四川省达州市达川区达州中学联盟2025-2026学年九年级上学期期中数学试题（含答案）

这是一份四川省达州市达川区达州中学联盟2025-2026学年九年级上学期期中数学试题（含答案），共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

四川省达州中学联盟期中
九年级数学
（ 时间：120 分钟 满分：150 分）
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、单项选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1 .如图，漏斗是实验室中常见的一种仪器，其主视图为 ( )
A． B． C． D．
2.我们在学习四边形时．先学习了平行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是 ( )
A．转化 B．归纳 C．由一般到特殊 D．数形结合
3.某小组在“ 用频率估计概率 ” 的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是 ( )
A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“ 正面向上 ”
C．在“ 石头、剪刀、布 ” 的游戏中，小明随机出的是“ 石头 ”
D．袋子中有 1 个白球和2 个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
4.下列四组线段中，是成比例线段的一组是 ( )
A．a = 1 , b = 2 , c = 3, d = 4 B．a = 4, b = 6 , c = 6 , d = 8
C．a = 5 , b = 6 , c = 7 , d = 8 D．a = 1 , b = 3 c = 5, d = 7
5.若方程( m -1 ) xm+1 - 2 x = 3 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 ( ) .
A．1 B ．－1 C．±1 D．不存在
A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
7.如图，在直角坐标系中，点 P (3, 6) 是一个光源．木杆 AB 两端的坐标分别为(0 , 2), (6 , 2) ．则木杆 AB 在 x 轴上的投影长为 ( )
A．8 B．9 C．10 D．12
8.《代数学》中记载，形如 x2 + 8 x = 33 的方程，求正数解的几何方法是：“ 如图 1 ，先构造一个面积为 x2 的正方形，再以正方形
的边长为一边向外构造 4 个面积为2 x 的矩形，得到大正方形的面积为33 + 22 × 4 = 49 ，则大正方形边长为 7，该方程的正数解为7 — 2 × 2 = 3 ．” 小聪按此方法解关于 x 的方程
x2 +1 2 x + m = 0 时，构造出如图 2 所示的图形，已知阴影部分的面积为45，则该方程的正数解为 ( )
A．9 B．6 C．3 D．3
A
E
B
9 如图，将矩形 ABCD 沿 GH 对折，点 C 落在 Q 处，点 D 落在AB 边上的 E 处，EQ 与 BC 相交于点 F ．若 AD = 8 ，AB = 6 ， AE = 4 ，则△ EBF 周长的大小为 ( )
A．10 B．12 C．8 D．6
D
H
C
F
Q
G
10.如图，在等边△ ABC 中，点 D ，E 分别是边 AB 、BC 上的动点，且 BD = 2C E．以 D E 为边作等边△ DEF ，使点 A 与点 F 在直线 D E 同侧 ，D F 交 AC 于点 G ，E F 交 AC 于点 H ．给出下面四个结论：① 上B E D = 上A H F ；② AD . D F = BE . D G ；③ 若 E D 丄 AB ，则 D F 1 AC ；
④ 若 CE : B E = 1 : 2，则四边形 D B E F 是菱形．
上述结论中．所有正确结论的序号是 ( )
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
11 .若 x = 1 是 一 元 二 次 方 程 x2 + mx— 3 = 0 的 一 个 根 ， 则m = .
12.大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美 感 的 黄 金 比 ．如 图 ，点 B 为 AC 的 黄 金 分 割 点 AB > BC ，若AC = 100 ，则 AB 长为 .
13.杨柳食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表：
现在分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度为 cm．
14.如图所示，四边形 O ABC 是正方形，边长为 6，点 AC 分别在x 轴 、y 轴的正半轴上，点 D在 OA 上，且 D 点的坐标为(2 , 0 ) ，P 是 OB 上一动点，则 PA + P D 的最小值为 .
15.如图，一张锐角三角形纸片 ABC ，点 D 、E 分别在边 AB 、AC 上， AD = 3 DB ，沿 DE
将△ ABC 剪成面积相等的两部分，则 的值为 .
碟子的个数
1
2
3
4
…
碟子的高度（单位：cm）
2
3.5
5
6.5
…
请 根 据 所 给
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90 分）
16.（ 本小题满分 8 分）用适当方法解下列方程：
(1) x( x 3) 7 ( x + 3) ； （ 2） x2 -4 x -3 = 0 ．
17.（本小题满分8 分）中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“ 国家名片 ”．修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥．如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道 MN(M、N 为山的两侧)，工程人员为了计算 MN 两点之间的直线距离，选择了在测量点 A、B、C 进行测量，点 B、C 分别在 AM、AN 上，现测得 AM=1200 米，AN=2000 米，AB=30米，BC=45 米，AC=18 米，求直线隧道 MN 的长．
18.（本小题满分8 分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“ 经典诵读进校园 ” 活动，某校团委组织八年级 100 名学生进行“ 经典诵读 ” 选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．
(1)表中 a=______，b=______；
(2)请计算扇形统计图中 B 组对应扇形的圆心角的度数；
信息，解答以下问题：
组别
分数段
频次
频率
A
60 ≤ x ＜70
17
0.17
B
70 ≤ x ＜80
30
a
C
80 ≤ x ＜90
b
0.45
D
90 ≤ x ＜100
8
0.08
(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．
19.（本小题满分8 分）小明和小华观察一个长方体纸盒(单位:厘米)， 这个长方体纸盒的表面积是多少平方厘米?它的容积是多少立方厘米?
20.（本小题满分 8 分）如图是一张对边平行的纸片，点 A ，C 分别在平行边上，连接 AC ． (1)求作：菱形 ABC D ，使点 A ，D 落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)证明：四边形 ABC D 是菱形．
21 .（本小题满分 8 分）已知关于x 的一元二次方程 x2 + ( k +1 ) x + k - 2 = 0 ．
(1)求证：不论 k 为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若x1 , x2 为该方程的两个实数根，且满足 x1 ( x2 -1 ) = x2 ．求 k 的值；
22.（本小题满分 8 分）根据以下素材，探索完成任务．
23．（本小题满分 10 分）如图 1 ，R t△ABC 中，上AC B = 90。，CD 丄 AB ，我们可以利用△ ABC
背景素材
素材 1
随着数字技术、新能源，新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇，天府科技园工作实验室借助智能化，对某款电动车的零部件进行一体化加工，以相同的生产效率提升，该零件7 月份生产 500 个，9 月份生产 720 个．
素材2
该工作实验室的零部件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零部件售价为50元/个时，月销售量为800 个，若在此基础上售价每下降2 元，则月销售量将增加20 个．为刺激经济的快速增长，降低实验室成本，政府给予实验室支持，当销量不低于900 个时，每个将有5 元的科技创新补贴．
问题解决
任务 1
该工作实验室从7 月份到9 月份生产数量的平均增长率；
任务2
为使工作实验室月销售利润达到 13500元，而且尽可能让车企得到实惠，社会普及增加，则该零件的实际售价应定为多少元？
与△ ACD 相似证明 AC 2 = AD . AB ，这个结论我们称之为射影定理．现请你用射影定理解决下列问题：
如图 2，正方形 ABC D 的边长为 15，点 O 是对角线 AC， BD 的交点，点 E 在 C D 上，过点 C作 C F 丄 B E ，垂足为 F，连接 OF ．
（1）试利用射影定理证明： BO . BD = BF . BE ；
（2）若 D E = 2CE ，求 OF 的长．
24.（本小题满分 12 分）“ 配方法 ” 是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“ 配方法 ” 求代数式2 x2 + 4 x - 6 的最小值．
原式：= 2 x2 + 4 x - 6 = 2 ( x2 + 2 x ) - 6 = 2 ( x2 + 2 x +1 -1 ) - 6 = 2 ( x +1 )2 - 8 ．
∵ ( x +1 )2 ≥ 0 ，: 2 ( x +1 )2 ≥ 0 ，: 2 ( x +1 )2 - 8 ≥ -8
可知当 x= -1 时 2 x2 + 4 x - 6 有最小值是-8 ．
请阅读上述“ 配方法 ” 的应用，并解答下列问题：
(1)当 x = ______时代数式 x2 - 6 x +1 4 有最小值是______；
(2)当 m、n 满足什么条件时，多项式 m2 - 2mn + n2 - 4m + 4n + 25 有最小值，并求出这个最小
值．
(3)在长方形 ABC D 中，AB = 3 ，AD = 4 ，动点 Q 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿 AB向点 B 移动；同时点 P 从点 B 出发，仍以每秒 1 个单位的速度，沿 BC 向点 C 移动，连接 QP 、
QD 、P D ．当 P、Q 两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设 ♀ Q PD 的面积为 S，时间为x 秒，用含 x 的关系式表示 S；当 x 为何值时，S 有最小值？并求出最小值．
25.（本小题满分 12 分）．如图，在平面直角坐标系xO y 中，直线 y= -x + 6 与直线 y = 2 x 相交于点 A，与 x 轴交于点 B．
(1)直接写出 A，B 的坐标；
(2)点 P 在直线 AB 上，点 Q 在坐标平面内，是否存在以 PQ , OA 为对角线的四边形 PAQO
是菱形，若存在，请求出菱形 PAQO 的面积 S ，若不存在，请说明理由；
平面内一动点 C (m, n ) 满足 n = -m2 + am +1 (a 为常数)，过 AC 两点的直线与 x 轴负半轴交于点 D，点 E 与点 D 关于 y 轴对称．若有且只有一点 C，使得 ♀ AB D 与 △ AB E 相似，求 a 的值．
四川省达州中学联盟期中
九年级数学参考答案
（ 时间：120 分钟 满分：150 分）
第 卷 (选择题 共 40 分)
一、单项选择题 (每小题4分 , 共 40分)
第 ll卷 (非选择题 共 110分)
二、填空题 (每小题4分 , 共 20分)
11 . 2 12. 50 5 - 50 13. 23 14. 4 5 15.2
三、解答题: 解答时应写出必要的文字说明 、证明过程或演算步骤 (共90 分)
解：（1） x( x + 3) = 7 ( x + 3) ，
x( x + 3) - 7 ( x + 3) = 0 ，
( x + 3)(x - 7 ) = 0 ，
x+3=0 或 x-7=0,
: x1=-3，x2=7．… … … … … … … … … … … … … … …4 分
（2） x2 -4 x -3 = 0 ，
( x - 2)2 - 4 - 3 = 0
( x - 2)2 = 7
x - 2 = ± 7
: x = 2 ± 7 … … … … … … … … … … … … … … …8 分
数学试卷第 1 页（共 8 页）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
B
A
B
C
C
D
解：∵ : =
30 3 AC 18 3
= = = =
, ,
2000 200 AM 1200 200 AC
, AM
又 ∵ 上A = 上A ，
分
: △ABC ∽ △ANM，… … … … … … … … … … … … … … …4
: = = ，
∵ BC=45，
: MN=3000. … … … … … … … … … … … … … … …8 分答：直线隧道 MN 长为 3000 米.
解:（1）本次调查的总人数为 17÷0.17=100（人），则 a ，b=100×0.45=45（人）．
故答案为0.3，45；… … … … … … … … … … … … … … …2 分
（2）360°×0.3=108° . … … … … … … … … … … … … … … …4 分答：扇形统计图中 B 组对应扇形的圆心角为 108° .
（3）将同一班级的甲、乙学生记为 A、B，另外两学生记为 C、D，画树形图得：
∵共有 12 种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2 种，
: 甲、乙两名同学都被选中的概率为 = ．… … … … … … … … … … … … … … …8 分19.解：根据正视图和俯视图，可知：长方体的长为 15，宽为 10，高为 15，
:长方体的表面积为：
S表 = 2 × (1 5 ×1 5 +1 5 ×1 0 +1 5 ×1 0) = 2 × 525 = 1 050 平方厘米；4 分
:长方体的容积为：S容= 1 5 ×1 5 ×1 0= 2250 立方厘米；… … … … … … … … … … … … … … …8 分20.（1）解：如图，作线段 AC 的垂直平分线，交纸片的平行边于两点 B ，D ，连接 AB 、C D ，则四边形 ABC D 即为所作；
………………………………………
3 分
（2）证明：设 AC ，B D 交于点 O ，
根据作图可知： B D 垂直平分 AC ， : AO = CO ，AB = BC ，
∵ AD ∥ BC ，
: 上AD O = 上C BO ，上DAO = 上B CO ，在 ♀ AO D 和 △COB 中，
: △ AO D ≥△COB ( A A S ) ，… … … … … … … … … … … … … … …6 分 : AD = BC ，
:四边形 ABC D 为平行四边形， ∵ AB = BC ，
:四边形 ABC D 为菱形 … … … … … … … … … … … … … … …8 分21 .解:（1）证明：∵ x2 + (k +1 ) x + k - 2 = 0 ，
: Δ = ( k +1 )2 - 4 ( k - 2 )
= k 2 + 2 k +1 - 4k + 8
= k 2 - 2 k +1 + 8
= ( k -1 )2 + 8 > 0 ，… … … … … … … … … … … … … … …4 分 :不论 k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵ x2 + (k +1 ) x + k - 2 = 0 ，x1 , x2 为该方程的两个实数根，
: x1 + x2 = -k -1 , x1 x2 = k - 2 ，
∵ x1 ( x2 -1 ) = x2 ，
: x1 x2 - x1 - x2 = 0 ， : k - 2 + k +1 = 0 ，
1
2
: k = . … … … … … … … … … … … … … … …8 分
22．解：任务 1 ：设平均增长率为 x ，由题意，得：
500 (1 + x )2 = 7 20 ，… … … … … … … … … … … … … … …2 分
解得 ：x1 = 0.2 = 20% , x2 = -2.2（ 舍去）；
答：平均增长率为：20% ；… … … … … … … … … … … … … … …4 分任务 2：∵当销售量为 900，不享受补贴时，利润为：
[50 - 30 -（ 900 -800）÷ 20 × 2]×900 = 9000（元）
而 9000