四川省泸州高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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命题人：李仕均、刘美君 审题人：贺玲
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 命题“ ”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
2. “ 且 ”是“ ”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间 上单调递减 函数是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知集合 ，且 ，则 等于（ ）
A. －3 或－1 B. -3 C. 1 D. 3
6. 已知一次增函数 满足 ，则 （ ）
A. -1 或 3 B. -3 或-1 C. 3 D. -1
7. 如图，点 在边长为 1 的正方形边上运动， 是 的中点，当点 沿 运动时，点 经
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过的路程 与 的面积 的函数 的图象的形状大致是（ ）
A. B.
C. D.
E. 均不是
8. 已知 ， ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最小
值是（ ）
A 4 B. C. 8 D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列各项不能表示同一个函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 若函数 ，定义域为 ，下列结论正确 是（ ）
A. 的图象关于 轴对称
B. ，使
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C. 在 和 上单调递减
D. 的值域为
11. 在整数集 Z 中，被 4 除所得余数为 k 所有整数组成一个“类”，记为 ，
，则下列结论正确的为（ ）
A. B.
C. D. 整数 a，b 属于同一“类”的充要条件是“ ”
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若幂函数 图象经过点 ，则 ______．
13. 定义 ．设函数 ，则 的单调递增区间为______．
14. 定义： 表示不小于 x 的最小整数，如： ， ，当 时，则 ______；
当 ，则 x 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）求值 ；
（2）已知 ，求 的值．
16. 已知集合 ， ，
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
17. 定义在 上的奇函数 （ ， 为常数）满足 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 在区间 上的单调性，并加以证明；
（3）若 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
18. 已知函数 ，不等式 的解集为 且 ．
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（1）求 在 的值域；
（2）记 ．当 的定义域为 时，值域为 ，求实数
的取值范围；
（3）若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的最小值．
19. 某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数 和 ，它们虽然都是增函数，但是图象
上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续
函数 的定义域为 ，若对于 内任意两数 ， ，都有 ，则称
为 上的凹函数；若 ，则称 为 上的凸函数．对于函数的凹
凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen 不等式）：若 是区间 上的凹函数，
则对任意的 ，有不等式 恒成立（当
且仅当 时，等号成立）．小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元
最值问题时，关键是构造函数．
（1）设函数 ，且当 时，不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围；
（2）试判断 在 上的凹凸性，并说明理由；
（3）设 ， ，且 ，求 的最小
值．
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