四川省内江市第六中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题（创新班）含答案

这是一份四川省内江市第六中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题（创新班）含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（满分 40 分，每小题 5 分）
1．已知直线l1 : x 2 y 1 0 ， l2 : 3 x  y  0 的倾斜角分别为1 ，2 ，则（）
A．  π 
B．  π 
C． π    
D． π    
122

221
212

221
2．已知向量a  2,1, 3，b  1,1, x ，若a 与b 垂直，则 a  2b
 （）.
2
13
26
A． 2B． 5C． 2D．
在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P1 0, 2 、P2 4, 4 两点，若圆 M 以 P1P2 为直径，则圆 M 的标准方程为（）
A．  x  22   y  32  5
C．  x 12   y  42  5
B．  x  22   y  32 
5
5
D．  x 12   y  42 
若一个圆锥的轴截面是一个底边长是 2，腰长为π 的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是（）
2πB． π
2
C．2D．4
已知抛物线G : y2  4x ，直线 l 交该抛物线于 A, B 两点．若线段 AB 的中点坐标为3, 2，则直线 l 斜率为（）
1
2
1
4
C．1D． 2
．设椭圆C : x2  y2  1的左、右焦点分别为 F ， F ， P 是C 上的动点，则下列四个结论正确的个数（）
6212
① PF1
 PF2  2
；②离心率e ；
3
2
2
③△PF1F2 面积的最大值为 2 ；④以线段 F1F2 为直径的圆与直线 x  y  2  0 相切．
A．1B．2C．3D．4
7
7．正四棱台的上、下底面边长分别为 2，4，侧棱长为 3，则该四棱台的体积为（）
A． 28 7
3
B． 28
C． 56
3
D．56
已知双曲线C : x2  y2  a  0, b  0 的左，右焦点分别为 F ， F ， O 为坐标原点，过 F 作C 的一条
a2b21
121
2
浙近线的垂线，垂足为 D ，且 DF2  2
OD ，则C 的离心率为（）
2
5
B．2C．D．3
二、多选题（满分 20 分，每小题 5 分，选对但不全得 2 分，有错得 0 分，全对得 5 分）
已知三条不同的直线l ， m ， n 和三个不同的平面， ，，下列说法正确的是（）
若l ， m  l ，则m / /
B．若m ， n 为异面直线，且n   ， m  ， m / /， n//，则//
C．若m  l ，   m ，则l  
D．若  l ，   m ， n ，， ，两两垂直，则l ， m ， n 也两两垂直
2
已知椭圆 E : x
a2
2
y
 1(a  b  0) 的右焦点为
b2
F (3, 0)
，过点 F 的直线交椭圆 E 于
A, B
两点．若 AB 的中
点坐标为(1, 1) ，则（）
1
x2y2
直线 AB 的方程为 y 
(x  3)
2
a2  2b2
椭圆的标准方程为
 1 93
椭圆的离心率为
2
2
11．已知空间中三个向量 AB  2,1, 0 ， AC  1, 2,1 ， BC  3,1,1 ，则下列说法正确的是（）
A． AB 与 AC 是共线向量B．与 AB 同向的单位向量是 2 5 , 5 , 0 
 55
C． BC 在 AB 方向上的投影向量是2, 1, 0 

D．平面 ABC 的一个法向量是1, 2, 5
已知 A x1, y1 , B x2 , y2 是圆O : x2  y2  3 上的两点，则下列结论中正确的是（）
2
若点O 到直线 AB 的距离为
，则 AB  1
2
若直线 AB 的方程为kx  y  1  k  0 ，则圆心到直线 AB 距离的最大值为
x1 x2  y1 y2 的最小值为3
若AOB  π ，则 x  x 2   y  y 2 的值为6
21212
三、填空题（满分 20 分，每小题 5 分）
过点3,  2 且在 x 轴、 y 轴上截距相等的直线方程为.
已知直线l : kx  y  2k  4  0 与曲线 y 
4  x 2 有两个交点，则k 的取值范围为．
已知抛物线C : y2  4x ，圆C : (x  2)2  y2  2 ，直线l : y  k (x 1) 与C 交于 A，B 两点，与C 交于 M，
1212
N 两点，若 AB  8 ，则 MN ．
已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 的 6 个顶点都在球O 的球面上，若 AB  3 ， AC  4 ， AB AC ， AA1  5则球O 的表面积为
四、解答题（满分 70 分）
17．（本小题满分 10 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，点 M 为线段 AA1 的中点. (1)证明： A1B / / 平面 MCD1 ；
(2)求点 D 到平面 MCD1 的距离.
18．（本小题满分 12 分）已知圆C 经过点 A(1, 2) 和 B(5, 2) ，且圆C 关于直线2x  y  0 对称．
求圆C 的方程；
过点 D(3,1) 作直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．
3
19．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中， ABCD 为平行四边形， PA  PB ，平面 PAB  平面 ABCD ， AD  2 ， AB ， BAD  30 .
求证：平面 PBD  平面 PAB ；
若 AP 与平面 ABCD 所成角为60，E 为 PC 的中点，求锐二面角 B  AD  E 的余弦值.
20．（本小题满分 12 分）已知抛物线 E ： y2  2 px  p  0 ，过点 P3,0的直线l 交抛物线 E 于A ， B ，且
OA OB  3 （ O 为坐标原点）．
求抛物线 E 的方程；
求三角形 AOB 面积的最小值．
 x2  y2 

b  0
A 1, 0
A 1, 0
21．（本小题满分 12 分）已知双曲线
: a2
1（ a0 ，
b2
）的左、右顶点分别为 1
、 2，
离心率为 2，过点 F 2, 0 斜率不为 0 的直线 l 与 交于 P、Q 两点．
求双曲线 的渐近线方程；
记直线 A P 、 A Q 的斜率分别为k 、k ，求证： k1 为定值．
k
1212
2
x2y2

FF3
22．（本小题满分 12 分）已知椭圆 E : a2  b2  1(a  b  0)的左、右焦点分别为 1 ， 2 ，离心率e  2 ，M
为椭圆上一动点， △MF1F2 面积的最大值为 3 ．
求椭圆 E 的标准方程；
设点 N 为椭圆 E 与 y 轴负半轴的交点，不过点 N 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆 E 于 S， T 两点，直线 NS，NT 分别与 x 轴交于 C，D 两点，若 C，D 的横坐标之积是 2．问：直线l 是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由．
内江六中高二（上）期入学考试题（创新班参考答案）
1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】C 【详解】设，则，故，由于线段的中点坐标为，故由抛物线对称性可知斜率存在，即，且，故，即，所以直线的斜率为.故选：C 6．【答案】B 7．【答案】A 【详解】连接AC，，作平面ABCD，由正四棱台性质可知点E在AC上，因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，所以，易知四边形为等腰梯形，所以，所以，因为上下底面面积分别为：，所以四棱台的体积为.故选：A
8．【答案】C 【详解】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，由勾股定理得，在中，，，在中，，，，，由余弦定理得，化简得，，即，因此，双曲线的离心率为，故选：C．
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：①直接求出、，可计算出离心率；
②构造、的齐次方程，求出离心率；③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解．
9．【答案】BD 【详解】若，，则或，故A错误；设，，因为，所以，又，，所以，又因为，为异面直线，，，，则直线与必相交，所以，故B正确；若，，则不一定成立，故C错误；若，，，，，两两垂直，则，，必相交于同一点，假设与不垂直，则存在直线，使得，，所以直线与可确定平面，且，这说明过内的直线可作两个平面与垂直，而这是不可能的，所以假设不成立，即，同理可证，，即，，两两垂直，故D正确.故选：BD
10．【答案】ABD 11．【答案】BCD 【详解】A：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误；B：与同向的单位向量是，正确；C：由，则在方向上的投影向量是，正确；D：若是面ABC的一个法向量，则，令，则，正确.故选：BCD
12．【答案】BCD【详解】对A，由题意，圆的半径为，且点到直线的距离为，所以，故A错误；对B，由直线的方程，可得直线过定点，则圆心到直线距离的最大值为圆心到点的距离，即最大值为，故B正确；对C，为的值，因为圆的半径为，可得，又，所以，所以的最小值为，故C正确；对D，，则，因为，所以，所以，所以的值为，故D正确.故选：BCD
填空题（满分20分，每小题5分）
13．【答案】或
14．【答案】【详解】直线，得，可知直线过定点，如图，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆．当直线与半圆相切时，，解得．曲线与轴负半轴交于点．因为直线与曲线有两个交点，所以．故答案为：.
15．【答案】【详解】设，由得，所以，所以，解得，所以直线或，
圆心到直线的距离，（圆心到直线的距离）
由圆的弦长公式：，可得.故答案为：
16．【答案】
【详解】因为，，，所以，在直三棱柱中，，易得四边形为正方形，又，因此平面的中心即为直三棱柱的外接球的球心，取中点，连结，易知，且，所以球的半径等于，因此球的表面积为.故答案为：.
四、解答题（满分70分）
17．（本小题满分10分）【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）在正方体中，且，且
所以且，则.为平行四边形，
所以，又平面平面，
所以平面. 分
（2）记点到平面的距离为的面积为S，则由题意可知.
在中，由余弦定理得，则，所以，则，又，所以，
即点到平面的距离为分
18．（本小题满分12分）【答案】(1)；(2)和.
【详解】（1）∵，，故AB的中点坐标为，，
∴AB的垂直平分线为：，分
由解得圆心，半径
故圆的方程为；分
（2）若直线的斜率存在，方程可设为，即
圆心到直线的距离为，解得，
所求的一条切线为；分
当直线的斜率不存在时，圆心到的距离为4，即与圆相切分
所以直线的方程为和．分
（本小题满分12分）【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）在中，，，，则，
所以，则，所以，分
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，分
又平面，所以平面平面；分
作于点，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，则即为与平面所成角的平面角，所以，
又，所以为等边三角形，故，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，则，分
则，因为平面，
所以即为平面的一条法向量，分
设平面的法向量为，则，令，则，
所以，分
则，即锐二面角的余弦值分
20．（本小题满分12分）【答案】(1)；(2)
【详解】（1）设直线为，代入整理得，设，
所以，，所以，
由即，得，
∴，∴所求抛物线的方程为分
（2）由（1）得分
，点到直线的距离为，分
则，当时，等号成立，分
故当时，三角形面积有最小值分
21．（本小题满分12分）【答案】(1)；(2)证明见解析.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为c，由题设，，，
双曲线的方程为，故渐近线方程为．分
（2）当l的斜率不存在时，点P、Q的坐标分别为和，
所以，当时有；当时有，此时，分
当l的斜率k存在时，设，，l为，将直线l代入双曲线方程得，所以，， 分

因为，
所以，即，
综上，为定值，得证．分
22．（本小题满分12分）【答案】(1)；(2)是，过定点.
【详解】（1）由题意可知，面积的最大时M位于椭圆上或下顶点，即，分
又因为，
联立解方程，可得，所以，
故椭圆标准方程为分
（2）如图所示，由题意可设，
所以，即①，分
将直线方程与椭圆方程联立化简，分
代入①，得或，分
当时，，直线l 过N点，不符合题意；
当时，，直线l 过点，符合题意.
故直线l 过定点分