陕西省2025九年级数学上学期期末学情评估试卷（含解析北师大版）

这是一份陕西省2025九年级数学上学期期末学情评估试卷（含解析北师大版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知x＝2是关于x的方程x2－mx－8＝0的一个根，则m的值为( )
A．－3 B．－1 C．2 D．－2
2．先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是( )

3．如图，要使▱ABCD成为矩形，则可添加的一个条件是( )
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AD＝BD D．AC＝BD
4．如图是一次数学活动课上制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数－1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数(当指针恰好指在分界线上时，不记，重转)，则记录的两个数都是正数的概率为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,6) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
5．[教材P157习题T2变式] 已知点(3，y1)，(2，y2)，(－1，y3)在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k0)的图象经过顶点B，则k的值为________．
13．[2025西安未央区月考] 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E在边AD上，点F在边BC上，且BF＝DE，连接CE，DF，则CE＋DF的最小值为________．
三、解答题 (共13小题，共81分)
14.(6分)(1)用公式法解方程：3x2－6x－2＝0；
(2)用配方法解方程：x2＋6x＋8＝0.
15.(5分)如图，已知矩形ABCD，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E.求证：AC＝EC.
16．(5分)[2025西安高新一中期中] 我市某茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240元，按每千克 400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶想要平均每周获利43 200元，同时尽可能让利于顾客，赢得市场，则每千克茶叶应降价多少元？
17．(5分)[2025陕西师大附中月考] 如图，已知△ABC，AM∥BC.请用尺规作图法，在射线AM上求作一点D，使得△DCA∽△ABC.(保留作图痕迹，不写作法)
18．(5分)如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD.
(1)尺规作图：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
19．(5分)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.
(1)求证：△BDE∽△EFC；
(2)若AF∶FC＝3∶7，BC＝15，求线段BE的长．
20．(5分)已知正比例函数y1＝ax(a≠0)与反比例函数y2＝eq \f(k, x) (k≠0)图象的一个交点为A(2，3)．
(1)求a，k的值；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，并根据图象直接写出当y1>y2时x的取值范围．
21.(5分)[2025西安曲江一中期中] 已知关于x的一元二次方程x2－(3＋m)x＋3m－1＝0.
(1)试判断该方程根的情况；
(2)若x1，x2是该方程的两个实数根，且2x1－x1x2＋2x2＝12，求m的值．
22．(6分)[2025西安高新一中期中] 如图是两个可以自由转动的转盘，转盘A中数字1所在扇形区域的圆心角为90°，转盘B被分成面积相等的三个扇形．游戏规则：依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜．(如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘)
(1)转动转盘B，指针指向的数字为3的概率是________；
(2)这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．
23．(6分)如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)若四边形OCED为正方形，AD＝eq \r(2)，求AC的长．
24．(6分)如图，某校操场上有一根旗杆AH，该校学习兴趣小组为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5 m的标杆BC，DE，两杆相距30 m．已知视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H，B，F，D，G在同一直线上，AH，BC，DE均与GH垂直，测得BF为3 m，DG为5 m，求旗杆AH的高度．
25.(10分)为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，某校成立了众多种类的学生社团．其中金鹏社团会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．如图①，在生态大棚中有一块面积为45 m2的矩形空地ABCD，计划在矩形空地上一边增加7 m，另一边增加3 m，构成一个正方形区域AEFG，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．
(1)求正方形区域AEFG的边长；
(2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域内的一侧建1 m宽的画廊，再在余下地方建宽度相等的两条垂直小道，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为90 m2，求小道的宽度．
26．(12分)【问题提出】(1)如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，若△ABC的面积为24cm2，则AB边上的高为________cm；
【问题探究】(2)如图②，在▱ABCD中，F为CD的延长线上一点，连接BF，交AD于点E.若AB＝3，DE＝2AE，求CF的长；
【问题解决】(3)如图③，老王家有一块形如四边形ABCD的土地，∠A＝60°，AB＝CD＝60 m，AD＝BC＝50 m，他计划在这块土地上规划一个面积为350eq \r(3) m2的直角三角形区域，设立枇杷林用以放养走地鸡，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该三角形枇杷林的顶点E，F分别在线段CD，BC上，且CE＝20 m，顶点G在线段AD或线段BC上，FG为斜边．现要沿AG修一条笔直的水渠，请你帮他计算水渠AG的长．
答案
1．D 2.B 3.D 4.C 5.C 6.A 7.A 8．D 9.eq \f(11,8) 10.20 11.16π cm2
12．108 13.8eq \r(2)
14．解：(1)这里a＝3，b＝－6，c＝－2，
∵b2－4ac＝(－6)2－4×3×(－2)＝60>0，
∴x＝eq \f(6±\r(60),2×3)＝eq \f(3±\r(15),3)，即x1＝eq \f(3＋\r(15),3)，x2＝eq \f(3－\r(15),3).
(2)原方程变形为x2＋6x＝－8，
配方，得x2＋6x＋9＝－8＋9，
即(x＋3)2＝1，开方，得x＋3＝±1，
∴x＋3＝1或x＋3＝－1，
∴x1＝－2，x2＝－4.
15．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，CD∥AE.
又∵CE∥BD，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴BD＝EC，∴AC＝CE.
16．解：设每千克茶叶降价x元，
则(400－x－240)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(200＋\f(x,10)×40))＝43 200，
整理，得x2－110x＋2 800＝0，解得x1＝40，x2＝70.
∵为了尽可能让利于顾客，赢得市场，∴x＝70.
答：每千克茶叶应降价70元．
17．解：如图所示．
18．解：(1)如图所示．
(2)四边形AEFD是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFE.
∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF.
∴∠AFE＝∠EAF.∴AE＝EF.
∵AE＝AD，∴AD＝EF.
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
又∵AE＝AD，
∴平行四边形AEFD是菱形．
19．(1)证明：∵DE∥AC，EF∥AB，
∴∠BED＝∠C，∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC.
(2)解：∵EF∥AB，∴eq \f(AF,FC)＝eq \f(BE,EC).
∵AF∶FC＝3∶7，∴eq \f(BE,EC)＝eq \f(3,7).
∴eq \f(BE,BC)＝eq \f(3,10).∴BE＝eq \f(3,10)×15＝eq \f(9,2).
20．解：(1)将(2，3)代入正比例函数表达式，得3＝2a，解得a＝eq \f(3,2).
将(2，3)代入反比例函数表达式，
得3＝eq \f(k,2)，解得k＝6.
(2)画出图象如图所示．
由图象可得，当y1>y2时，－20，
∴该方程有两个不相等的实数根．
(2)∵x1，x2是该方程的两个实数根，
∴x1＋x2＝3＋m，x1x2＝3m－1.
∵2x1－x1x2＋2x2＝12，
∴2(x1＋x2)－x1x2＝12，
∴2(3＋m)－(3m－1)＝12，
解得m＝－5.
22．解：(1)eq \f(1,3)
(2)不公平．理由：将转盘A中数字2所在扇形等分为三个扇形，则转盘A被等分为四个扇形区域，其正面数字分别为1，2，2，2.列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于5的结果有7种，即甲获胜的结果有7种，∴P(甲获胜)＝eq \f(7,12)，P(乙获胜)＝eq \f(12－7,12)＝eq \f(5,12).
∵eq \f(7,12)>eq \f(5,12)，∴这个游戏不公平．
23．(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵O是菱形ABCD的对角线的交点，
∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
(2)解：∵四边形OCED为正方形，
∴OD＝OC.
又∵在菱形ABCD中，
OC＝OA＝eq \f(1,2)AC，AC⊥BD，
∴OD＝OA，∠AOD＝90°，
∴OD2＋OA2＝AD2，
∴2OA2＝AD2，即2OA2＝(eq \r(2))2，
解得OA＝1(负值舍去)，∴AC＝2OA＝2.
24．解：由题意，得BD＝30 m，BF＝3 m，DG＝5 m，BC＝DE＝1.5 m，AH⊥GH，BC⊥GH，DE⊥GH，
∴BC∥AH，DE∥AH.
∴∠AHF＝∠CBF，∠HAF＝∠BCF，
∠AHG＝∠EDG，∠HAG＝∠DEG.
∴△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG.
∴eq \f(BC,HA)＝eq \f(BF,HF)，eq \f(DE,HA)＝eq \f(DG,HG).∴eq \f(BF,HF)＝eq \f(DG,HG).
∴eq \f(3,HB＋3)＝eq \f(5,HB＋30＋5)，
∴HB＝45 m.
∵eq \f(BC,HA)＝eq \f(BF,HF)，∴eq \f(1.5,HA)＝eq \f(3,45＋3).
∴AH＝24 m.
∴旗杆AH的高度为24 m.
25．解：(1)设正方形AEFG的边长为a m，则AB＝(a－7)m，AD＝(a－3)m，
由题意，得(a－7)(a－3)＝45，
解得a1＝12，a2＝－2(舍去)，
∴正方形的边长为12 m.
(2)设小道的宽度为x m，则栽种鲜花的区域可看作长为(12－x)m，
宽为(12－1－x)m的矩形，
由题意，得(12－x)(12－1－x)＝90，
整理，得x2－23x＋42＝0，
解得x1＝2，x2＝21(不合题意，舍去)，
∴小道的宽度为2 m.
26．解：(1)eq \f(24,5)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AB∥CD，
∴易得△ABE∽△DFE，∴eq \f(AB,DF)＝eq \f(AE,DE).
∵DE＝2AE，∴eq \f(AE,DE)＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(3,DF)＝eq \f(1,2)，解得DF＝6，
∴CF＝DF＋CD＝6＋3＝9.
(3)∵AB＝CD＝60 m，
AD＝BC＝50 m，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝60°，AD∥BC.
∵CE＝20 m，
∴DE＝CD－CE＝60－20＝40(m)，
过点E作EH⊥BC于点H，当点G在线段AD上时，延长GE，BC交于点I，如图，
∵AD∥BC，
∴易得△DGE∽△CIE，
∴eq \f(DE,CE)＝eq \f(DG,CI)＝eq \f(GE,IE)＝eq \f(40,20)＝eq \f(2,1)，∴eq \f(S△GEF,S△IEF)＝eq \f(GE,IE)＝eq \f(2,1)，即S△IEF＝eq \f(1,2)S△GEF＝eq \f(1,2)×350eq \r(3)＝175eq \r(3)(m2)，
在Rt△EHC中，∵∠BCD＝60°，∠EHC＝90°，∴∠CEH＝30°，
∴CH＝eq \f(1,2)CE＝eq \f(1,2)×20＝10(m)，
∴EH＝eq \r(EC2－CH2)＝10eq \r(3) m，
∴S△IEF＝eq \f(1,2)·FI·EH＝175eq \r(3) m2，解得FI＝35 m，
设FH＝x m，则HI＝(35－x)m，
易知∠FEH＋∠EFH＝90°，∠EIH＋∠IEH＝90°，∠FEH＋∠IEH＝90°，
∴∠FEH＝∠EIH，∠EFH＝∠IEH，
∴△EFH∽△IEH，
∴eq \f(FH,EH)＝eq \f(EH,IH)，即eq \f(x,10\r(3))＝eq \f(10\r(3),35－x)，
整理，得x2－35x＋300＝0，
解得x＝20或x＝15，
即FH＝20 m或15 m，
∴HI＝15 m或20 m.
∴CI＝HI－HC＝15－10＝5(m)或CI＝HI－HC＝20－10＝10(m)，
∴DG＝2CI＝2×5＝10(m)或DG＝2CI＝2×10＝20(m)，
∴AG＝AD－DG＝50－10＝40(m)或AG＝AD－DG＝50－20＝30(m)．
当点G在线段BC上时，易得S△GEF＝eq \f(1,2)GF·EH＝350eq \r(3) m2，即eq \f(1,2)GF×10eq \r(3)＝350eq \r(3)，解得GF＝70 m(不合题意，舍去)．
综上，水渠AG的长为40 m或30 m.
转盘A
和
转盘B
1
2
2
2
3
4
5
5
5
4
5
6
6
6
5
6
7
7
7