2025-2026学年北京市顺义牛栏山第一中学板桥学校高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年北京市顺义牛栏山第一中学板桥学校高二上学期期中考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1．以为圆心，4为半径的圆的方程为
A．B．
C．D．
2．在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知空间向量，，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
4．与直线关于y轴对称的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．若曲线上相异两点P，Q关于直线对称，则k的值为（ ）
A．1B．C．D．2
7．已知直线l经过点，平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．
C．D．l与相交，但不垂直
8．直线，则“或”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知直线:被圆 C 截得的弦长为 则点与圆上点的距离最大值为 （ ）
A．B．C．2D．4
10．如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点Q，使得B．存在点Q，使得平面
C．三棱锥的体积是定值D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11．已知点和，则等于 ．
12．若,,,则 .
13．若直线过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 ．
14．由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 ．
15．设，过定点M的直线与过定点N的直线相交于点P，线段AB是圆的一条动弦，且，给出下列四个结论：
①一定垂直
②的最大值为4
③点P的轨迹方程为
④的最小值为
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.
(1)试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；
(2)已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点F．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
(3)求二面角的大小．
18．已知圆C过点和点，且圆心在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l过点，当直线与圆C相切时，求直线的方程．
19．如图，在三棱锥中，底面，，H为的中点，M为的中点，，．

(1)求证：面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)设点N在线段上，且，平面，求实数的值．
20．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
21．已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为.
①求的方程，并说明是什么图形；
②试探究：在直线上是否存在定点(异于原点)，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.
参考答案
11．
12．
13．或
14．
15．①②
16．
（1）由题意得，解得，
所以100名志愿者的平均年龄为岁，
因为，
，
所以第75百分位数位于[50,60）内，设第75百分位数为x，
则，解得，
所以第75百分位数为52.5
（2）医疗组抽取人数为人，设为a，b，则服务组抽取5-2=3人，设为A、B、C，
5人中选取3人组成综合组，情况可能为
，共10种，
至少有1人来自医疗组的情况为，共9种，
所以综合组中至少有1人来自医疗组的概率
17．
（1）连接，交于点，连接，如图：
因为底面为正方形，所以为中点，又为中点，
所以，平面，平面，所以平面.
（2）因为.
因为平面，平面，所以.
又底面为正方形，所以，平面，，
所以平面.
因为平面，所以.
在中，，，所以.
设到平面的距离为，则，又.
所以.
（3）因为平面，平面，所以.
又为等腰直角三角形，，为中点，所以.
平面，，所以平面.
因为平面，所以.
又，平面，，所以平面.
又平面，所以.
所以为二面角的平面角.
在中，由，
所以，
所以.
在中，，，，所以，
所以.
即二面角为.
18．
（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆C上，
得，即，
解得，即，圆C的半径，
所以圆C的方程是．
（2）若直线的斜率不存在，则，
圆心到直线的距离为半径，故直线为圆的切线．
若直线的斜率存在，设切线方程为，
则，解得，此时切线方程为．
综上，直线l的方程为或．
19．
（1）证明：∵底面，底面，∴，
又， ，∴面，
又面，∴，
∵H为PC的中点，且，∴，
又，∴面PBC；
（2）如图，

以A为坐标原点，过A平行于CB的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面AHB的一个法向量为，
则由得，取，则，
得，
∴PM与平面AHB所成角的正弦值为
；
（3）设，
由，得，即
解得：，则．
∵平面，底面，有，
，，解得，
∴平面时实数λ的值为.
20．
（1）证明：
直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B（0，1＋2k）．
又且1＋2k＞0，
∴k＞0．
故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
21．
（1）设圆心，则由圆与轴正半轴相切，可得半径.
∵圆心到直线的距离，由，解得.
故圆心为或，半径等于.
∵圆与轴正半轴相切
圆心只能为
故圆的方程为；
（2）①设，则：，，
∵点A在圆上运动
即：
所以点的轨迹方程为，
它是一个以为圆心，以为半径的圆；
②假设存在一点满足（其中为常数）
设，则：
整理化简得：，
∵在轨迹上，
化简得：，
所以
整理得
，
解得：；
存在满足题目条件.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
C
D
D
B
B
A
B