安徽省A10联盟2025-2026学年高三上学期12月学情检测数学试题（含答案）

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1. 1−i1−3i= ( )
A. 55 B. 22 C. 2 D. 5
2. 已知集合 A=x x−2x+2≤0,B={x∣x>1} ，则 A∪B= ()
A. [−2,+∞) B. −2,+∞ C. 1,2 D. 1,2
3. 已知函数 fx 是定义在 R 上的奇函数,当 x∈0,+∞ 时, fx=2x+1−3 ,则 f0+f−1=
A. -3 B. -1 C. 1 D. 2
4. 如图,在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 P 是线段 AC1 上的一点,且 AP=2PC1 ,设 AA1=a,AD=b,AB=c ,则 PD= ( )
A. 13a−23b+13c
B. −23a−13b+23c
C. −23a+13b−23c
D. 13a−23b−23c
5. 已知 m,n 为两条不重合直线， α,β 为两个不重合平面，下列条件中， α//β 的充分条件是 ( )
A. m//n,m⊂α,n⊂β B. m//n,m⊥α,n⊥β
C. m⊥n,m⊥α,n//β D. m⊥n,m⊥α,n⊥β
6. 设等差数列 an 的公差为 d ,若 a32+a52≥2 恒成立,则 d 的取值范围为( )
A. −1,1 B. −1,2 C. −∞,−1]∪[1,+∞ D. −∞,−1]∪[2,+∞
7. 葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线，其方程通常表示为
y=a−2xπb⋅sin2x x≥0 ,其中 2xπ 为不超过 2xπ 的最大整数. 该曲线的显著特征是
振幅随间隔周期性变化，导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小，形成类似葫芦“腰部收窄、两端膨大”的形状. 如图,葫芦曲线的底脐、腰、嘴的对应点分别为 O0,0,Aπ2,0,Bπ,0 ,其上肚、下肚到轴心线 x轴的距离分别为3,2,若点 E,F 到轴心线的距离分别为 32,1 ,则点 E 与 F 的横坐标之差为( )

A. −π2 B. −5π8C. −5π12 D. −2π3
8. 在底面边长为 2 的正三棱柱 ABC−A1B1C1 中， D ， E 分别是 BB1 和 CC1 的中点，若 cs=34 ，则该三棱柱外接球的表面积为( )
A. 28π3 B. 52π3 C. 16πD. 64π3
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每个小题给出的四个选项中, 有多项是符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得零分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 若 A,B,C,D 四点共面， O 为该平面外一点，且 OD=13OA+14OB+xOCx∈R ，则 x=512
B. 若 {a,b,c} 为空间的一组基底,则 {a+b,b+c,a+c} 也是空间的一组基底
C. 已知向量 a=2,1,−3,b=1,2,1 ，则 a 在 b 上的投影向量为 16,13,16
D. 若直线 l 的方向向量为 m=1,−1,1 ，平面 α 的法向量为 n=−1,1,−1 ，则直线 l//α
10. 已知函数 fx=csωx−π4ω∈R ，则( )
A. 当 ω=−2 时，若 x1≠x2 ，且 fx1=fx2=−1 ，则 x1−x2min=π
B. 当 ω=−1 时,若 fθ=13 ,则 cs2θ=79
C. 当 ω=2 时,对任意 x∈R ,恒有 f5π8+x=f5π8−x
D. 当 fx 在 0,π 上有且仅有两个单调区间,则正数 ω 的取值范围为 14,54
11. 已知数列 1an 是等差数列,下列说法正确的是 ( )
A. 若 a1=1,a5=19 ,则 an=12n−1
B. 若 i=1201ai=40 ,则 a10+a11=2a10a11
C. 若 an>0 ,则 an+1≤an+an+22
D. 若 a1=1,a2=12 ,则 i=2n+1ai⋅lni−1≤n2−n4
第 II 卷(非选择题共 92 分)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知曲线 fx=x+acs3x 在点 x=π3 处的切线为 y=kx−13 ，则实数 a 的值为_____.
13. 若 ex=e2y+4 ，且 x−y≥m 恒成立，则 m 的取值范围为_____.
14. 在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 P 为线段 B1C 上的一个动点，则 PA+PC1 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
15.(13分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为梯形， AB//DC ，且 AP=PD=CD=2AB=2 ， PC=6,∠APD=∠ADC=60∘

(1)求证:平面 PAD⊥ 平面 ABCD ；
(2)求点 A 到平面 PCD 的距离.
16.(15分)
已知正项数列 an 满足: a1=6,2n+1an+12−22n+3an2=2n+5anan+1
(1)求证:数列 an2n+1 为等比数列；
(2)求数列 an 的前 n 项和 Sn
17. (15 分)
记 △ABC 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ，且 cs2B+cs2C=2cs2A .
(1)求证:
( i ) 2bccsA=a2 ；
(ii) 2tanA=1tanB+1tanC ;
(2)求角 A 的最大值.
18.(17分)
如图,在三棱柱 ABC−A1B1C1 中, AA1⊥ 平面 ABC,AA1=AC=BC=2,∠ACB=90∘ , D,E 分别是 A1B1,CC1 的中点.
(1)求证: C1D⊥A1B ；
(2)求直线 AC 与平面 A1BE 所成角的正弦值；
(3)在棱 CC1 上是否存在一点 P ，使得平面 PAB 与平面 A1BE 的夹角为 45∘ ? 若存在，求 CPCC1 的值; 若不存在,请说明理由.

19. (17 分)
已知函数 fx=xlnx−ax2−1,a∈R .
(1)当 a=0 时，求 fx 的极值；
(2)若存在两个不相等的实数 x1,x2∈e,e2 ，使得 fx1=fx2 ，求 a 的取值范围；
(3)记函数 fx 的两个不同零点为 x3,x4 ，求证: lnx3+lnx4>4ln2 .
A10联盟2026届高三12月学情检测数学参考答案
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A 由题意得, 1−i1−3i=1−i1−3i=210=55 . 故选 A.
2. B 由题意得, A={x∣−21} ,则 A∪B={x∣x>−2} . 故选 B.
3. D 由题意得, f0=0,f−1=−f1=−21+1−3=2 ,所以 f0+f−1=2 . 故选D.
4. C 因为 AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1 ,又 AP=2PC1 ,所以 AP=23AC1=23AB+AD+AA1 ,所以 PD=AD−AP=AD−23AB+AD+AA1= −23AB+13AD−23AA1=−23a+13b−23c . 故选C.
5. B 对于 A,α 与 β 可能平行,也可能相交,因此 A 中条件不是 α//β 的充分条件; 对于 B ,因为 m//n , m⊥α ,所以 n⊥α ,结合 n⊥β ,知 α//β ,因此 B 中条件是 α//β 的充分条件; 对于 C ,由 m⊥n , m⊥α 知 n⊂α 或 n//α ,结合 n//β ,知 α 与 β 可能平行. 也可能相交,因此 C 中条件不是 α//β 的充分条件; 对于 D ,由 m⊥n,m⊥α 知 n⊂α 或 n//α ,结合 n⊥β ,知 α⊥β ,所以 D 中条件不是 α//β 的充分条件. 故选 B.
6. C 由 a32+a52≥2 得 a32+a3+2d2≥2⇒a32+2da3+2d2−1≥0 ,上式可看作关于 a3 的一元二次不等式, Δ=2d2−42d2−1≤0⇒d2≥1 ,解得 d≤−1 或 d≥1 . 故选 C.
7. A 由题意得,点 π4,3 和 3π4,2 在曲线上,则 3=a−12b⋅sinπ22=a−32b⋅sin3π2 ,解得 a=3b=1 ,所以 y=3−2xπ⋅sin2x . 当 00 ,解得 x>1e ,令 f′x0 ,则 φx 在 0,+∞ 上单调递增.
又 ln4−24=2ln2−121>ln4−24 ,即 φx3x4>φ4 ,
所以 x3x4>4 ,则 x3x4>16 ,即 lnx3+lnx4>4ln2 . (17 分)题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
C
B
C
A
D
题号
9
10
11
答案
ABC
AC
ACD