湖北省十堰市普通高中区县联合体2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：2025年11月21日下午14：30-16：30 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时必须使用铅笔，将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】设该直线的倾斜角为，则.
因为，所以.
故选：C.
2. 如图：在平行六面体中，为与的交点.若，，，则可以表示为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合平行六面体的性质，根据空间向量的线性运算性质求解即可.
【详解】由题意可知，.
故选：B.
3. 已知事件两两互斥，若，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可.
【详解】两两互斥，，
，，
.
故选：B.
4. 某次朗诵比赛，9位评委分别给某选手评分，最后去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效分.7个有效分与9个原始分比较，一定不变的数字特征是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的概念和性质，判断正确结果.
【详解】对于A：平均数
原始分 = {1，1，1，1，1，1，1，8，9}，原始平均数 .
有效分 = {1，1，1，1，1，1，8}，有效平均数 = 2.
平均数改变，因此不满足“一定不变”，故A错误；
对于B：中位数
原始9个分数排序后，中位数是第5个值（奇数个数据）.去掉最高分（第9个）和最低分（第1个）后，剩余7个分数排序后为原序列的第2至第8个值，其中位数是第4个值，正好对应原序列的第5个值.
因此，无论原始分如何，中位数一定不变.故B正确；
对于C：众数
众数是出现次数最多的值.移除最高和最低分可能改变频率分布，导致众数改变.
例如，原始分 = {1，1，2，3，4，5，6，7，7}，众数为1和7（各出现2次）；有效分 = {1，2，3，4，5，6，7}，所有值出现1次，无众数（改变）.
因此不满足“一定不变”，故C错误；
对于D：方差
方差衡量数据离散程度。移除极端值（最高和最低分）通常会减小方差，因为减少了数据波动.
例如，原始分 = {1，8，8，8，8，8，8，8，9}，方差 大于0；有效分 = {8，8，8，8，8，8，8}，方差 = 0（减小）.
因此不满足“一定不变”，故D错误.
故选：B.
5. 过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出两条直线的交点坐标，再结合方向向量求出直线方程.
【详解】由，解得，即直线与的交点坐标为，
而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即.
故选：A
6. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量的数量求出，再利用向量夹角公式求解即得.
【详解】向量，，由，得，解得，，
因此，而，则，
所以向量与的夹角为.
故选：D
7. 为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（ ）
A. 样本中A层次身高的女生少于男生
B. 样本中B层次身高的学生人数最多
C. 样本中D层次身高的学生人数占总人数的17%
D. 样本中E层次身高的男生有6人
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题中统计图可判断各选项正误.
【详解】对于A，样本中女生人数为，则样本中男生有（人），样本中A层次身高的男生人数为，女生人数为4，所以样本中A层次身高的女生少于男生．故A正确；
对于B，因为男生中B层次身高的人数比例最大，女生中B层次身高的人数比例也最大，所以样本中B层次身高的学生人数最多．故B正确；
对于C，样本中D层次身高的女生有8人，D层次身高的男生有（人），所以样本中D层次身高的学生人数占总人数的比例为．故C正确；
对于D，样本中E层次身高的男生有（人）．故D错误.
故选：ABC
8. 在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将三棱锥补成正方体，计算出正方体的体对角线长，即为三棱锥的外接球直径长，设线段的中点为，利用点、球心、点三点共线且球心在线段上时，最长可求得的最大值，由此可得出的最大值.
【详解】因为三棱锥中，、、两两垂直且，
将三棱锥补成正方体，
设三棱锥的外接球半径为，球心为，
则，，
取的中点，连接、，
，则为的外接圆的一条直径，则为的外接圆圆心，
所以，平面，平面，，
，，
由球的几何性质可知，当、、三点共线且点在线段上时，
取得最大值，且.
，，
所以，.
当且仅当时，等号成立.
因此，的最大值为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9. 下列四种抽样中，不是简单随机抽样的是（ ）
A. 从一个不透明的盒中，抽取2个球（盒中每个球的大小和质感一样）
B. 一节公开课，老师点了7位同学回答问题或板书
C. 根据某校学生的学籍号，教务处利用电脑软件抽取了20名学生
D. 利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生
【答案】BD
【解析】
【分析】根据简单随机抽样的特点逐一分析即可.
【详解】简单随机抽样的特点是总体中的个体有限，从总体中逐个进行抽取，每个个体被抽到的机会均等，抽样是随机、无差别的；
对于A，从一个不透明的盒中，抽取2个球，所有球被抽到的可能性相同，故A是简单随机抽样；
对于B，老师点名有自己主观的考量，因此每位同学被抽到的可能性并不相同，故B不是简单随机抽样；
对于C，根据学籍号，并用电脑软件抽取，避免了人为因素的影响，从客观角度看，每位同学被抽到的可能性相同，故C是简单随机抽样；
对于D，利用投掷硬币的方法，选出一个班级中所有掷出正面的学生，此方法选出的样本容量不固定，不是简单随机抽样.
故选：BD.
10. 已知：，：，则下列说法正确的是（ ）
A. 的充要条件是或
B. 若，则
C. 若直线不经过第四象限，则
D. 若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合两直线平行性质，利用充要条件概念判断A；利用两直线垂直建立方程求解即可判断B；将直线化为斜截式后利用纵截距列不等式求解判断C；先求出直线关于原点对称的直线，利用纵截距列式求解判断D.
【详解】对于A：若，则，即，解得或，
当时，：，：，则，符合题意；
当时，：，：，则，符合题意，
所以的充要条件是或，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：：即，
若直线：不经过第四象限，则，解得，故C错误；
对于D：直线：关于原点对称后得到的直线为，则纵截距为，解得，故D正确．
故选：ABD
11. 如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，，P，D三点共线
B. 当时，
C. 当时，平面
D. 当时，平面
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式，求得点的坐标，根据空间向量公式，可得答案.
【详解】由题意，如图建系：
则，
，
设，，则，
可得，
，
对于A：当时，则点P为对角线的中点，
根据长方体性质可得三点共线，故A正确；
对于B：当时，
∴，解得，
所以，
则，
因此不正确，故B错误；
对于C：当时，，
设平面的法向量为，
，
∴，，
当时，，，故，
∴，∴，
又平面，∴平面，故C正确；
对于D：当时，可得，，
设平面的法向量为，
则，，
取，则，∴，
而，∴，∴平面，故D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组数据1，3，5，的平均数为4，则这组数据的方差为________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据平均数列方程求出的值，再结合方差的定义即可求解.
【详解】由题知，解得.
所以这组数据的方差为.
故答案：.
13. 如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是________（填区域编号）.
【答案】4
【解析】
【分析】结合事件所表示的意义和韦恩图求出答案.
【详解】事件表示喜欢数学兴趣小组，且喜欢语文兴趣小组，
但不喜欢英语兴趣小组，故表示的区域为4.
故答案为：4
14. 已知实数，，，满足，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的性质，求出参数之间的等量关系，进而根据两点之间的距离公式，求出结果.
【详解】由题意得，化简得，
所以点分别在两平行直线上，且，
而表示这两点之间距离的平方，
所以其最小值为两平行直线间距离的平方，即为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某多选题有，，，四个选项.
（1）若已知有且仅有两个选项正确，则随机任选两项，能全对的概率是多少；
（2）若已知有且仅有三个选项正确，则随机任选两项，能得分（不是0分）的概率是多少？
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）列出所有选法，共6种，全对的有且只有一种，所以全对的概率为；
（2）把能得分的情况看作是从三个正确选项中随机选两个，与从四个中随机选两个的情况数的比值即为得分的概率；或假设正确答案为，分析随机选两个能得分的情况，再用全概率思想求解；或假设所选的两项是，分析能得分的概率，再用全概率思想求解.
【小问1详解】
随机选两项共有6种选法，
其中只有1种全对，所以全对的概率为；
【小问2详解】
从四个选项中随机任选两项，共有种情况，
能得分的情况相当于从三个正确选项中随机选两个，共有种，
所以能得分（不是0分）的概率是.
方法二：假设正确答案为，其概率为.
随机选两项共有6种，
其中3种可得分，所以能得分概率为，
若正确答案为其它，同理可得.
所以能得分概率为.
方法三：假设选的是，其概率为.
正确答案的可能选项共有4种，
其中有2种可以得分，所以得分概率为，其它同理可得.
所以能得分概率.
16. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
（1）求证：A1E⊥BD；
（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
【答案】（1）证明见解析；（2）E为CC1的中点.
【解析】
【分析】以D为原点，DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.
（1）计算即可证明；
（2）求出面A1BD与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可．
【详解】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
（1）＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，
＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴，即A1E⊥BD；
（2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)
∴， ， ，.
∴,
取x1＝x2＝1，得＝(1，－1，－1)，＝(1，－1，)．
由平面A1BD⊥平面EBD得⊥.
∴2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
17. 平面直角坐标系内，点，，
（1）求直线的方程和线段长度；
（2）求三角形的面积；
（3）求的角平分线所在直线的方程.
【答案】（1），；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）已知，利用此公式求出，利用点斜式得到直线，利用两点间距离公式求出；
（2）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离为，求出即为所求；
（3）显然的角平分线所在直线的斜率存在，设的角平分线所在直线的斜率为，利用点斜式设出此直线方程在角平分线上取不同于的一点，求出直线方程，利用角平分线性质：点到的距离相等，求出点到的距离，建立等式计算得到，由图形观察对进行取舍，从而得到的角平分线所在的直线方程.
【小问1详解】
，
，
；
【小问2详解】
点到直线的距离为：，
所以，即三角形的面积为；
【小问3详解】
设的角平分线所在直线的斜率为，显然斜率存在，
则此直线方程为，
在角平分线上取不同于的一点，
，，，
直线方程为，即，
则由角平分线性质可知：点到的距离相等，
所以， 解得：，
由图形观察可知为外角平分线，
为内角平分线，
所以的角平分线所在直线为：.

18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数；
（2）求样本成绩的众数，中位数和平均数；
（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.
【答案】（1），第75百分位数为84；
（2）众数为75，中位数为75，平均数为74；
（3）平均数为62，方差为37.
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1求得，结合百分数定义求第75百分位数；
（2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值；
（3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差.
【小问1详解】
由每组小矩形的面积之和为1，得，解得，
成绩在内的频率为，在内的频率为，
显然第75百分位数，由，解得，
所以第75百分位数为84.
小问2详解】
由，得样本成绩的众数为75，
成绩落在[40,70)内的频率为，
成绩落在内的频率为，
故中位数在[70,80)内，由，得样本成绩的中位数为75，
由.
得样本成绩的平均数为74.
【小问3详解】
由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，
所以，
总方差为.
19. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知点为中点，点在线段上，且满足，平面交于点.
（1）求证平面；
（2）求的值；
（3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，的坐标为或.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证.
（2）利用共面向量定理及向量的坐标运算计算得解.
（3）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式列式求解.
【小问1详解】
在四棱锥中，底面是正方形，平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，于是
即平面，而平面，所以平面.
【小问2详解】
设，则，，
由四点共面，得，
因此，解得，所以.
【小问3详解】
由（2）得，则，设，
于是点，，而，
设平面的法向量为，则，取，得，
点到平面的距离，解得或，
所以线段上存在一点满足条件，点的坐标为或.