2024-2025学年广东省深圳市新安中学（集团）燕川中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市新安中学（集团）燕川中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知方程x24-m+y2m=1表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A. (0,2)B. (0,4)C. (4,+∞)D. (0,2)∪(2,4)
2.已知点A-3,1,5与点B4,3,1，则AB的中点坐标是( )
A. 72,1,-2B. 12,2,3C. -12,3,5D. 13,43,2
3.如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN等于( )
A. 12a-23b+12cB. -23a+12b+12cC. 12a+12b-23cD. 23a+23b-12c
4.直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2x+4y-11=0的位置关系是( )
A. 相离B. 相切C. 相交过圆心D. 相交不过圆心
5.已知平面α的法向量n1=1,2,x，平面β的法向量n2=-2,y,4，若α//β，则x-y=( )
A. -2B. -4C. 2D. 4
6.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，m为任意实数，则直线与圆的位置关系是( )
A. 相切B. 相交C. 相离D. 与m的值有关
7.已知F1,F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且PF1=3PF2，则椭圆E的离心率为( )
A. 102B. 104C. 53D. 56
8.已知点P在圆O:x2+y2=4上，点A-3,0,B0,4，满足AP⊥BP的点P的个数为( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线 3x+3y-3=0的斜率为 33
B. 若直线ax+by+c=0经过第三象限，则ab>0，bcb>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若F1A=10，|AB|=12，则C的离心率为 ．
13.a=-2,1,3,b=-1,2,1，若a⊥a-λb，则实数λ值为 ．
14.已知直线y=k(x+2)与曲线y= 1-x2有公共点，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l过点-1,-1且与圆C:x2+y2+4y+2=0相切．
(1)求直线l的方程；
(2)若圆M与x轴相切，圆心在直线x-2y=0上，且被直线l截得的弦长为2 2，求圆M的标准方程．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．
(1)求点B到平面MNC的距离；
(2)求直线MB与平面BNC所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上的点到其焦点的距离的最大值为10，最小值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C相交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为-3,2，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
在▵ABC中，∠C=90 ∘，BC=3，AC=6，D,E分别是AC，AB上的点，满足DE//BC，且CD=2.将▵ADE沿DE折起到▵A1DE的位置，使A1C⊥CD，存在动点M使A1M=λA1D(λ>0)如图所示．

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；
(2)当λ=12时，求二面角C-MB-E的余弦值；
(3)设直线BM与平面A1BE所成线面角为θ，求sinθ的最大值．
19.(本小题17分)
如图，已知圆M:x2+y2-4x+3=0，点P-1,t为直线l:x=-1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．

(1)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；
(2)求线段AB中点的轨迹方程；
(3)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求ST的最小值．
参考答案
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】CD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】12
13.【答案】2
14.【答案】0, 33
15.【答案】【详解】(1)x2+y2+4y+2=0可化为x2+(y+2)2=2，即圆心为0,-2，半径为 2,
将点-1,-1的坐标代入圆C的方程，成立，则点-1,-1在圆C上，
点-1,-1与点0,-2连线的斜率为-2+10+1=-1，
所以直线l的斜率为1，
故直线l的方程为y+1=x+1，即x-y=0．
(2)设所求圆的圆心坐标为(2t,t)，由于该圆与x轴相切，因此该圆的半径为t，
所以该圆的方程是(x-2t)2+(y-t)2=t2．
因为该圆被直线l截得的弦长为2 2，
所以该圆圆心到直线x-y=0的距离d= |t|2-( 2)2= t2-2，
由t 2= t2-2，解得t=±2．
故圆M的标准方程为(x-4)2+(y-2)2=4或(x+4)2+(y+2)2=4．
16.【答案】【详解】(1)因为PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，
因为M，N分别为DA，DP中点，所以M(12,0,0)，N(0,0,1)，
则MN=(-12,0,1)，MC=(-12,1,0)，MB=(12,1,0)，
设平面MNC的法向量为n=(x,y,z)，
由n⋅MN=0n⋅MC=0，即-12x+z=0-12x+y=0，令x=2，则y=1，z=1，所以n=(2,1,1)，
则MB⋅n=2×12+1×1+1×0=2，|n|= 22+12+12= 6，
根据点B到平面MNC的距离公式d=|MB⋅n||n|=2 6= 63．
(2)首先设平面BNC的法向量m=(a,b,c)，BN=(-1,-1,1)，BC=(-1,0,0)，
由m⋅BN=0m⋅BC=0，即-a-b+c=0-a=0，令c=1，则a=0，b=1，所以m=(0,1,1)，
设直线MB与平面BNC所成角为θ，
则MB⋅m=0×12+1×1+1×0=1，|MB|= (12)2+12= 52，|m|= 02+12+12= 2，
所以sinθ=|MB⋅m||MB||m|=1 52× 2= 105，
因为sin2θ+cs2θ=1，所以csθ= 1-( 105)2= 155，
则直线MB与平面BNC所成角的余弦值 155．
17.【答案】【详解】(1)由题意可知a+c=10a-c=2，则a=6c=4．
因为b2=a2-c2=20，
所以椭圆C的方程为x236+y220=1．
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1236+y1220=1x2236+y2220=1,
两式相减得x12-x2236+y12-y2220=0，
整理可得y1-y2x1-x2=-59×x1+x2y1+y2．
因为线段AB的中点坐标为-3,2，所以x1+x2=-6,y1+y2=4，
所以直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=-59×x1+x2y1+y2=-59×-64=56，
故直线l的方程为y-2=56x+3，即5x-6y+27=0．
直线5x-6y+27=0和x轴的交点为-275,0，
该点在椭圆C内，故直线5x-6y+27=0和椭圆相交，满足条件．

18.【答案】【详解】(1)因为∠C=90 ∘，则AC⊥BC，
且DE//BC，可得AC⊥DE，
将▵ADE沿DE折起到▵A1DE的位置，始终有DE⊥A1D，DE⊥CD，
因为A1D∩CD=D，A1D,CD⊂平面A1CD，所以DE⊥平面A1CD，
由A1C⊂平面A1CD，可得DE⊥A1C，
且A1C⊥CD，CD∩DE=D，CD,DE⊂平面BCDE，
所以A1C⊥平面BCDE．
(2)由(1)可知，A1C，CD，CB两两垂直，翻折前，因为DE//BC，且CD=2，
所以AD=4，DEBC=ADAC=46=23，所以DE=23BC=2，
翻折后A1D=4，
由勾股定理得A1C= A1D2-CD2= 42-22=2 3，
所以以C为原点，直线CD，CB，CA1分别为x，y，z轴建立如下空间直角坐标系，

则C0,0,0，A10,0,2 3，D2,0,0，M1,0, 3，B0,3,0，E2,2,0，
可得CM=1,0, 3，MB=-1,3,- 3，BE=2,-1,0，
设平面BMC的法向量m=x1,y1,z1，则m⋅CM=x1+ 3z1=0m⋅MB=-x1+3y1- 3z1=0,
令z1=1，则x1=- 3，y1=0，可得m=- 3,0,1，
设平面BME的法向量n=x2,y2,z2，则n⋅MB=-x2+3y2- 3z2=0n⋅BE=2x2-y2=0,
令x2=1，则y2=2，z2=5 3，可得n=1,2,5 3，
可得csm,n=m⋅nm⋅n=23 32×2 10 3=12 10= 1020，
所以二面角C-MB-E的余弦值为 1020．
(3)由(2)可知BA1=0,-3,2 3，BE=2,-1,0，A1D=2,0,-2 3
设平面A1BE的法向量p=x3,y3,z3，则p⋅BA1=-3y3+2 3z3=0p⋅BE=2x3-y3=0,
令x3=1，则y3=2，z3= 3，可得p=1,2, 3，
且BM=BA1+λA1D=0,-3,2 3+λ2,0,-2 3=2λ,-3,2 3-2 3λ，
因为直线BM与平面A1BE线面角为θ，
则sinθ=csp,BM=p⋅BMp⋅BM
=4λ2 2× 16λ2-24λ+21= 2 21λ2-24λ+16= 2 211λ-472+647≤ 148
当且仅当λ=74时，等号成立，
所以sinθ的最大值为 148．

19.【答案】【详解】(1)圆M:x2+y2-4x+3=0即x-22+y2=1，则M2,0，半径r=1，
所以PM= 9+t2，AM=1，则PA2=PM2-AM2=t2+8，
故以P为圆心，PA为半径的圆P的方程为(x+1)2+(y-t)2=t2+8，
显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，
所以直线AB的方程为(x+1)2-(x-2)2+(y-t)2-y2=t2+8-1，即3x-ty-5=0，
令3x-5=0-y=0，解得x=53y=0，所以直线AB过定点53,0；
(2)因为直线AB过定点53,0，AB的中点为直线AB与直线MP的交点，
设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，
易知HF始终垂直于FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆，
又H53,0，M2,0，故该圆圆心116,0，半径为2-116=16，且不经过M2,0．
∴点F的轨迹方程为x-1162+y2=136x≠2，即线段AB中点的轨迹方程为x-1162+y2=136x≠2；

(3)设切线方程为y-t=kx+1，即kx-y+k+t=0，
故M2,0到直线kx-y+k+t=0的距离d=3k+t k2+1=1，即8k2+6kt+t2-1=0，
设PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=-3t4，k1k2=t2-18，
把x=0代入kx-y+k+t=0，得y=k+t，
则ST=k1+t-k2+t=k1-k2= (k1+k2)2-4k1k2= 9t216-t2-12= t2+84，
故当t=0时，ST取得最小值为 22．