2025年（中考数学）第三轮冲刺锐角三角函数部分解答题专项练习 [有答案]

这是一份2025年（中考数学）第三轮冲刺锐角三角函数部分解答题专项练习 [有答案]，共52页。试卷主要包含了定义，问题背景，已知，如图，点在上，；等内容，欢迎下载使用。

2．在 中，， ，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作的垂线，交于点，交直线于点，连接．
(1)如图1，当时，
①说明线段与的数量关系，并证明；
②探究线段，，之间的数量关系，并证明．
(2)如图2，当，时，求线段的长．
(3)在线段旋转的过程中，当 时， 的面积为，求线段的长．
3．定义：只有一组邻边相等且互相垂直的四边形叫做等直四边形．
理解：
（1）如图1，在等直四边形中，，，若，求证：；
（2）如图2，在四边形中，，，，求证：四边形是等直四边形；
探究：
（3）如图3，在中，圆内接四边形是等直四边形，，，点P为上一点，点Q为上一点，且，连接，点M为的中点，连接交于点E，交于点F，若，，，求的长．
4．问题背景：已知点A是半径为r的圆O上的定点，连接，将线段绕点O逆时针方向旋转得到，连接，过点A作圆O的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角．
初步感知：
（1）如图1，当时，________；
问题探究：
（2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线、相交于点F．
①如图2，当时，求证：不论在给定的范围内如何变化，总是成立．
②如图3，当，时，请补全图形，并求出及的值．
5．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒．
(1)______；______；（用含的代数式表示）
(2)用含的代数式表示点的坐标．
(3)是否存在的值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
6．已知，如图，点在上，；
(1)求的度数，
(2)若，，求的长，
(3)若，求．
7．如图1，在中，，平分交于点D，点E是线段上一点，连接、．
(1)求证：；
(2)过点D作于点F，取的中点H，过点H作，交于点G，交于点M，
①如图2，若，求证：；
②如图3，若，，求的长．
8．如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），且．
(1)当时，连接，求的余切值；
(2)当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)连接，若为等腰三角形，求的长．
9．如图在四边形中，，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

(1)的长为____________；
(2)当时，求t的值；
(3)试探究：t为何值时，为等腰三角形；
(4)直接写出是锐角三角形时t持续的时长．
10．如图，中，，，为点在射线上，点在射线上，，将线段绕点逆时针旋转，点落在点处，连接．
(1)求证四边形是平行四边形；
(2)设，四边形的面积是，关于的函数图像如图所示，点是函数图像上一点
① ；
②过点在上方作线段，使得，且（尺规作图）；
③连接，说明点是定点；
④点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上，且直线与轴构成的锐角的正切值是，求的值．
11．如图，，点射线上，且满足，

(1)尺规作图：作的平分线，交射线于点；（保留作图痕迹，不要求写出具体做法）
(2)连接，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)已知于点，连接交于点，连接．若，请直接写出的长．
12．如图，在中，，，．点D是中点．点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点C运动，连结，取的中点E，连结，P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t秒．（）
(1)求线段的长．
(2)当点Q在上运动时，求的值；
(3)当DE与的直角边平行时，求的长．
(4)若点P从点C沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，其它条件不变，当点Q在上运动，与一边垂直时，直接写出t的值．
13．科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）．
14．如图，已知抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为，顶点为，连接，点为抛物线上一动点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若点在直线的下方运动时，过点作交于点E，过点作y轴的平行线交直线于点．求周长的最大值及此时点的坐标．
(3)在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作交x轴于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)点D为线段的中点，点E为线段的延长线上一点，连接，设点E的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，过点B作，垂足为点F，点G为线段的中点，连接，且．过点E作交x轴于点H，点M在线段上，连接，过点作交x轴于点P，连接，若；求点M的坐标．
参考答案
1．点B，C之间的距离为海里
【分析】本题考查了方位角问题，掌握以上知识是解答本题的关键；
作于点D，根据题意可得，，然后在中，可得，最后在中，根据三角函数即可求解；
【详解】作于点D，如图：
，
由题意知，，，
在中，，，
∴（海里），
在中，，
，
∴（海里），
答：点，之间的距离为海里；
2．(1)①，证明见解析；②，证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）①由题意可知，垂直平分，利用垂直平分线的性质，可得；②作于点，交于点，先证明为等边三角形，不妨设，，则，可利用勾股定理和解直角三角形，分别表示出，，，，从而得出三者之间关系；
（2）先利用勾股定理求得，再证明，从而得到，由（1）可知，，，，，接着在中，利用算得，得到；
（3）由（1）可知，时，，同理可证，时，， 由（1）可知，设，，则，，，，过点作，先利用勾股定理，表示出，接着利用，以及，算得、，最后得出；当时，同理可证是等边三角形，先算出，过点作于， 同理可算得，通过，可知不符合题意，综上可得出答案．
【详解】（1）解：①，
证明：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
，
又，
垂直平分，
；
②，
证明：作于点，交于点，如图所示，
则，，
由①可知，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
由①可知，
为等边三角形，
；
不妨设，，则
在和中，
，，
，
，
，
在中，，
，
，，
；
（2）解：作于点，如图所示：
，，，，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
由（1）可知，，，，，
，
在中，，
，
，
；
（3）解：由（1）可知，时，，
同理可证，时，，如下图所示：
由（1）可知，设，，则，，
，，
过点作，如下图所示：
，，
，，
，
当 时，
，
的面积为，，
，
联立，解得，
此时、重合，、、三点共线，如下图所示：
；
当时，如下图所示：
同理可证是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
过点作于，如图所示：
同理可证，
，
的面积为，
，
不符合题意；
综上：线段的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理，全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，线段的垂直平分线，熟练掌握以上知识点数形结合，作出合适的辅助线是解题的关键．
3．（1）详见解析
（2）详见解析
（2）
【分析】（1）利用证明即可得到答案；
（2）延长至K，使，先证明，证明，从而得，根据，即可得出结论；
（3）通过构造辅助线证明，得，设设，，得，通过得出m，n的关系，连接交于R，连接，通过圆周角定理得出，在中理由勾股定理和三角函数即可得出答案．
【详解】（1）证明：根据题意得，在等直四边形中，，，
又∵，，
∴，
∴．
（2）证明：延长至K，使，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是等直四边形．
（3）解：∵点M为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
延长至点N使，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，设，，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴或（舍），
∴，
连接交于R，连接，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为圆直径，
∴，
设，则，，
在中，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是一道圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、全等三角形的构造、圆的有关概念及性质、圆周角定理及其推论、三角函数、一元二次方程、勾股定理、综合性很强，正确做出辅助线是解题关键．
4．（1）；（2）见解析；（3）①见解析；②图见解析，，
【分析】本题主要考查了圆的综合题以及切线的性质，锐角三角函数，全等的判定和性质，相似的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据等腰的角度和切线的性质即可求出；
（2）因为，且，要证，实际要证，根据我们证线段相等的思路：（1）同一个三角形证等腰（2）不同三角形证全等，可证即可；
（3）由得，再作，证得到，通过设边长，再利用勾股定理，建立勾股方程即可找到线段之间的关系．
【详解】（1）且，
是等边三角形，
，
直线是圆的切线，为切点，
，即，
，
故答案为：；
（2）证明：四边形是矩形，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
即无论在给定的范围内如何变化，总成立．
（3）①补全图形如图，
是切线，
，
，
，
设，则，
，
，，
，，
即点在线段上，
．
②：由，得
，
又，
，
，
．
5．(1)，
(2)
(3)存在，或见解析
【分析】（1）由点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，得，，得到
，，解答即可．
（2）延长交于点G，利用矩形的判定和性质，结合三角函数得，根据点的坐标的意义，描述即可．
（3）分和两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵点、的坐标为、，动点、分别从、同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，
∴，，，
∴，
故答案为：，．
（2）解：延长交于点G，
∵矩形，，
∴，
∴矩形，矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点．
（3）解：存在，理由如下：
根据问2证明，得，，
∴，
当时，得，
∴，
解得；
当时，得，
∴，
解得；
综上所述，当或时，结论成立．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角函数，三角形相似是解题的关键．
6．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由三角形全等的性质得到，，再进一步得到，得出，再由即可求解；
（2）先证明，得到，再由，即可求解；
（3）根据，设，，得到，再得到，由，得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
，，
，，
∵，，
，
∴，
在中，，
∴，
；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
在中， ，
又∵，
，
∴；
（3）解：，设，，
，
，
∵
∴，
，
，
∵，
∴，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形函数等知识，掌握相关知识是解题的关键．
7．(1)证明见解析
(2)①证明见解析
②9
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得到，平分，故是的垂直平分线，进而通过垂直平分线的性质即可证得．
（2）①根据题目中的提示构造三角形中位线：连接，再通过等角的三角函数值相等得到三角形边的比例关系，进而化比例式为等积式即可得证．
②连接，．先利用等腰三角形的性质及平行线的性质定理等证得，利用在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程进而求得的值，再根据在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程，即可求得的值．
【详解】（1）证明：，平分，
且是的中点，
直线是线段的垂直平分线，
．
（2）①证明：连接，如图2．
，是的中点，
中位线，
，
．
，，
，．
，
，
，
．
②解：连接，如图3．
，
，
．
，
．
，H是的中点，
．
，
，
，
，
．
连结．
，H是的中点，
．
．
．
．
．
．
，
．
．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，三角函数等，能够根据题目构造辅助线，综合利用多个知识点，通过线段之间的比例及勾股定理建立方程求解是本题的关键．
8．(1)
(2)
(3)或
【分析】（）先根据勾股定理求出的长，再由相似三角形的性质求出的长，利用等腰直角三角形的性质求出的长，最后由锐角三角函数的定义即可求出的余切值；
（）过点作于点，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出的表达式，再由相似三角形的判定定理求出，根据相似三角形的性质可写出关于的函数关系式；
（）先分析出为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当时，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一得到，从而得到与重合，进而得出的长；当时，先判断出点的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理解答即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，，
∴，，
∵点为中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，，
∴在中，；
（2）解：过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴若为等腰三角形，只有或两种可能．
①当时，如图①，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴此时与重合，
∴；
②当时，点在的延长线上，
过点作于点，如图②，
∵，，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，余角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)或或
(4)秒
【分析】（1）作，可推出四边形是矩形得分别在直角三角形求出即可求解；
（2）作可得四边形是平行四边形，推出，；结合可得，推出，即可求解；
（3）分类讨论时时，三种情况即可求解；
（4）求出两种临界状态、下的的值即可求解；
【详解】（1）解：作，如图所示：

则，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：作交于点G，如图所示：

∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
（3）解：时：

即：，
解得：；
时：作，

则，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：；
时：作，

则，
∵，
∴，
∴，
即：；
解得：；
综上所述：当或或时，为等腰三角形
（4）解：由（1）可知：，
当时，如图所示：
，
解得：；
当时，如图所示：
，
解得：；
∵点M从点B运动到图6中点M的位置的过程中；点M从图6中点M的位置运动到图7中点M的位置的过程中，是锐角三角形；点M从图7中点M的位置继续向点C运动时，，
∴是锐角三角形时t持续的时长为：秒
【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义和性质等等，利用分类讨论的所学求解是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)①；②图见解析；③见解析；④
【分析】（1）根据直角三角形的性质及旋转的性质可知，再利用平行线的性质可知，最后利用平行四边形的判定即可解答；
（2）①根据平行四边形的面积公式可知，再根据等腰直角三角形的性质可知进而即可解答；
②根据线段垂直平分线的性质及尺规作图法即可解答；
③连接，证明，则，，则，可以看作绕点B逆时针旋转得到的，即可证明结论成立；
④根据直角三角形的判定及平行线的判定可知，再利用函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（）可知四边形是平行四边形，过点作于点，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形的面积是，
∴，
∵是函函数图象上一点，
∴，
∴，
故答案为；
②如图所示，线段即为所求，
③连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∵
∴，
又∵
∴
∴，，
∴，
∴可以看作绕点B逆时针旋转得到的，
∴点是定点；
④过点作轴的垂线，过点作于点，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
∵点在点左侧的函数图像上，点在点右侧的函数图像上，
∴，，
∴，
∵直线与轴构成的锐角的正切值是，
∴，
由①可知，
∴，
∴，，
∴，
解得：
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，函数的性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数，尺规作图法，图形的旋转、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握函数与几何图形的关系是解题的关键．
11．(1)见解析
(2)四边形为菱形，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查菱形的判定及性质、作角平分线、锐角三角函数：
（1）以点为圆心，以适当长度为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，画射线，射线即为的平分线，射线与射线的交点即为点；
（2）证得，得到，进而得到，可证得四边形为平行四边形，结合，即可求得答案；
（3）可求得，，可知．
【详解】（1）以点为圆心，以适当长度为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧在内部交于一点，画射线，射线即为的平分线，射线与射线的交点即为点．

（2）四边形为菱形，理由如下：
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又，
∴．
又，
∴四边形为平行四边形．
又，
∴四边形为菱形．
（3）如图所示．

∵，，
∴为等边三角形．
∴．
∵四边形为菱形，
∴，．
∴．
∵
∴．
12．(1)；
(2)；
(3)的长为或5；
(4)当与一边垂直时t的值为或．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接用勾股定理即可求解；
（2）先求出，再求出，即可求；
（3）分情况讨论：当时，①过P作于点F，过E作于点G，②当时，点Q与B重合，求解即可；
（4）分两种情况，当时， ，当时， ，分别求解即可．
【详解】（1）解：中，，，，
；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：分情况讨论：
①如图1，当时，过P作于点F，过E作于点G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点E为中点，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴；
②当时，如图2，点Q与B重合，
∴；
综上所述，的长为或5；
（4）解：当与一边垂直时t的值为或，
当时，如下图，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
解得；
当时，如图，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
解得；
∵，
∴与边不垂直，
综上所述，当与一边垂直时t的值为或．
13．
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点E作于，则，，由题意可得，，，，
解求出、，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点E作于，则，，由题意可得，，，，
在中，，，
∴，，
∴，
∴在，，
∴，
∴．
14．(1)
(2)周长最大为，此时点坐标为
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）延长交轴于点，作轴于点，根据抛物线的解析式可得到，，进而求出直线的解析式为，设，则，得到，证明，得到，由，，可推出，即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当点在上方时，过点作交抛物线于点，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而可求出直线的解析式为，联立，即可求解；②当点在下方时，作交轴于点，连接交抛物线于点，可得到是直角三角形，且，，由，，知是等腰直角三角形，得到，进而得到也是等腰直角三角形，推出，求出直线的解析式为，
联立，即可求解．
【详解】（1）解：将、代入抛物线中得：
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）在中，令，则，
解得：或，
，
又，
顶点，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
轴，
，
，
如图，延长交轴于点，作轴于点，即，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
又，
，
当时，有最大值，
周长最大为，此时点坐标为；
（3）存在，理由如下：
①当点在上方时，如图，过点作交抛物线于点，
则，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或（舍去），
；
②当点在下方时，作交轴于点，连接交抛物线于点，
在中，，，，
，
是直角三角形，且，
，
由，，知是等腰直角三角形，
，
又，
，
也是等腰直角三角形，
，，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或（舍去），
，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
15．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查一次函数的应用，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，利用全等及三角函数值得到点的坐标是解决本题第三问的关键，合理构造并使用能解决问题的全等三角形是解决本题的难点．
（1）取代入一次函数解析式可得点的坐标，取代入一次函数解析式可得点的坐标，易证那么，计算可得的长度，即可判断点的坐标；
（2）用含的式子表示出点的坐标，利用勾股定理得到到的长，的长度，根据点是的中点即可得到的长，即可判断出的面积；
（3）点在线段上，判断出点和点的坐标，得到线段的解析式，经过推理可得点的横纵坐标相等，代入的解析式可得点的坐标．
【详解】（1）解：如图，
当时，，
，
当时，，
，
在中，，
，
，
又，
在中，，
，
．
（2）解：如图，过点E作轴于点K，
点E的横坐标为t，且点E在直线上，
，
，，
在中，，
在中，，
点D为线段的中点，
，
．
（3）解：如图，过点C作交的延长线于点L，过点E作轴于点Q，
，，，
，
，，
又，
，
，
，即，
点G为线段的中点，
，
令，则，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
点M在线段上，
设，
令与y轴的交点为W，过点O分别作于点R，交的延长线于点T，过点M分别作轴于点Z，连接，
令，则，，
，
，，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．