2.2 平方根（第1课时）（教学课件）2025-2026学年八年级数学上册北师大版（2024）

2.2 平方根（第 1 课时）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到各种有趣的问题。比如，已知一个正方形花坛的面积是 25 平方米，那它的边长是多少呢？又或者，一个数的平方等于 9，这个数是几？这些看似简单的问题，其实都与我们今天要学习的 “平方根” 知识紧密相关。通过这节课的学习，你将掌握一个全新的数学概念，为解决更多复杂的数学问题打下坚实基础。一、情景引入在我们的日常生活中，面积计算是很常见的。假设我们要为一个正方形的房间铺设地砖，已知房间面积为 16 平方米，那么每边地砖的边长应该是多少呢？我们知道正方形的面积等于边长乘以边长。设边长为\(x\)米，可得\(x^2 = 16\)。因为\(4\times4 = 16\)，所以\(x = 4\)，即这个正方形房间的边长为 4 米。类似这样，已知一个数的平方，求这个数的问题，在数学中十分常见。这就引出了我们今天要学习的重要概念 —— 平方根。二、算术平方根的概念（一）概念讲解一般地，如果一个正数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2 = a\)，那么这个正数\(x\)就叫做\(a\)的算术平方根。记作 “\(\sqrt{a}\)”，读作 “根号\(a\)”。例如，因为\(5^2 = 25\)，所以 25 的算术平方根是 5，可表示为\(\sqrt{25} = 5\)。特别地，我们规定：0 的算术平方根是 0，即\(\sqrt{0} = 0\) 。（二）深入理解被开方数的限制：从算术平方根的定义可以看出，只有非负数才有算术平方根。因为任何数的平方都不可能是负数，所以负数没有算术平方根。例如，在\(x^2 = -4\)中，找不到一个实数\(x\)满足这个等式，所以 -4 没有算术平方根。唯一性：对于一个确定的非负数\(a\)，它的算术平方根是唯一的。比如，16 的算术平方根只能是 4，不会有其他的正数满足平方后等于 16 。（三）例题解析例 1：求下列各数的算术平方根：（1）36 ；（2）\(\frac{9}{16}\) ；（3）0.25 。解：（1）因为\(6^2 = 36\)，所以 36 的算术平方根是 6，即\(\sqrt{36} = 6\) 。（2）因为\((\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}\)，所以\(\frac{9}{16}\)的算术平方根是\(\frac{3}{4}\)，即\(\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}\) 。（3）因为\(0.5^2 = 0.25\)，所以 0.25 的算术平方根是 0.5，即\(\sqrt{0.25} = 0.5\) 。三、算术平方根与平方的关系（一）互逆运算求一个非负数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算。我们通过平方运算知道\(7^2 = 49\)，那么反过来，49 的算术平方根就是 7，即\(\sqrt{49} = 7\) 。利用这种互逆关系，我们可以求一些非负数的算术平方根。（二）利用互逆关系解题例 2：已知\(\sqrt{x} = 9\)，求\(x\)的值。解：因为求算术平方根与平方互为逆运算，\(\sqrt{x} = 9\)，那么\(x = 9^2 = 81\) 。（三）思考与讨论想一想：如果\(a\)的算术平方根是\(\sqrt{a}\)，那么\((\sqrt{a})^2\)等于多少呢？（\(a\geq0\)）因为\(\sqrt{a}\)是\(a\)的算术平方根，根据算术平方根的定义，\((\sqrt{a})^2 = a\)（\(a\geq0\)） 。例如，\((\sqrt{10})^2 = 10\) 。四、算术平方根的性质（一）双重非负性被开方数非负：在\(\sqrt{a}\)中，\(a\geq0\) 。这是因为前面提到负数没有算术平方根，只有非负数才有算术平方根。算术平方根非负：\(\sqrt{a}\geq0\) 。也就是说，算术平方根一定是一个非负的数。比如\(\sqrt{25} = 5\gt0\)，\(\sqrt{0} = 0\) 。（二）例题应用例 3：已知\(\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3} = 0\)，求\(x\)，\(y\)的值。解：因为算术平方根具有非负性，即\(\sqrt{x - 2}\geq0\)，\(\sqrt{y + 3}\geq0\) 。而两个非负数的和为 0，只有当这两个非负数都为 0 时才成立。所以可得\(\begin{cases}x - 2 = 0 \\ y + 3 = 0 \end{cases}\)解得\(\begin{cases}x = 2 \\ y = -3 \end{cases}\)（三）拓展延伸思考：若\(\sqrt{a - 5} + (b + 2)^2 = 0\)，求\(a + b\)的值。提示：因为一个数的平方也是非负的，即\((b + 2)^2\geq0\)，再结合算术平方根的非负性，同样可根据两个非负数和为 0 的性质来求解\(a\)，\(b\)的值，进而求出\(a + b\)的值。五、课堂总结算术平方根的概念：一般地，如果一个正数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2 = a\)，那么这个正数\(x\)就叫做\(a\)的算术平方根，记作 “\(\sqrt{a}\)”，读作 “根号\(a\)”，0 的算术平方根是 0 。算术平方根与平方的关系：求非负数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆关系可以求非负数的算术平方根 。算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性，即被开方数\(a\geq0\)，算术平方根\(\sqrt{a}\geq0\) 。通过这节课的学习，我们对算术平方根有了初步的认识。在后续的学习中，我们还将深入探讨平方根的其他相关知识，以及如何运用平方根解决更多复杂的数学问题和实际生活中的问题。六、课后作业求下列各数的算术平方根：（1）81 ；（2）\(\frac{25}{49}\) ；（3）1.44 ；（4）\(10^6\) 。若\(\sqrt{x + 1} = 3\)，求\(x\)的值。已知\(\sqrt{a - 1} + \sqrt{b - 4} = 0\)，求\(a + b\)的值。2024北师大版数学八年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 通过了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，发展运算能力．2．会根据平方运算求某些非负数的算术平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维．3．通过让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，发展学生的合作精神和创新意识．重点难点学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？情境导入一、请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： x2= ， y2= ， z2= ， w2= ． 2345算术平方根的概念和性质已知一个正数，求这个正数的平方,这是平方运算.1 二、填表：表1讨论 你能从表1发现什么共同点吗？40. 25  已知一个正数的平方，求这个正数.表2表1和表2中的两种运算有什么关系？1 20.6 7 讨论 你能从表2发现什么共同点吗？  a的算术平方根 互为逆运算平方根号被开方数读作：根号a（a≥0）怎么用符号来表示一个数的算术平方根？(x≥0)x2 = a 1.一个正数的算术平方根有几个？0的算术平方根有1个，是0.2.0的算术平方根有几个？负数没有算术平方根.3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根吗?一个正数的算术平方根有1个.  求下列各数的算术平方根：非平方数的算术平方根只能用根号表示 求一个数的算术平方根例    自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4.9 t2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解:将h=19.6代入公式 h=4.9 t2,得 t2 =4,所以t =2(秒).即铁球到达地面需要2秒.算术平方根的应用例 小明房间的面积是10.8 m2 ，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？  算术平方根的双重非负性   解：（1）无意义；（4）有意义．（3）有意义；（2）有意义；算术平方根有意义的识别  总结：几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.利用非负性求字母的值知识点1 算术平方根的定义及其计算1.［2025西安铁一中月考］9的算术平方根是( )C  返回 C  返回3.若一个数的算术平方根是5，则这个数是( )B  返回4.下列说法正确的是( )A  返回  0 返回6.求下列各数的算术平方根：（1）0； （2）121； （3）1.96；   （5）10；    返回  777 返回算术平方根算术平方根的概念算术平方根的双重非负性算术平方根的应用必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！