鲁教版（五四学制）（2024）数学七年级下册 11.1三角形内角和定理（第2课时 三角形的外角及其性质 ）（课件）

第十一章 三角形的证明及其应用1 三角形内角和定理第2课时 三角形的外角及其性质 学习目标1.了解并掌握三角形的外角的定义。（重点）2.掌握三角形内角和定理的两个推论，利用这两个推论进行简单的证明和计算。（难点）3.体会几何中不等关系的简单证明。4.引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考，通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。回顾复习三角形的内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180 °创设情境问题：在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？123思 考新知引入知识点1 外角的概念合作探究观察：∠1 的两条边与△ABC的两条边有什么关系？CAD1观察：∠1 的顶点与△ABC的顶点有什么关系？①顶点是三角形的顶点；②一条边是三角形内角的一边；③另一条边是该内角另一条边的反向延长线。CBAD1 △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC 的外角。∠1 是△ABC的一个外角问题1 延长AC 到E ，∠2是△ABC的一个外角吗？ ∠3是△ABC的一个外角吗？E在三角形每个顶点处都有两个外角。它们互为对顶角，∠1 =∠2。∠2是△ABC的一个外角，∠3不是△ABC的一个外角。问题2 三角形每个顶点处有几个外角？它们有怎样的关系？123三角形的外角应具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线。∠ACD是△ABC的一个外角，每一个三角形都有6个外角。总结归纳例题示范例 下列各图中，∠1是△ABC的外角的是(　　)D新知引入知识点2 三角形外角的性质∠1=∠A+∠B你能证明此结论吗？观察：∠1 与△ABC的三个内角之间有什么关系？∠1与∠2互补12∠1 ＞ ∠A ， ∠1＞ ∠B∠1+∠2=180°(平角的定义)。已知：△ABC。求证：∠ACD=∠A+∠B，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B。证明：∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠A+∠B=180°－∠ACB（等式的性质）。∵ ∠ACD+∠ACB=180°（平角的定义），∴∠ACD=180°－∠ACB（等式的性质）。∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）。∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B。定理：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 符号语言：三角形内角和定理有关外角的两个推论：∵ ∠1 是△ABC 的外角∴ ∠1=∠B+∠C符号语言：∵ ∠1 是△ABC 的外角∴ ∠1 ＞ ∠B， ∠1＞ ∠C1定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。教材例题例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C。求证:AD∥BC。 例3 如图， ∠BAF, ∠CBD, ∠ACE是△ABC的三个外角。求证：∠BAF+ ∠CBD+ ∠ACE=360°。证明：∵∠BAF是△ABC的一个外角（已知），∴∠BAF= ∠2+ ∠3（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。同理，∠CBD= ∠1+ ∠3,∠ACE= ∠1+ ∠2。∴∠BAF+ ∠CBD+ ∠ACE=2（∠1+ ∠2+ ∠3）（等式的基本性质）。∵∠1+ ∠2+ ∠3=180 °（三角形内角和定理），∴∠BAF+ ∠CBD+ ∠ACE=2×180°=360°（等量代换）。例4 如图， 在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到点D,连接DE。求证：∠1＞∠2。证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知），∴∠1＞ ∠3（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。∵∠3是△CDE的一个外角（外角的定义）,∴ ∠3＞∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。∴∠1＞∠2。1.如图，在△ABC中， D是BC延长线上一点，∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A等于( )A.60° B.70° C.80° D.90°【解析】根据三角形外角的性质可得，∠ACD =∠B+∠A，所以∠A=∠ACD -∠B= 120°-40°= 80°。C随堂练习2.如图，AB∥CD，则下列说法正确的是( )A.∠3=2∠1+∠2B.∠3=2∠1-∠2C.∠3=∠1+∠2D.∠3=180°-∠1-∠2【解析】∵AB∥CD，∴∠1=∠BCD，∠3是△COD的外角，∴∠3=∠2+∠BCD=∠2+∠1。C3.如图，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＞∠B.证明:∵CE平分∠ACD，∴∠1=∠2。∵∠BAC＞∠1，∴∠BAC＞∠2。∵∠2＞∠B，∴∠BAC＞∠B。拓展提升1.关于三角形的外角，下列说法中错误的是(　　)A．三角形的一个外角比与它相邻的内角大B．三角形的每个顶点处都有两个外角C．三角形的每个外角是与它相邻内角的补角D．一个三角形共有六个外角A2.如图，在△ABC中，点D是∠ACB与∠ABC的平分线的交点，BD的延长线交AC于点E。(1)若∠A＝70°，求∠BDC的度数；2.如图，在△ABC中，点D是∠ACB与∠ABC的平分线的交点，BD的延长线交AC于点E。(2)若∠EDC＝50°，求∠A的度数。归纳小结三角形的外角定义角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线性质1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角和三角形的外角和等于360 °2.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角