第四单元多边形的面积·几何模型篇·等高模型【六大考点】五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

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2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第四单元多边形的面积·几何模型篇·等高模型【六大考点】 【第一篇】专题解读篇 【第二篇】目录导航篇 TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc27003" 【考点一】等高模型问题一：基础应用  PAGEREF _Toc27003 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc10042" 【考点二】等高模型问题二：进阶应用  PAGEREF _Toc10042 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc9752" 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点）  PAGEREF _Toc9752 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc19554" 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点）  PAGEREF _Toc19554 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc20294" 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分）  PAGEREF _Toc20294 \h 10  HYPERLINK \l "_Toc2565" 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用  PAGEREF _Toc2565 \h 12  【第三篇】典型例题篇 【考点一】等高模型问题一：基础应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长，三角形ABC底边BC边上的高AE长9厘米。 （1）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ （2）求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 【对应练习】 如图，求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的几倍？三角形ABC的面积是三角形ADC面积的几倍？ 【考点二】等高模型问题二：进阶应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，CD=2BD，S△ABD=20cm2，求S△ABC。 【对应练习】 如图，在△ABC中，AD=2cm，CD=3cm，已知S△ABD=12cm2，求S△ABC。 【考点三】等高模型问题三：利用中点构建多个等高模型（中点）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知S△ABC=12cm2，求S△DEC 【对应练习1】 如图，在△ABC中，BD=CD，AE=CE，已知S△ABC=8cm2，求S△ADE 【对应练习2】 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，已知S△BDE=8cm2， 求S△ABC. 【对应练习3】 如图，在△ABC中，BD=CD，DE⊥AB，BE=DE，AB=9cm，S△ABC=36cm2， 求S△ADE. 【考点四】等高模型问题四：利用三等分点构建多个等高模型（三等分点）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，AD=CD，AE=3BE，已知S△ABC=144cm2，求S△BDE. 【对应练习1】 如图，在△ABC中，AD=CD，BE=3AE，已知S△BDE=24cm2，求S△ABC. 【对应练习2】 如图，在△ABC中，AD:CD=3:1，AE:BE=3:1，已知S△ABC=48cm2，求S△BDE. 【对应练习3】 如图，在△ABC中，CD=2BD，CE=3AE，已知S△ADE=6cm2，求S△ABC. 【考点五】等高模型问题五：多个等高模型的应用（多次等分）。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 已知三角形ABC的面积为60平方厘米，D为BC中点，AE＝2ED，F为EC的四等分点中靠近C的一点，那么阴影三角形AEF的面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 将任意一个三角形的面积四等分，你有几种方法？ 【对应练习2】 将任意一个三角形的面积五等分，你能找到两种方法吗？请你在下面图（1）、（2）中试试。还有第三种、第四种方法吗！如果有，可以在图（2）旁边画画看。 【对应练习3】 如图，在三角形ABC中，D是边AB的中点，可知AD＝BD，则三角形BCD与三角形ACD的面积相等。 (1)如图①，在三角形ABC中，D、E分别是AB和AC两边的中点。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是( )cm2。 (2)如图②，在三角形ABC中，把AB边三等分、AC边四等分。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是( )cm2。 (3)如图③，在平行四边形ABCD中，把AB边五等分、AD边六等分。已知平行四边形ABCD的面积是15cm2，则三角形AEF的面积是( )cm2。 【考点六】等高模型问题六：等高模型在分割图形中的应用。 【方法点拨】 1. 等高模型。 两个三角形共用一个顶点，底边在同一条直线上，这两条底边对应的高相等，因此，这个模型被称为“等高模型”。 2. 解题方法与原理。 三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2，从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 （1）等底等高的两个三角形面积相等（等积模型）。 （2）若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形底的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （3）若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形高的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 例：如图，如果DC＝2BD，则三角形ADC的面积等于三角形ABD的2倍。 【典型例题】 如图，在△ABC中，已知AB=12cm，AC=15cm，用折线把△ABC分割成面积相等的6个三角形，求出AG+AH。 【对应练习1】 如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，用折线把△ABC分割成4个面积相等4小三角形，求BE+BF。 【对应练习2】 如图，在△ABC的边长都是24cm，用折线把△ABC分割成4个面积相等4小三角形，求BE+AF。 【对应练习3】 如图，在△ABC中，已知AB=BC=60cm，用折线把△ABC分成面积相等的5个三角形，求出BF+BG。 专题名称第四单元多边形的面积·几何模型篇·等高模型专题内容本专题以等高模型为主，其中包括六种常见问题。总体评价讲解建议几何模型篇是用来专门总结小学数学几何模型的特别篇章，其中大多数涉及奥数思维拓展内容，综合性极强，难度极大，因此，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。考点数量六个考点。