江苏省徐州市2025-2026学年高一上学期期中考试 数学试卷

这是一份江苏省徐州市2025-2026学年高一上学期期中考试 数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
设集合 M  x 1  x  1， N  {x∣0  x  2}，则 M  N 等于（）
{x∣1  x  2}B. {x∣0  x  1}
C. {x∣0  x  1}D. {x∣1  x  0}
【答案】B
解析： M  N  x 1  x  1{x∣0  x  2}  {x | 0  x  1} .
故选：B.
已知a  0 且a  1，命题“ x  1， lga x  0 ”的否定是（）
x  1， lga x  0
C. x  1， lga x  0
x  1， lga x  0
D. x  1， lga x  0
【答案】D
解析：命题“ x  1， lga x  0 ”的否定是“ x  1， lga x  0 ”.
故选：D.
lg3 18  lg9 4  （）
A. 1B. 2C. 3D. 9
【答案】B
39332333
解析： lg 18  lg 4  lg 18  lg 22  lg 18  lg 2  lg 9  2 .
故选：B
已知函数 f  x  x2  2ax  4 在0, ∞ 上单调递增，则实数 a 的取值范围为（）
A ∞, 1
B. 1, ∞
C. 0, ∞
D. ∞, 0
【答案】D
解析：函数 f  x  x2  2ax  4  (x  a)2  4  a2 ，
所以 f  x 的单调递增区间是a, ∞ ，依题意知， 0, ∞  [a, ) ， 所以a  0 ，即实数 a 的取值范围是∞, 0.
故选：D．
设 x  R ，则“ 2  x  1 ”是“ x  2  0 ”的（）
x 1
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
解析：因为2  x  1 ，所以 x  2  0, x 1  0 ，
当 x 1  0 时， x  2 无意义，所以“ 2  x  1 ”时，“ x  2  0 ”不一定成立；
x 1x 1
当 x  2  0 时， 2  x  1 ，所以“ x  2  0 ”能推出“ 2  x  1 ”.
x 1x 1
所以“ 2  x  1 ”是“ x  2  0 ”的必要不充分条件.
x 1
故选：B.
某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的人数至少为（ ）
A. 7B. 9C. 12D. 15
【答案】C
解析：设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为 a ， b ， c ，且 a ， b ， c 为正整数，则由题意得 a  b 1， b  c 1， 2c  a 1，可得 a  b  2c  b 1 c 1 a 1， 即c  3 ，所以b  4 ， a  5 ，故参加这三项比赛的人数至少为3  4  5  12 ．
故选：C.
已知定义在R 上的奇函数 f  x 在0, ∞ 上的图象如图所示，则不等式 x2 f  x  2 f  x 的解集为
（）
A. 
2, 0
2, 2
B. ∞, 2 2, ∞
C. ∞, 2 
2, 0
2, 2
D. 2, 
2 0, 2 2, ∞
【答案】C
解析：根据奇函数的图象特征，作出 f  x 在∞, 0 上的图象如图所示，
由 x2 f  x  2 f  x ，得x2  2 f  x  0 ，
x2  2  0,

等价于 f  x  0
x2  2  0,

或 f  x  0,
2
解得 x  2 或
 x  2 ，或 x  0 ．
2
故不等式解集为∞, 2 
2, 0
2, 2 ．
故选：C.
德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数
0, x为无理数
f  x  1, x为有理数 ，称为狄利克雷函数，则关于函数 f  x ，下列说法正确的是（）

f  x 的定义域为0,1
f  x 的值域为0,1
x  R ， f  f  x  0
任意一个非零有理数 T， f ( x +T ) = f ( x) 对任意 x  R 恒成立
【答案】D
0, x为无理数
解析：解：因为 f  x  1, x为有理数 ，所以函数的定义域为 R ，值域为0,1 ，故 A、B 错误；

因为 f  x  0 或 f  x  1 且0 与1均为有理数，所以 f  f  x  f 0  1 或 f  f  x  f 1  1 ，故 C
错误；
对于任意一个非零有理数T ，若 x 为有理数，则 x  T 也为有理数，则 f  x  T   f  x  1 ；若 x 为无理数，则 x  T 也为无理数，则 f  x  T   f  x  0 ；
综上可得任意一个非零有理数T ， f ( x +T ) = f ( x) 对任意 x  R 恒成立，即 D 正确；故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
x  1
下列说法正确的是（）
x  1
式子 y 

可表示自变量为 x、因变量为 y 的函数
 1 
若 f (x) | x 1|  | x | ，则 f  f  2   1

函数 y  f (x) 的图象与直线 x  1 最多有 1 个交点
若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素
【答案】BC
x 1  0
x  1
x  1
解析：对于 A，要使 y 

有意义，则x 1  0 ，即x  1 ，无解，
x  1
x  1

x  1
所以式子 y 

不可表示自变量为 x、因变量为 y的函数，错误；
1
2
1
2
对于 B，因为 f  1  1  0 ，所以 f  f  1   f 0  0 1  0  1，正确；
2
2
 

 

对于 C，根据函数定义，在定义域内任意 x 只能对应唯一的函数值 y，
所以函数 y  f (x) 的图象与直线 x  1 最多有 1 个交点，正确；
对于 D，对于函数 y  1，值域只含有一个元素 1，但是定义域为全体实数，错误.
故选：BC
若“ x  M ， x  0 或 x  1 ”为真命题，“ x  M , x  3 ”为假命题，则集合 M 可以是（）
A. ∞，5
B. 3, 1
C. 3, 
D. 2, 3
【答案】BD
解析：命题“ x  M ， x  3 ”为假命题，则命题“ x  M ， x  3 ”为真命题，可得 M  x | x  3，命题“ x  M ， x  0 或 x  1 ”为真命题，则 M  x x  0 或 x  1，
所以x x  0 或 x  1 x | x  3  x x  0 或1  x  3，显然，B，D 选项中的区间为(, 0)  (1, 3] 的
子集．
故选：BD．
已知 x, y 是正数，且2x  y  1，则下列选项正确的是（）
2xy 的最大值为 1
2
4
4x2  y2 的最小值为 1
2
xy
3x  x  2 y  的最大值为 2D.
y  1 的最小值为1  2
【答案】ABD
解析：A.1  2x  y  2 2xy ，解得2xy  1 ，
4
当且仅当 y  2x 且2x  y  1，即 x  1 , y  1 时， 2xy 的最大值为 1 ，A 正确；
424
B. 4x2  y2  (2x  y)2  4xy  1  4xy  1  2  1  1 ，
42
当且仅当 x  1 , y  1 时， 4x2  y2 的最小值为 1 ，B 正确；
42
.  
 3x   x  2 y  2
C 3x x2 y
2
 (2x  y)2  1，
2
当且仅当3x  x  2 y ，即 x  y  1 时等号成立，
3
所以3x  x  2 y  的最大值为 1，C 错误；
y  2x xy
y  1  y  2x  y  y  2x 1  2
2
xyxyxy
1  2 2 1 ，
当且仅当 y  2x ， y 2x ，即 x  2 
2 , y 1时等号成立，
xy2
2
2
故 y  1 的最小值为
xy
1，D 正确.
故选：ABD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.

已知 f  x   3x (x  3)，求 f  f 4  .
lg2 x  x  3
【答案】9
解析：Q 4  3 f 4  lg2 4  2 ，
又Q 2  3 f  f 4  f 2  32  9 .
故答案为： 9
不等式 x4  3x2 10  0 的解集是.
【答案】( 2, 2)
2
2
解析： x4  3x2 10  x2  2x2  5  0 ，所以5  x2  2 ，因为 x2  0 ，所以0  x2  2 ，解得 x ，
即不等式 x4  3x2 10  0 的解集为( 2, 2) .
故答案为： ( 2, 2)
已知关于 x 的不等式 x2  a  2 x  a  5  0 在 x 1, 4 上有解，则实数 a 的取值范围是．
【答案】4, 
解析：要使不等式 x2  a  2 x  a  5  0 在 x 1, 4 上有解，
则 a
 x2  2x  5 ，在 x 1, 4 上有解，
x 1
令t
 x2  2x  5 ， x 1, 4 ，
x 1
 x 1
4
x 1
x2  2x  5 x 12  44
则t   x 1  2
 4 ，
x 1
x 1
x 1
当且仅当 x 1 
4
x 1
，即 x  3 时等号成立，
故 x  3 时， tmin  4 ，
因此要使不等式 x2  a  2 x  a  5  0 在 x 1, 4 上有解，则 a  4 ，
故答案为： 4,  .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
设全集U  R ，集合 A  {x |1  x  5}，非空集合 B  {x | 2  a  x  1 2a}，其中 a  R .
若“ x  A ”是“ x  B ”的充分条件，求 a 的取值范围；
若“ x  A ”是“ x  B ”的必要不充分条件，求 a 的取值范围.
【答案】（1）[2, )
1

（2）  3 ,1
（1）
由题意得到 A  x 1  x  5 ，由“ x  A ”是“ x  B ”的充分条件可得 A  B ，

2  a  1
则
1 2a  5
，解得 a  2 ，则实数 a 的取值范围是[2, ) .
（2）
由于集合 B 为非空集合，所以2  a  1 2a ，解得 a  1 ，
3
由“ x  A ”是“ x  B ”的必要不充分条件可得 B 是 A 的真子集，

1  2  a
所以
1 2a  5
，解得 a  1 ，所以 1  a  1 ，
3
当且仅当 2−? = 1
，即 ? = 1时， B  A .该方程组无解，所以 B  A 恒成立，因此 B 是 A 的真子集的条
1 + 2? = 5
件与 B  A 的条件相同
1
? = 2


故实数 a 的取值范围是  3 ,1 .
27
lg 2
（1）计算： lg3 lg 25  lg 4  77  (9.8)0 ；
（2）设 a 是非零实数，已知 a  a1  1 ，求
【答案】（1） 13 ；（2）  4
(a3  a3 )(a2  a2  5)
a4  a4
的值.
23
27
3313
解析：（1） lg
 lg 25  lg 4  7lg7 2  (9.8)0  lg 32  lg100  2 1   2  3 ..
3322
（2）因为 a  a1  1 ，所以(a  a1)2  a2  a2  2  1，所以 a2  a2  3 ，则 a3  a3  (a  a1)(a2  a2 1)  2(a  a1) ，
a4  a4  (a2  a2 )(a2  a2 )  3(a  a1)(a  a1)  3(a  a1) ，
(a3  a3 )(a2  a2  5)2(a  a1) (3  5)4
所以
a4  a4
3(a  a1)  3 .
已知函数 f  x 
求 a 的值；
1
x2  a
 ax 为偶函数．
若函数 g  x 
【答案】（1） a  0
（2）  ,  15 
f  x  2x  3 ，且x 2, ∞, g  x  2m  5 恒成立，求m 的取值范围．
8 

（1）
由 f  x 是偶函数得 f x  f  x ，
即1 ax 1 ax ，解得 a  0 ．
x2  ax2  a
（2）
由（1）得 f  x 
1 ，则 g  x 
x2
1  2x  3 ，
x2
min
因为x 2, ∞, g  x  2m  5 恒成立，即 g  x 2m  5 ．
当2  x
 x 时， g  x   g  x
   1  2x
 3   1  2x
 3   x  x
 2  1  1  ，
1212
 x2
1 x2
212 
x x2
x2 x 
 1 21 21 2 
因为2  x  x ，所以 x  x  0, x x2  1, x2 x  1，
12121 21 2
1
则 x x2
 1,
1
x2 x
 1 ，则2 
1
x x2
1
x2 x
0 ，
1 21 21 21 2
因此 g  x1   g  x2   0 ，即 g  x1   g  x2  ，故函数 g  x 在区间2,  上单调递增，
则 g(x)
min
 g 2  5 ，
4
则原不等式等价于 5  2m  5 ，解得 m   15 ，
48
故m 的取值范围是 ,  15  ．
8 

如图1，长方形 ABCD （ AB  AD ）的周长为12 .
图1图2
若点 M 在线段 AB 上运动，点 N 在线段 BC 上运动，且满足 AB  4 ， AM  CN ，则VAMN 面积的最大值是多少？
沿 AC 折叠使点 B 到点 B 位置，如图2 所示， AB 交 DC 于点 P ，请解决下面两个问题.
求△ ADP 的周长；
△ ADP 的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时 AB 的长度，若不存在，请说明理由.
1
【答案】（1） 2 ；
2
（2）（ⅰ） 6 ；（ⅱ）存在， AB  3.
​
由题意，长方形 ABCD （ AB  AD ）的周长为12 ， AB  4 ，
所以 AD  BC  12  4  2  2 ，
2
设 AM  CN  x 0  x  2 ，则 BN  2  x ，
所以 S
V AMN
 1 AM  BN  1 x 2  x ，
22
由于0  x  2 ，所以2  x  0 ，
11 x  2  x21
所以 SV AMN 
x 2  x   ，
2242
1
当且仅当 x  2  x ，即 x  1 时等号成立，所以VAMN 面积的最大值是 2 .
（2）
沿 AC 折叠使点 B 到点 B 位置， AB 交 DC 于点 P ，
所以D  B ， DPA  BPC ， AD  BC ，所以VADP VCBP ，所以 AP  PC ，
所以C△ ADP
 AD  DP  AP  AD  DP  PC  AD  DC  12  6 ；
2
设 AB  CD  m ，则 AD  BC  6  m ，
 AB  AD

由 AD  0

 AB  0
m  6  m

可得6  m  0 ，解得3  m  6 .

m  0
由（ⅰ）知， AP  PC  CD  DP  m  DP ， 在 RtVADP 中，有(6  m)2  DP2  (m  DP)2 ，
解得 DP  12m  36  6m 18 ，
2mm
116m 18
3m  54
m
2
54 
则 SVADP  AD  DP  6  m
22m
 27   3m   27  2
m

 27 18，
2
当且仅当3m  54 ，即 m  3
m
时，等号成立，
2
所以△ ADP 的面积存在最大值为27 18
，此时 AB  3.
2
给出定义：若 a，b 为常数， g  x  满足 g a  x  g a  x  2b ，则称函数 y  g  x 的图象关于点
a, b 成中心对称．已知函数 f  x  x 1 a ，定义域为 A．
a  x
判断 y 
f  x 的图象是否关于点a, 1 成中心对称；
当 x a  2, a 1 时，求证： f  x  1 , 0 ．
 2
对于给定的 x1  A ，设计构造过程： x2 
f  x1  ， x3 
f  x2  ，…， xn1 
f  xn  ，…．如果 xi  A
（ i  2, 3, 4...），构造过程将继续下去；如果 xi  A，构造过程将停止．若对任意 x1  A ，构造过程可以无限进行下去，求 a 的值．
【答案】（1） y 
f  x 的图象关于点a, 1 成中心对称
证明见解析（3） a  1
（1）
因为 f  x  x 1 a  11，
a  xa  x
所以 f a  x  f a  x   1 1    1 1   2 ．
x x 
由定义可知， y 

f  x 的图象关于点a, 1 成中心对称．
（2）
设 x1  x2  a ，
则 f  x   f  x  
11
x1  x2
 0 ，
12a  xa  xa  x a  x 
1212
所以 f  x 在, a 上是增函数，
所以 f  x 在a  2, a 1上是增函数，
所以当 x a  2, a 1 时， f  x  f a  2, f a 1 ，即 f  x  1 , 0 ．
 2
​
因为构造过程可以无限进行下去，
所以 f  x  x 1 a  a 对任意 x  A 恒成立，
a  x
x 1 a
即关于 x 的方程 a 无解， a  x
即关于 x 的方程a 1 x  a2  a 1无解或有唯一解 x  a ，