2026成都成华区某校高三上学期12月一诊考前模拟数学试题含解析

2025-2026学年度（上）一诊模拟考试 高2023级数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，是实数集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合，进而得到，进而根据交集的定义计算即可. 【详解】因为或， 所以， 又， 所以. 故选：B. 2. 若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则及几何意义求解即可. 【详解】由，得， 所以在复平面内z对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：,又因为是与的等比中项,所以，即，解之得，所以，故选D. 考点：1.等差数列定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的前项和. 【名师点睛】本题考查等差数列定义与性质、等比数列的定义与性质、等差数列的前项和，属中档题；解决等差数列与等比数列相关问题最常用的方法就是基本量法，即用首项及公差，公比来表示已知条件，列出方程或方程组，求出就可以解决受益人问题. 4. 设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率, 【详解】由题意知：渐近线方程为，由焦点，， 以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切， 则圆的半径等于圆心到切线的距离，即， 又该圆过线段的中点，故， 所以离心率为. 故答案为：. 5. 登山运动员 人， 平均分为两组， 其中熟悉道路的有4人， 每组都需要 人， 那么不同的分配方法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理及组合的平均分组问题即可求解. 【详解】先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种. 再将余下的6人平均分成两组有种. 然后这四个组自由搭配还有种， 故最终分配方法有种 故选：B. 6. 设直线与圆：相交于，两点，若，则圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理的逆定理建立的等式，计算出的值，利用圆的面积公式求解. 【详解】：圆心为，半径为， 到直线的距离为， ，，，， 圆的面积为. 故选：A. 7. 已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式及函数的对称性求出，即可得到函数解析式，再求出函数在上的单调性，求出端点函数值与最大值，依题意与在上恰有两个交点，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为（其中）， 又函数的图象关于直线对称，且， 所以，解得， 所以， 当时，则， 令，解得，且， 令，解得，且， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，，， 因为方程在上恰有两个实数根，即与在上恰有两个交点， 所以，即的取值范围是. 故选：C 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ） A. 2025 B. 2024 C. 1013 D. 1012 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和函数的对称性可得，进而，则函数是以8为周期的周期函数，分别求出的值，结合函数的周期即可求解. 【详解】由，令，得，所以. 由为奇函数，得， 所以，故①， 又②， 由①和②得， 即， 令，则， 所以③， 令，得，得； 令，得，得. 又④， 由③-④得，即， 所以函数是以8为周期的周期函数，故， 所以， 所以. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A 若，则事件与B相互独立 B. 若A与B相互独立，则 C. 若A与B互斥，则 D. 若B发生时A一定发生，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用独立事件的定义判断A；利用并事件的概率公式判断B；利用互斥事件的概率公式判断C；分析可知判断出D. 【详解】对于A，由，，得， 显然，因此事件与相互独立，A正确； 对于B，若与相互独立，则， 因此，B正确； 对于C，若与互斥，则，C错误； 对于D，若发生时一定发生，则，，D错误. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：判断两个事件相互独立的关键是利用相互独立的定义，即事件相互独立，则，反之亦然. 10. 设，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 函数图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线 C. 函数图象上的点与原点距离的最小值为 D. 函数的极小值点为 【答案】BD 【解析】 【分析】构造函数，通过求导分析单调性可得选项A错误；根据两函数互为反函数，结合函数图象特征可得选项B正确；设图象上任意一点坐标，利用点到原点的距离公式结合基本不等式可得选项C错误；通过求导分析单调性可得选项D正确. 【详解】对于A：设，则， 由得，由得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，即恒成立，选项A错误. 对于B：由得，即， 所以函数与函数互为反函数，图象关于直线对称， 结合图象可得函数与的图象都过原点，直线为函数与唯一的公切线，选项B正确. 对于C：设点为函数图象上任意一点，则，当且仅当时等号成立，选项C错误. 对于D：令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是函数极小值点，选项D正确. 故选：BD. 11. 如图，在平面四边形中，，将沿折起，使点到达点的位置，下面正确的是（ ） A. 为线段上的动点，则的最小值为 B. 异面直线与所成角的余弦值取值范围是 C. 若平面平面在三角形内部，，则轨迹长度为 D. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项在翻折前的平面四边形中，当共线，即的长就是的最小值，结合余弦定理求解即可；B选项，利用空间向量表示异面直线夹角的余弦值；C选项，先由等体积法可求得点到平面的距离，则可得在平面内，的轨迹为圆，但要判断此圆是否完全在三角形内；D选项，分析体积最大时的几何关系，由直角三角形斜边中线性质可得出圆心半径， 求出表面积. 【详解】A选项，在直角三角形中，，则， 在直角三角形中，，则， 对于线段上的任意动点，翻折前后总有， 对于翻折前的平面四边形，当共线，即的长就是的最小值， 由于，由余弦定理可得，故A正确； B选项，， ， ， 对于，翻折前为，由于，则可完全翻折使得在直线 上， 由于需要是异面直线，故，，则， 在三角形中可求得， 则，故B正确； C选项，由平面平面，交线为，平面，可得平面， 则，可得，则，即三角形为直角三角形， 作平面，垂足为， 则由即可得， 则，即在平面内，的轨迹是为圆心，1为半径的圆， 对于三角形，由等面积可得其内切圆半径， 则在三角形内部，的轨迹不是完整的圆，故长度不是，C错误； D选项，三棱锥的底面积不变，长度不变， 由选项C得当平面平面时，平面，此时体积最大， 且此时三角形，都是以为斜边的直角三角形， 则取中点，可得， 则三棱锥的外接球半径为2，表面积为，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以，即. 故答案为：. 13. 某一随机变量X的分布列如下表，且，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意可得，即可求得的值，进而结合期望公式可求得，进而得到. 【详解】由题意，得，解得， 所以， 所以. 故答案为：8. 14. 已知平面四边形中，，，，，则该平面四边形面积的最大值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据余弦定理可得，进而表示出四边形面积，进而得到，进而求解. 【详解】连接，由余弦定理得， ， 即， 即， 又四边形的面积 ， 则 ， 即，即， 当且仅当时，等号成立， 所以平面四边形面积的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角C大小； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可； （2）由三角恒等变化可得，再由正弦型三角函数的值域求解即可. 【小问1详解】 由已知及余弦定理，化简， 可得， ∴， ∵为锐角，∴． 【小问2详解】 由正弦定理，得， ， 由， 可得：，， ∴．∴． 16. 已知动点与定点距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解； （2）设，可得直线的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解. 【小问1详解】 由题意，， 整理化简得，， 所以曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，直线的斜率都存在，设， 则直线的方程为， 分别延长，交曲线于点， 设， 联立，即， 则， 根据对称性，可得， 则 ， 即，解得， 所以直线FM的斜率为. 17. 如图，在三棱锥中，平面，，，点M，N分别是线段SB，AC上的动点，且满足. （1）证明：平面； （2）当线段MN的长度最小时，求直线SC与平面AMN所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面可得，再根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，表示出，进而确定线段MN的长度最小时的值，再根据空间向量求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以， 又，，平面 所以平面. 【小问2详解】 以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，， 所以，， 所以， 所以当时，最小， 此时，， 则，， 设平面AMN的一个法向量为， 则，即， 取，则，又， 设直线SC与平面AMN所成角为， 则， 即直线SC与平面AMN所成角的正弦值为. 18. 今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 经计算可得：，，. （1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）请依据下列定义，解决下列问题： 定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a. 运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛. 参考公式：，. 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为，证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的经验回归方程； （2）由题意可知，，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； （3）分为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 由题意，，， 则， ， 所以y关于t的经验回归方程为. 【小问2详解】 由题意，可知，， 当时，，即， 又， 所以当时，数列为各项都为1的常数列， 即， 所以，，又， 所以数列为首项为公比为的等比数列， 所以，即. 【小问3详解】 由（2）知，， 当为偶数时，，且随的增大而减小， 因此的最大值为； 当为奇数时，，且随的增大而增大， 因此的最小值为， 综上所述，的最大值为，最小值为. 对于任意，总存在正整数，其中表示不超过的最大整数， 当时，， 所以数列收敛于. 【点睛】知识方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 19. 已知函数． （1）当，求在点处的切线方程； （2）当，求函数的零点个数； （3），求整数的值． 【答案】（1） （2）个 （3）或 【解析】 【分析】（1）借助导数几何意义计算即可得； （2）当时，借助导数合理放缩可得其单调性，结合零点存在性定理可得其在该范围内零点个数，当时，分、、以及，再合理放缩即可得解； （3）分、、与进行讨论即可得. 【小问1详解】 当时，，则， 有，又， 故在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，定义域为，， ①，因为，所以在上单调递增． 又因为， 由零点存在性定理可得，存在使得． ②当且， 因此恒成立，即在该区间内无零点． ③当时，． 因为， 所以在区间上单调递减． . 因为，所以，在上，故该区间内无零点． ④当时，， 因此该区间内也无零点． 综上，函数在上仅有一个零点． 【小问3详解】 函数，由题意． 当时，对于任意恒成立， 当时，由（2）知在上恒成立． 当且时，取，有， 由于且，故，与矛盾． 综上所述，的值为0或1． X0123P0.1m0.2n星期t123456销售量y（张）21822423023223690