（人教A版）必修一高一数学上学期第4章 指数函数与对数函数 章末重难点归纳总结（2份，原卷版+解析版）

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第4章 指数函数与对数函数 章末重难点归纳总结 重点一 指数对数的运算 【例1】化简与求值： (1) (2). (3). (4) 【答案】(1); (2). (3)；(4) 【解析】（1）原式. （2）原式. （3） ； （4） 【一隅三反】 1．计算： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)． 【答案】(1)0 (2)3 (3)1 (4)7 (5) 【解析】（1）方法一：（直接运算）原式． 方法二：（拆项后运算）原式 ． （2）原式． （3）原式 ． （4）原式； （5）原式． 2．计算下列各式的值： (1)已知，求：． (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为，而， 所以，所以． （2）原． 3．（1）计算：________； （2）化简：________． 【答案】          【解析】（1） ． （2）原式．故答案为:， 重点二 指数函数 【例2】已知函数是定义在上的奇函数． (1)求a的值； (2)求函数的值域； (3)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 当时，，此时，所以时，是奇函数. 所以； （2）由（1）可得， 因为，可得，所以，所以，所以， 所以函数的值域为； （3）由可得， 即，可得对于恒成立， 令，则， 函数在区间单调递增，所以，所以， 所以实数m的取值范围为． 【一隅三反】 1．已知函数（且）为定义在上的奇函数. (1)利用单调性的定义证明函数在上单调递增； (2)求不等式的解集. (3)若函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析；(2)(3) 【解析】（1）由题意得：，解得：，， 任取，且，则因为，且，所以，， 所以，故所以函数在上单调递增； （2），即， 因为为定义在上的奇函数，所以， 因为为定义在上单调递增，所以，解得：或， 所以解集为：； （3）有零点， 当时，，没有零点，不合题意，舍去； 当时，即有根， 其中当时，，，， 故， 又因为在R上为奇函数， 所以当时，，且， 所以在R上的值域为，故，解得：， 所以实数的取值范围为. 2．已知函数（为常数，，且）的图象经过点，． (1)试确定函数的解析式； (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为函数的图象经过点和， 可得，结合，且，解得，所以函数的解析式为． （2）要使在区间上恒成立， 只需保证函数在区间上的最小值不小于即可， 因为函数在区间上单调递减， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以只需即可，即实数的取值范围为． 3．已知定义域为R的函数 是奇函数. (1)求a、b的值； (2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数; (3)若对于任意R，不等式恒成立，求k的范围 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由已知，， ， ，，所以，解得， ，此时定义域是R，，为奇函数． 所以，； （2）由（1）， 设任意两个实数，，则， ，所以，即，所以是减函数； （3）不等式化为， 是奇函数，则有，是减函数，所以， 所以恒成立，易知的最小值是，所以． 重点三 对数函数 【例3】已知函数的图象关于原点对称． (1)求a的值； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】(1)函数的图象关于原点对称， 则函数为奇函数，有， 即，即，即解得，当时，不满足题意，∴． (2)由，得，即， 令，易知在上单调递减， 则的最大值为．又∵当时，恒成立， 即在恒成立，且，∴，，即实数k的取值范围为． 【一隅三反】 1．已知函数． (1)若函数的定义域为，求实数的值； (2)若函数的定义域为，值域为，求实数的值； (3)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)实数的值为1或(3) 【解析】（1）令，则由题意可知1，3为方程的两个根， 所以函数的图像的对称轴方程为，即． （2）由题意，对于方程，，即， 由函数的值域为，可得当时，，解得或． 故实数的值为1或． （3）函数在上单调递增，则在上单调递减． 易知函数的图像的对称轴为直线，所以． 易知在时取得最小值， 当时，有，得， 所以实数的取值范围是． 2．已知函数（且），，． (1)求函数的解析式； (2)请从①，②，③这三个条件中选择一个作为函数的解析式，指出函数的奇偶性，并证明． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【解析】（1）依题意，，，而且，解得， 所以函数. （2）选择①，，则有，解得，即的定义域为， 又， 所以函数是定义在上的奇函数． 选择②， ，则有，解得，即的定义域为， 又， 所以函数是定义在上的奇函数．     选择③， ，则有，解得，即的定义域为， 又， 所以函数是定义在上的偶函数． 3．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数． (1)求的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）因为函数的图象关于原点对称， 所以，即， 所以恒成立，所以恒成立， 即恒成立，即恒成立，所以，解得， 又时，无意义，故． （2）因为时，恒成立，所以恒成立， 所以在上恒成立， 因为是减函数，所以当时，， 所以，所以实数的取值范围是． （3）因为在上单调递增，在上单调递减， 因为关于的方程在上有解，所以即 解得，所以实数的取值范围是． 重难点四 零点定理 【例4-1】函数的一个零点为1，则其另一个零点为______． 【答案】 【解析】解法一：因为函数的一个零点为1， 将代入得，解得．所以． 令，解得，，所以函数的另一个零点为． 解法二：由函数的一个零点为1，可得方程的一个根为1，根据根与系数的关系可得，所以另一个根为．故函数的另一个零点为． 故答案为：. 【例4-2】方程的根所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，显然单调递增，又因为，，由零点存在性定理可知：的零点所在区间为， 所以的根所在区间为.故选：B 【例4-3】函数在区间上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】函数在上零点的个数即方程在上解的个数， 方程化简可得，所以方程方程的解的个数为函数与函数的图象交点的个数，其中，在同一坐标系中作出函数与函数的图象如图所示，由图可知在区间上，两函数图象有4个交点，故函数在区间上的零点个数为4，故选：C． 【例4-4】已知函数（），若函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】有三个零点与的图象有三个交点.因为，所以当时，，得或，所以与的图象有两个交点，则当时，与的图象有1个交点.当时，令，得，所以符合题意； 令，得，所以符合题意. 综上，实数的取值范围是.故选：A. 【一隅三反】 1．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为上的单调递增函数，所以为上的单调递增函数，因为，，， 由零点存在定理，上必有唯一零点.故选：B． 2．函数在区间上的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，， 令，得，，，，在上的零点为故选：B 3．若函数恰有个零点，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为时至多有一个零点，单调函数至多一个零点， 而函数恰有个零点，所以需满足有1个零点，有1个零点，所以，解得，故选：D 4．已知函数，若函数无零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则的解为：，由题意可知：无解， 又，即，又，即，解得：．故选：A. 5．函数的零点个数为________． 【答案】1 【解析】解法一：令，可得方程，即，故原函数的零点个数即为函数与图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）． 由图可知，函数与的图象只有一个交点，故函数只有一个零点， 故答案为：1 解法二：∵，，∴， 又的图象在上是不间断的，∴在上必有零点， 又在上是单调递增的，∴函数的零点有且只有一个，故答案为：1 6．已知函数若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】 【解析】作出函数的图像和直线，如图所示: 由图可知，当时，函数的图像和直线有三个交点，所以． 故答案为：或.