2025-2026学年辽宁省盘锦市辽河油田实验学校九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年辽宁省盘锦市辽河油田实验学校九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列事件中，属于随机事件的是( )
A. 任意画一个三角形，其内角和是360∘
B. 两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块
C. 掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0
D. 拨打一个电话号码，电话正被占线中
2.下列图形中不一定是相似图形的是( )
A. 两个等边三角形B. 两个等腰直角三角形
C. 两个菱形D. 两个正方形
3.如图，AB是⊙O的直径，∠CAB=40∘，则∠D=( )
A. 60∘B. 30∘C. 40∘D. 50∘
4.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB，DC交于点E，延长AD，BC交于点F.若∠A=40∘，∠E=55∘，则∠F的度数为( )
A. 40∘
B. 45∘
C. 50∘
D. 55∘
5.正比例函数y=2x与反比例函数y=2x的图象或性质的共有特征之一是( )
A. 函数值y随x的增大而增大B. 图象在第一、三象限都有分布
C. 图象与坐标轴有交点D. 图象经过点(2,1)
6.最美的长安都写在唐诗里.将分别标有“最”、“美”、“长”、“安”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回，再随机摸出一球，则两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概率是( )
A. 13B. 14C. 16D. 18
7.如图，△ABC的内切圆圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=6，BC=10，CA=12.则AF的长为( )
A. 2B. 4C. 3D. 5
8.如图，▱ABCD中，EF//AB，DE：EA=2：3，EF=6，则CD的长为( )
A. 15
B. 10
C. 8
D. 16
9.正三角形的边心距、半径和高的比是( )
A. 1：2：3B. 1： 2:3C. 1: 2: 3D. 1:2: 3
10.对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线？”甲乙的作法如图：
下列说法正确的是( )
A. 乙的作法正确，甲的作法错误B. 甲和乙的作法都错误
C. 甲的作法正确，乙的作法错误D. 甲和乙的作法都正确
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在30%，则可估计口袋中白球的个数是 .
12.如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1//l2//l3，已知EF：DF=5：8，AC=24，AB的长是 .
13.若点A(−1,2)，B(1,m)，C(4,n)都在同一个反比例函数的图象上，则m，n的大小关系是m n.(填“>”“=”或“kx的解集；
(3)点P为反比例函数y=kx图象的任意一点，若S△POC=3S△AOC，求点P的坐标．
22.(本小题12分)
如图1，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为ABD的中点，连结CD，CA，AD.
(1)求证：OC平分∠ACD.
(2)如图2，延长AC，DB相交于点E.
①求证：OC//BE.
②若CE=4 5，BD=6，求⊙O的半径.
23.(本小题12分)
以AB为直径作三角形ABC的外接圆，∠ACB的角平分线交圆O于点D，连接BD.
(1)若∠ABC=25∘，求∠D的度数.
(2)若AC=1，BD= 3，求BC与CD的长.
(3)请直接写出CD与AC，BC的数量关系______.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：任意画一个三角形，其内角和是360∘，是不可能事件，则C不符合题意；
两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块，是不可能事件，则B不符合题意；
掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0，是必然事件，故C不符合题意；
拨打一个电话号码，电话正被占线中，是随机事件，则D符合题意；
故选：D.
先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，据此进行判断即可．
本题考查随机事件，三角形的内角和定理，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；
B、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故此选项不合题意；
C、两个菱形，四个边都相等，但对应角不一定相等，不一定相似，故此选项符合题意；
D、两个正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意．
故选：C.
根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑．
3.【答案】D
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠B+∠CAB=90∘，
∵∠CAB=40∘，
∴∠B=50∘，
∴∠D=∠B=50∘，
故选：D.
根据圆周角定理求出∠ACB=90∘，根据直角三角形的性质求出∠B=50∘，再根据圆周角定理求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A=40∘，∠E=55∘，
∴∠CDF=∠A+∠E=95∘，
∵∠A=40∘，
∴∠BCD=180∘−∠A=140∘，
∴∠F=∠BCD−∠CDF=45∘，
故选：B.
根据三角形的外角性质求出∠CDF，根据圆内接四边形的性质和三角形的外角性质计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形外角的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵对于正比例函数y=2x，2>0，函数值y随x的增大而增大，
对于反比例函数y=2x，2>0，双曲线在每一象限内函数值y随x的增大而减小，
∴A选项不符合题意；
∵对于正比例函数y=2x，2>0，直线y=2x在第一、三象限，
对于反比例函数y=2x，2>0，双曲线的两个分支在第一、三象限，
∴B选项符合题意；
∵对于正比例函数y=2x，它的图象经过原点，
对于反比例函数y=2x，它的图象与坐标轴没有交点，
∴C选项不符合题意；
∵当x=2，y=2×2=4≠1，
∴正比例函数y=2x的图象不经过点(2,1).
∵当x=2时，y=22=1，
∴反比例函数y=2x的图象经过(2,1)，
∴D选项不符合题意．
故选：B.
利用正比例函数y=2x与反比例函数y=2x的性质，对每个选项进行判断后得出结论．
本题主要考查了正比例函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，正比例函数图象上的点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征．反比例函数的增减性只指在同一象限内，这是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：列表如下：
根据表格，总共有4×4=16种等可能的结果．
符合条件的是(长安)和(安长)，共2种．
则概率为：P(两次摸出的球上的汉字组成“长安”的概率)=216=18.
故选：D.
解题时，首先明确摸球方式为“有放回”，因此每次摸球的结果相互独立，第一次和第二次摸球各有4种可能，根据列表法总结果数为4×4=16种．接着，需确定“组成‘长安’”对应的结果，即两个字为“长”和“安”，考虑顺序时符合条件的结果为(长安)和(安长)，共2种．最后，根据概率公式计算，得到概率为216=18.
本题考查古典概型的概率计算．解题用到的思想是列举法(列表法)，通过列举所有可能结果分析概率；方法是先确定总结果数，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式P(A)=符合条件的结果数总结果数计算；解题关键是准确列举所有等可能结果，并明确“组成‘长安’”所对应的结果；易错点是容易混淆“组成‘长安’”是否考虑顺序，若错误判断顺序要求会导致符合条件的结果数计算错误．
7.【答案】B
【解析】解：设AF=a，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴AF=AE，CE=CD，BF=BD，
∵AB=6，BC=10，CA=12，
∴BD=BF=6−a，CD=CE=12−a，
∵BD+CD=BC=10，
∴(6−a)+(12−a)=10，
解得：a=4，
即AF=4，
故选：B.
设AF=a，根据切线长定理得出AF=AE，CE=CD，BF=BD，求出BD=BF=6−a，CD=CE=12−a，根据CD+BD=BC，代入求出a即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出AF=AE，CE=CD，BF=BD，用了方程思想．
8.【答案】A
【解析】解：∵EF//AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴EF：AB=DE：DA=2：5，
∴6：AB=2：5，
∴AB=15，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=15，
故选：A.
根据EF//AB，得△DEF∽△DAB，从而EF：AB=DE：DA=2：5，即可求出AB的长，从而解决问题．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明△DEF∽△DAB是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图，O为△ABC的中心，
AD为△ABC的边BC上的高，
则OD为边心距，
∴∠BAD=30∘，
又∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAD=30∘，
∴∠OBD=60∘−30∘=30∘，
在Rt△OBD中，
BO=2DO，
即AO=2DO，
∴OD：OA：AD=1：2：3.
故选：A.
作出图形，根据正三角形的性质和直角三角形的性质解答．
此题考查了对正三角形的高、边心距、半径概念的理解及对含30∘角的直角三角形性质的掌握．
10.【答案】D
【解析】解：对于甲的作法：
连接OM，
由题意知AB垂直平分OP，
∴GP=OG，
∴点M为以OP为直径的圆与⊙O的交点，
∴∠PMO=90∘，
∴OM⊥PM，
∴PM为⊙O的切线，故甲的作法正确；
对于乙的作法：
由作法得PD=PO，OD=BC，
∵OM=12BC，
∴DM=OM，
∴PM⊥OD，
∴PM为⊙O的切线，故乙的作法正确；
故选：D.
对于甲的作法，连接OM，利用基本作图得到AB垂直平分OP，则OG=GP，再根据圆周角定理得到∠PMO=90∘，然后根据切线的判定方法得到PM为⊙O的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到PD=PO，OD=BC，由于OM=12BC，所以OM=DM，则根据等腰三角形的性质得到PM⊥OD，然后根据切线的判定方法得到PM为⊙O的切线，于是可判断乙的作法正确．
本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
11.【答案】18
【解析】解：多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在30%，
估计口袋中白球的个数是60×30%=18(个)，
故答案为：18.
总数乘以摸到白色小球的频率稳定值即可．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12.【答案】9
【解析】解：∵l1//l2//l3，EF：DF=5：8，AC=24，
∴EFDF=BCAC=58，
∴BC=58AC=15，
∴AB=AC−BC=9.
故答案为：9.
首先根据l1//l2//l3，推出EFDF=BCAC=58，再代入AC的值就可求出BC的长，进而即可求出AB的长．
本题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应用，能熟练运用定理进行计算是解此题的关键．
13.【答案】<
【解析】解：设反比例函数为y=kx，
又A(−1,2)在反比例函数图象上，
∴k=(−1)×2=−2.
∴反比例函数为y=−2x.
又点B(1,m)在反比例函数y=−2x的图象上，
∴m=−2.
∵C(4,n)都在反比例函数y=−2x图象上，
∴n=−12，
∴m0)，
∵EF=16，
∴点F的横坐标为8，
∴y=8708=4354，
∴整个冷却塔高度为4354m.
故答案为：4354.
设CF的解析式为y=kx(x≠0)，根据y轴垂直平分AB，得到OB，结合BC的长度，得到C点坐标，利用待定系数法从而得到CF的解析式，再由EF的长度得到点F的横坐标为8，代入解析式得到点F的纵坐标，即可求得整个冷却塔高度．
本题主要考查了反比例函数的应用，矩形的性质，根据题意利用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：由条件可知∠ACB=∠ACD，
∴AB=AD，
∴AB=AD，
故①正确，符合题意；
由条件可知∠BCD+∠BAD=180∘，
∵∠BCD=120∘，
∴∠BAD=60∘，
又∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
故②正确．符合题意；
如下图所示，连接OD、OB，过点O作OE⊥BD，
则∠OBE=12∠ABD=30∘，
∴OB=2OE，BE=DE=12BD=12×2 3= 3，
设OB=2x，则OE=x，
在Rt△OBE中，OE2+BE2=OB2，
∴( 3)2+x2=(2x)2，
解得：x=1，
∴OB=2x=2，
∴⊙O的半径是2，
故③正确，符合题意；
如下图所示，在AC上截取CF=CD，连接DF，
∵∠DCF=60∘，
∴△DCF是等边三角形，
∴DF=DC，∠FDC=60∘，
∵∠ADF+∠BDF=∠ADB=60∘，∠BDF+∠BDC=∠FDC=60∘，
∴∠ADF=∠BDC，
在△ADF和△BDC中，
AD=BD∠ADF=∠BDCDF=DC，
∴△ADF≌△BDC(SAS)，
∴AF=BC，
∵AC=AF+CF=DC+BC，
故④正确，符合题意；
如下图所示，设M为BD的中点，过点M作AM⊥BD，
∵△ABD是等边三角形，
∴BM=DM=12BD= 3，∠BAM=∠DAM=12∠BAD=30∘，
∵BD=2 3，
∴AB=BD=2 3，
在Rt△ABM中AM= AB2−BM2= (2 3)2−( 3)2=3，
∴S△ABD=12BD⋅AM=12×2 3×3=3 3，
∴当△BCD的面积最大时，四边形ABCD的面积最大，
∴当点C在BD的中点时△BCD的面积最大，
∵⊙O的半径为2，
∴点C到线段BD的最大距离是2×2−3=1，
∴△BCD的最大面积是12BD×1=12×2 3×1= 3，
∴四边形ABCD的最大面积是S△ABD+S△BCD=3 3+ 3=4 3，
故⑤错误，不符合题意；
故答案为：4.
①根据角平分线的性质和圆周角定理可证AB=AD；根据圆内接四边形对角互补可知∠BAD=60∘，根据有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形，可知△ABC是等边三角形；
②连接OD、OB，过点O作OE⊥BD，可知∠OBD=30∘，BE=DE= 3，利用勾股定理即可求出OB=2，即⊙O的半径为2；
③在AC上截取CF=CD，连接DF，可证△DFC是等边三角形，根据等边三角形的性质可知DF=DC，∠ADF=∠BDC，利用SAS可证△ADF≌△BDC，根据全等三角形的性质可证AF=BC，从而可证BC+CD=AC；
④根据等边三角形的性质可以求出△ABC的面积为1，根据点C在BD上运动，可知当点C在BD的中点时△BCD的面积最大，可知△BCD的最大面积是 3，所以可得四边形ABCD的最大面积是4 3.
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆内接四边形找角之间的关系，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找边之间的关系．
16.【答案】14.
12
【解析】(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的数字是偶数的结果有：2，共1种，
∴卡片上的数字是偶数的概率为14.
故答案为：14.
(2)列表如下：
共有12种等可能的结果，其中这2张卡片上的数字之和是偶数的结果有：(3,5)，(3,7)，(5,3)，(5,7)，(7,3)，(7,5)，共6种，
∴这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为612=12.
(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的数字是偶数的结果有1种，利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及这2张卡片上的数字之和是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
17.【答案】∠BCD=25∘；
CD=16
【解析】(1)∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC，
∵∠ACO=25∘，
∴∠OAC=∠ACO=25∘(等边对等角).
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘(直径所对的圆周角为直角)，即∠OAC+∠ABC=90∘.
又∵AB⊥CD于E，
∴∠BEC=90∘，即∠BCD+∠ABC=90∘.
∴∠BCD=∠OAC=25∘(同角的余角相等)，
所以∠BCD的度数为25∘；
(2)∵AB=20，AB为⊙O的直径，
∴OC=OB=10(半径等于直径的一半).
∵EB=4，
∴OE=OB−EB=10−4=6.
∵AB⊥CD于E，
∴CE=DE(垂径定理)，且△OEC为直角三角形．
在Rt△OEC中，根据勾股定理得：
EC2+OE2=OC2，
即EC2+62=102，
EC2=100−36=64，
解得EC=8或−8(−8不符合题意，舍去)，即EC=8，
∴CD=2EC=2×8=16.
所以CD的长度为16.
(1)先由OA=OC(半径相等)得∠OAC=∠ACO；再根据AB为直径得∠ACB=90∘，结合AB⊥CD得∠BEC=90∘；最后通过角的和差关系及同角的余角相等推导∠BCD 的度数；
(2)先由AB=20得半径OC=OB=10，结合EB=4求出OE的长度；再在Rt△OEC中用勾股定理算EC的长；最后根据垂径定理CD=2EC得出结果．
本题考查了垂径定理、圆周角定理，勾股定理，解题的关键是利用垂径定理得出AB垂直平分CD，结合等腰三角形等边对等角及圆周角与圆心角的关系推导角度和线段长度．
18.【答案】解：(1)360.
(2)补充条形统计图如下图：
(3)1800×60360=300(人)，
答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，
(4)设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
∵一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，
∴P(一男一女)=812=23.
【解析】解：(1)∵D所占扇形的圆心角为150∘，
∴这次被调查的学生共有：150÷150360=360(人)；
故答案为：360.
(2)C组人数为：360−120−30−150=60(人)，
故补充条形统计图如下图：
(3)1800×60360=300(人)，
答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，
(4)设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
∵一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，
∴P(一男一女)=812=23.
(1)由D的人数除以所占比例即可；
(2)求出C的人数，即可解决问题；
(3)由该校共有学生人数除以参加篮球社团的学生所占的比例即可；
(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有8种再由概率公式求解即可．
此题考查了用树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图以及用样本估计总体，画树状图法求概率，根据条形统计图和扇形统计图获取信息和数据与正确画树状图是解题的关键．
19.【答案】y=600x；
7926min
【解析】(1)由题意得(100−22)÷13=6(min)，
∴当x=6时，y=100，
设y=kx，将x=6，y=100代入，即100=k6，
∴k=600，
∴y=600x；
(2)由题意得(80−22)÷13=5813(min)，
将y=80代入y=600x，即80=600x，
∴x=152，
∴最佳沏茶的时间为152−5813=7926(min)，
答：最佳沏茶的时间为7926min.
(1)先求出加热到100∘C需要的时间，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
(2)求出80∘C所需要的时间，代入反比例函数即可求出答案．
本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
20.【答案】DE是⊙O的切线，理由如下，
如图所示，连接OD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵AB//OE，
∴∠OBD=∠COE，∠ODB=∠DOE，
∴∠DOE=∠COE，
在△ODE和△OCE中，
OD=OC∠DOE=∠COEOE=OE，
∴△DOE≌△COE(SAS)，
∴∠ODE=∠OCE=90∘，
又OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线；
图中阴影部分的面积为：16 3−16π3
【解析】(1)解：DE是⊙O的切线，理由如下，
如图所示，连接OD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵AB//OE，
∴∠OBD=∠COE，∠ODB=∠DOE，
∴∠DOE=∠COE，
在△ODE和△OCE中，
OD=OC∠DOE=∠COEOE=OE，
∴△DOE≌△COE(SAS)，
∴∠ODE=∠OCE=90∘，
又OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：∵∠A=30∘，BC=8，AB//OE，
∴∠OEC=∠A=30∘,OC=12BC=4，
∴∠COE=60∘=∠DOE，
∴OE=2OC=8，CE= OE2−OC2= 82−42=4 3，
∴S△COE=12OC⋅CE=12×4×4 3=8 3，
∴S四边形OCED=2S△COE=2×8 3=16 3，
∵∠COD=60∘+60∘=120∘，OC=OD=4，
∴S扇形COD=120∘×42π360∘=16π3，
∴阴影部分的面积=S四边形OCED−S扇形COD
=16 3−16π3，
∴图中阴影部分的面积为16 3−16π3.
(1)如图所示，连接OD，可证△DOE≌△COE(SAS)，得到∠ODE=∠OCE=90∘，结合切线的判定即可求解；
(2)根据题意得到∠OEC=∠A=30∘,OC=12BC=4，∠COE=60∘=∠DOE，S四边形OCED=2S△COE=2×8 3=16 3，S扇形COD=120∘×42π360∘=16π3，由阴影部分的面积=S四边形OCED−S扇形COD代入计算即可求解．
本题主要考查切线的判定，扇形面积的计算，掌握切线的判定方法，扇形面积的计算方法是关键．
21.【答案】解：(1)把点A(3n,n)代入直线y=x−2得：
n=3n−2，
解得：n=1，
∴点A的坐标为：(3,1)，
∵反比例函数y=kx的图象过点A，
∴k=3×1=3，
即反比例函数的解析式为y=3x，
(2)把点B(m,−3)代入直线y=x−2得，−3=m−2，
解得m=−1，
∴B(−1,−3)，
观察函数图象，发现：
当−1kx的解集为−1