的平方都是整数”是真命题，且是全称量词命题，故A正确，B错误；
若，则，所以“，”是假命题，故C正确；
“，”的否定是“，”，故D正确.
故选：ACD.
10．BC
利用赋值法结合给定抽象函数的递推式求解即可.
【详解】对于，且，
令，得到，故A错误，B正确，
令，得到，解得，
令，得到，
而，则，解得，故C正确，D错误.
故选：BC
11．BCD
利用函数的定义，即可判断出AC选项，结合对数式的化简运算与函数的定义即可判断出BD选项.
【详解】对于A选项：,当时，一个有两个与之对应，不满足函数的定义，故A错误；
对于B选项：，满足函数的定义，故B正确；
对于C选项：，满足函数的定义，故C正确；
对于D选项：，，或，满足函数的定义，故D正确.
故选：BCD.
12．
利用基本不等式求最值.
【详解】因为，
根据基本不等式，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
13．
根据分段函数的性质，分析每一段函数的单调性，再结合分段点处函数值的大小关系来确定的取值范围.
【详解】由题意知，，解得，所以.
故答案为：.
14．
令，进而将问题转化为的图象与有两个交点，再作出函数，数形结合求解即可.
【详解】令，则，
因为函数恰有两个零点，
所以函数的图象与有两个交点，
由时，，
故，
故作出函数图象如图所示，
由图可知，当时，函数的图象与有两个交点，
所以的取值范围是.
故答案为：
15．（1）；（2）
（1）利用完全平方公式结合给定条件求值即可.
（2）利用指数和对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）由题意得，则，
可得，解得.
（2）由题意得
.
16．(1)证明见解析；
(2)
(3)
（1）根据奇函数的概念证明即可；
（2）令，进而转化为解一元二次方程得，最后再求的值即可；
（3）根据复合函数的单调性判断得在上单调递减，进而解方程即可得答案.
【详解】（1）证明：函数的定义域为，
，
所以函数为奇函数.
（2）令，
则等价于，即，解得（舍），，
所以，即，
所以方程的解为.
（3）解：因为函数均为定义域上的增函数，
所以函数在上单调递增，故在上也为增函数，
因为当时，，
因为，函数为减函数，
所以在上单调递减，
所以函数在上的最大值为，即，解得，
所以.
17．(1)
(2)
（1）由，代入函数解析式，解不等式求的取值范围；
（2）求函数的定义域得，由，得在上恒成立，求出函数在上的最小值可得的取值范围.
【详解】（1）函数，，
函数，，
，即，得，解得，
所以的取值范围为.
（2）函数的定义域为，由，即，解得，则有，
若，则，
的定义域为，则时，恒成立，
即在上恒成立，
又函数在上单调递增，则时有，即，
若在上恒成立，必有，
即a的取值范围为.
18．(1)11万元
(2)
(3)万元.
【详解】（1）当时，企业这种产品的利润为万元
（2）因为每千克产品的售价为元，所以万千克产品的销售收入为万元.
当时，；
当时，，
所以
（3）当时，，
此时当时，取得最大值（万元）.
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值（万元）.
因为，所以当月产量为万件时，企业所获利润最大，利润的最大值为万元.
19．(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）当时，，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，即当时，函数在上单调递减，
此时；
当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时；
当时，函数在上单调递增，此时.
综上所述，.
（2）当时，，令，，
因为内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数在上单调递减，在上单调递增，
由可得，由可得或，
由复合函数法可知，函数的单调递减区间为、，
单调递增区间为、.
（3）不等式即为，
当时，不等式即为，
因为，即，解原不等式可得；
当时，不等式即为，
因为，
（i）当时，，解原不等式可得或；
（ii）当时，原不等式即为，解得；
（iii）当时，，解原不等式可得或.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；