2025-2026学年江苏省宿迁市泗洪县九年级（上）期中数学试卷（有答案和解析）

这是一份2025-2026学年江苏省宿迁市泗洪县九年级（上）期中数学试卷（有答案和解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 2x−y=5B. x+1x=0C. 5x2=1D. y2−x+3=0
2.若⊙O内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径r可以是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB=68∘，则∠ACB的度数为( )
A. 34∘
B. 42∘
C. 54∘
D. 68∘
4.某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )
A. x(x−1)2=1560B. x(x+1)2=1560C. x(x−1)=1560D. x(x+1)=1560
5.如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为( )
A. 30π
B. 60π
C. 65π
D. 90π
6.若(x2+y2)(x2+y2−1)−6=0，则x2+y2的值是( )
A. 2B. 3C. −2或3D. 2或−3
7.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，记∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β.若AB=AC，AB//CD，则有( )
A. 2α+3β=180∘
B. 3α+4β=360∘
C. 3α+2β=180∘
D. 4α+3β=360∘
8.设方程(x−a)(x−b)−x=0的两根是c、d，则方程(x−c)(x−d)+x=0的根是( )
A. a，bB. −a，−bC. c，dD. −c，−d
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.已知一元二次方程3x2−5x−1=0的二次项系数为3，则一次项系数为 .
10.若关于x的方程x2−6x+k−1=0有两个相等的实数根，则k的值为 .
11.如图，点I为△ABC的内心，若∠BAC=80∘，则∠BAI的度数为 .
12.若α，β是方程x2+2x−5=0的两个实数根，则α+β−αβ的值为 .
13.如图，点A、B、C、D在⊙O上，且∠ACB=∠BDC=60∘，BC=3.则△ABC的周长为 .
14.一个直角三角形的斜边长是2 5cm，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形的面积为 .
15.如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆心角为90∘，OA=2m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为 m2.(结果保留π)
16.如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形、正四边形的一边，BC是圆内接正n边形的一边，则n的值为 .
17.已知被开方数中含有未知数的方程是无理方程，无理方程又叫根式方程，则关于x的无理方程 x+6=−x的解为 .
18.如图，等边△ABC的边长为2，点D是边AB上一动点(不与A、B重合)，以AD为直径的⊙O与边AC交于点E，连接BE与⊙O交于点F，连接CF，当点D在边AB上移动时，CF的最小值为 .
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算： 12−(−2025)0+| 3−1|.
20.(本小题8分)
解下列方程.
(1)x2−3x+1=0；
(2)x2+2x−3=0.
21.(本小题8分)
如图，在⊙O中，AC=CB,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：OD=OE.
22.(本小题8分)
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”(见图1，一种水利灌溉工具)的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，⊙O半径长为5米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是多少？
23.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB.
(1)求证：DC为⊙O的切线.
(2)连接BC，若∠DAC=30∘，DC= 3，求⊙O的半径.
24.(本小题10分)
△ABC中，∠B=90∘，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.
(1)填空：BQ= ，PB= (用含t的代数式表示)；
(2)是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
25.(本小题10分)
如图，已知△ABC是锐角三角形(AC5.
故选：D.
根据点与圆的位置关系判断得出即可．
此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d>r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d0，
∴方程有两个不相等的实数根，
则x=−(−3)± 52×1=3± 52，
即x1=3+ 52，x2=3− 52；
(2)x2+2x−3=0，
因式分解得：(x−1)(x+3)=0，
解得：x1=1，x2=−3.
(1)利用公式法解方程即可；
(2)利用因式分解法解方程即可．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
21.【答案】∵AC=CB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=90∘.
在△CDO与△CEO中，
∠AOC=∠BOC∠CDO=∠CEOOC=OC，
∴△CDO≌△CEO(AAS)，
∴OD=OE.
【解析】证明：∵AC=CB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=90∘.
在△CDO与△CEO中，
∠AOC=∠BOC∠CDO=∠CEOOC=OC，
∴△CDO≌△CEO(AAS)，
∴OD=OE.
连接OC，根据题意得出∠AOC=∠BOC，进而证明△CDO≌△CEO，即可得证．
本题考查了弧与圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△CDO≌△CEO解答．
22.【答案】2米．
【解析】
解：如图，连接OA、OC，OC交AB于点D，
由题意得：OA=OC=5米，OC⊥AB，
∴AD=BD=12AB=4(米)，∠ADO=90∘，
∴OD= OA2−AD2=3(米)，
∴CD=OC−OD=5−3=2(米)，
即点C到弦AB所在直线的距离是2米．
连接OA、OC，OC交AB于点D，由垂径定理得AD=BD=12AB=4米，再由勾股定理得OD=3米，然后求出CD的长即可．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
23.【答案】(1)连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAD=2∠BAC，
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAD，
∴OC//AD，
∵AD⊥CD于点D，
∴∠ADC=90∘，
∴∠OCD=180∘−∠ADC=90∘，
∵OC是⊙O的半径，且DC⊥OC，
∴DC为⊙O的切线 (2)⊙O的半径长是2
【解析】(1)证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAD=2∠BAC，
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAD，
∴OC//AD，
∵AD⊥CD于点D，
∴∠ADC=90∘，
∴∠OCD=180∘−∠ADC=90∘，
∵OC是⊙O的半径，且DC⊥OC，
∴DC为⊙O的切线．
(2)解：作OL⊥AD于点L，则∠ALO=90∘，
∵∠OLD=∠LDC=∠OCD=90∘，
∴四边形OLDC是矩形，
∴OL=DC= 3，
∵AC平分∠DAB，∠DAC=30∘，
∴∠BAD=2∠DAC=60∘，
∴∠AOL=90∘−∠BAD=30∘，
∴AL=12OA，
∵OL= OA2−AL2= OA2−(12OA)2= 32OA= 3，
∴OA=2，
∴⊙O的半径长是2.
(1)连接OC，由AC平分∠DAB，得∠BAD=2∠BAC，由圆周角定理得∠BOC=2∠BAC，所以∠BOC=∠BAD，则OC//AD，因为AD⊥CD，所以∠OCD=180∘−∠ADC=90∘，即可证明DC为⊙O的切线．
(2)作OL⊥AD于点L，可证明四边形OLDC是矩形，则OL=DC= 3，由∠DAC=30∘，求得∠BAD=2∠DAC=60∘，则∠AOL=30∘，所以AL=12OA，由OL= 32OA= 3，求得OA=2，所以⊙O的半径长是2.
此题重点考查圆周角定理、平行线的判定性质、切线的判定、矩形的判定与性质、直角三角形中30∘角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)2tcm，(5−t)cm.
(2)存在，理由如下：
由题意得：12×2t×(5−t)=4，
解得：t1=1，t2=4(不符合题意，舍去)，
∴存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2，t=1.
【解析】解：(1)由题意，得：BQ=2t(cm)，PB=(5−t)cm.
故答案为：2t cm，(5−t)cm.
(2)存在，理由如下：
由题意得：12×2t×(5−t)=4，
解得：t1=1，t2=4(不符合题意，舍去)，
∴存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2，t=1.
(1)根据路程=速度×时间就可以表示出BQ，AP.再用AB−AP就可以求出PB的长．
(2)利用(1)的结论，根据三角形面积公式建立方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】(1)图形如图所示：
1.5
【解析】解：(1)图形如图所示：
(2)设⊙O与AB相切于点T，连接OT.
∵MN垂直平分线段BC，
∴BN=CN=12BC=3，
∵BM=5，
∴MN= BM2−BN2= 52−32=4，
设OT=ON=r，
∵BC，AB是⊙O的切线，
∴BN=BGT=3，
∴MT=BM−BT=5−3=2，
在Rt△OTM中，则有(4−r)2=22+r2，
解得r=1.5.
故答案为：1.5.
(1)作线段BC的垂直平分线交AB，BC于点M，N，作BO平分∠ABC，交MN与点O，以O为圆心，ON为半径作⊙O即可．
(2)设⊙O与AB相切于点T，连接OT.设ON=OT=r，利用勾股定理构建方程求解．
本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，切线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
26.【答案】解：(1)设这个降价率为x，
依题意，得：40(1−x)2=32.4，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(舍去).
答：这个降价率为10%.
(2)设每千克应涨价y元，则每天可售出(500−20y)千克，
依题意，得：(10+y)(500−20y)=6000，
整理，得：y2−15y+50=0，
解得：y1=10，y2=5.
∵要使顾客得到实惠，
∴y=5.
答：每千克应涨价5元．
【解析】(1)设这个降价率为x，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
(2)设每千克应涨价y元，则每天可售出(500−20y)千克，根据总利润=每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27.【答案】(1)2，11；
(2)3，大，−6；
(3)∵−x2+5x+y+10=0，
∴x+y=x2−4x−10=(x−2)2−14，
∵(x−2)2≥0，
∴(x−2)2−14≥−14，
∴当x=2时，y+x的最小值为−14.
【解析】解：(1)∵x2−4x+15=(x−2)2+11，
∴当x=2时，有最小值11；
故答案为：2，11；
(2)∵y=−x2+6x−15=−(x−3)2−6，
∴当x=3时有最大值−6；
故答案为：3，大，−6；
(3)∵−x2+5x+y+10=0，
∴x+y=x2−4x−10=(x−2)2−14，
∵(x−2)2≥0，
∴(x−2)2−14≥−14，
∴当x=2时，y+x的最小值为−14.
(1)配方后即可确定最小值；
(2)将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值；
(3)首先得到有关x+y的函数关系式，然后配方确定最小值即可．
本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大．
28.【答案】60; 3 (2)结论PA=PB+PC成立，证明：
延长CP至点D，使PD=PB，连接BD，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60∘，AB=BC，
由(1)知：∠APC=120∘，
∴∠DPB=60∘，
∴△DBP为等边三角形，
∴∠D=60∘，
∵∠APB=∠ACB=60∘，
∴∠D=∠APB.
在△CBD和△ABP中，
∠D=∠APB∠BCD=∠BAPAB=CB，
∴△CBD≌△ABP(AAS)，
∴CD=AP，
∵CD=PC+PD=PC+PB，
∴PA=PB+PC (3)189 34
【解析】解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，
∴∠APC=∠ABC=60∘.
连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，如图，
则∠BOC=2∠BAC=120∘
∵OB=OC=1，OD⊥BC，
∴∠BOD=12∠BOC=60∘，BD=CD=12BC，
∴BD= 32OB= 32，
∴BC=2BD= 3.
∴AB=BC= 3.
故答案为：60； 3；
(2)结论PA=PB+PC成立，证明：
延长CP至点D，使PD=PB，连接BD，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60∘，AB=BC，
由(1)知：∠APC=120∘，
∴∠DPB=60∘，
∴△DBP为等边三角形，
∴∠D=60∘，
∵∠APB=∠ACB=60∘，
∴∠D=∠APB.
在△CBD和△ABP中，
∠D=∠APB∠BCD=∠BAPAB=CB，
∴△CBD≌△ABP(AAS)，
∴CD=AP，
∵CD=PC+PD=PC+PB，
∴PA=PB+PC；
(3)连接AC，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，如图，
∵∠ADC=120∘，DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB=60∘，
∴∠BAC=∠BDC=60∘，∠ACB=∠ADB=60∘，
∴△ABC为等边三角形，
由(2)知：BD=AD+CD，
∵DB+DC=2DA，
∴AD=2CD，
设CD=x，则AD=2x，
∵∠CDE=180∘−∠ADC=60∘，
∴DE=12CD=12x，CE= 32x，
∴AE=AD+DE=52x，
连接OB，OC，过点O作OF⊥BC于点F，
则∠BOC=2∠BAC=120∘
∵OB=OC=7，OF⊥BC，
∴∠BOF=12∠BOC=60∘，BF=CF=12BC，
∴BF= 32OB=7 32，
∴BC=2BD=7 3.
∴AB=BC=7 3.
∵AC2=CE2+AE2，
∴(7 3)2=( 32x)2+(52x)2，
∴x= 21，
∴AD=2 21，CE=3 72，
∴S△ACD=12AD⋅CE=21 32.
延长FO，
∵FO为BC的垂直平分线，AB=AC，
∴FP经过点A，即AF为BC边上的高，
∵OF=12OB=72，OA=7，
∴AF=212，
∴S△ABC=12BC⋅AF=12×7 3×212=147 34，
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ADC=189 34.
(1)利用等边三角形的性质和圆周角定理求得∠APC；连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，利用垂径定理和等腰三角形的性质得到∠BOD=12∠BOC=60∘，BD=CD=12BC，再利用含30∘角的直角三角形的性质解答即可得出结论；
(2)延长CP至点D，使PD=PB，连接BD，利用等边三角形的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质解答即可；
(3)连接AC，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，利用圆周角定理，角平分线的定义和等边三角形的判定得到△ABC为等边三角形，由(2)知：BD=AD+CD，则AD=2CD，设CD=x，则AD=2x，利用含30∘角的直角三角形的性质和勾股定理求得x，分别求得△ABC，△ADC的面积，再利用四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ADC解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．