2026湖北省十一校高三上学期12月质量检测数学试题含解析

数学试题 （试卷满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为，若，则（ ） A B. C. D. 2. 设，是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（ ） A. 58 B. 57 C. 56 D. 55 5. 已知，是椭圆C两个焦点，P是C上的一点，若以为直径的圆过点P，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，设在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A B. C. D. 7. 在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导数的定义域均为在上单调递增，为奇函数，若，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.定每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，唃选错的得0分. 9. 已知函数，关于函数下列说法正确的是（ ） A. 为的一个周期 B. 关于直线对称 C. 的值域为 D. 在上单调递减 10. 若二项式展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数绝对值之和为，二项式系数之和为，则（ ） A. B. ，使得 C D. 对任意均有 11. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线与双曲线的左右两支分别交于点，直线交双曲线于另一点，连接，，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某地有8000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为__________. 13. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有__________种. 14. 已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为锐角三个内角的对边，满足. （1）求角的大小； （2）若的面积，求的取值范围. 16. 在三棱柱中，，为的三等分点，侧面为正方形，，. （1）证明：平面平面； （2）证明：平面； （3）正方形边长为，，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球， （1）消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望； （2）若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置二个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件. （i）求和； （ii）求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 18. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点.记动点轨迹为曲线. （1）求点的轨迹方程； （2）设直线与曲线相交于两点，与圆相切于点，若为中点，求的纵坐标取值范围； （3）过点作圆（圆在曲线内部）的两条切线分别交于曲线于两点（异于点），探究直线是否过定点. 19. 定义：表示不超过的最大整数，如.已知函数，，其中. （1）讨论在上零点的个数； （2）已知函数. （i）写出定义域，若，恒有，求的取值范围； （ii），当时，有，证明：. 取球结果2个红球2个黑球红､黑球各1个奖金300元200元100元