第25讲　平面向量的基本定理与坐标表示高考数学一轮复习讲义练习

这是一份第25讲　平面向量的基本定理与坐标表示高考数学一轮复习讲义练习，共15页。
激活思维
1. (人A必二P60习题T6)在下列各组向量中，可以作为基底的是( B )
A. e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B. e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C. e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D. e1＝(2，－3)，e2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
【解析】 对于A，因为零向量与任何向量平行，所以选项A中的两个向量不可以作为基底；对于B，e1＝(－1，2)与e2＝(5，7)对应坐标不成比例，两向量不共线，可以作为基底；对于C，e1＝(3，5)，e2＝(6，10)，e1＝ eq \f(1,2)e2，两向量共线，不可以作为基底；对于D，e1＝(2，－3)，e2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))，e1＝4e2，两向量共线，不可以作为基底．
2. (人A必二P27练习T1改)在△ABC中，已知AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 eq \(EB,\s\up6(→))＝( A )
A. eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→)) B. eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(3,4) eq \(AC,\s\up6(→))
C. eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→)) D. eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(AC,\s\up6(→))
【解析】 由题意知 eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4)( eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→))，则 eq \(EB,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→)).
3. (人A必二P33练习T2)当x＝_－4_时，a＝(2，3)与b＝(x，－6)共线．
【解析】 因为a＝(2，3)，b＝(x，－6)，a∥b，所以2×(－6)－3x＝0，解得x＝－4，所以当x＝－4时，a与b共线．
4. (人A必二P33练习T1)已知a＝(3，2)，b＝(0，－1)，则－2a＋4b＝_(－6，－8)_，4a＋3b＝_(12，5)_．
【解析】 因为a＝(3，2)，b＝(0，－1)，所以－2a＋4b＝－2(3，2)＋4(0，－1)＝(－6，－4)＋(0，－4)＝(－6，－8)，4a＋3b＝4(3，2)＋3(0，－1)＝(12，8)＋(0，－3)＝(12，5).
5. (人A必二P33练习T5)已知点O(0，0)，向量 eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，3)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标为_ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(14,3)，－1))或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，1))_．
【解析】 因为 eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，3)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝(4，－6).因为点P是线段AB的三等分点，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－2))或 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，－4))，所以 eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，1))或 eq \(OP,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，3)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，－4))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(14,3)，－1))，故点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(14,3)，－1))或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，1)).
聚焦知识
1. 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足_a＝λ1e1＋λ2e2_，我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底．
2. 向量的坐标运算
(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝_(x1－x2，y1－y2)_，λa＝_(λx1，λy1)_，|a|＝ eq \r(x eq \\al(2,1)＋y eq \\al(2,1)).
(2) 向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，| eq \(AB,\s\up6(→))|＝_ eq \r((x2－x1)2＋(y2－y1)2)_．
3. 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a，b共线⇔_x1y2＝x2y1_．
4. “爪形三角形”
在△ABC中，D是BC上的点，且 eq \(BD,\s\up6(→))＝λ eq \(BC,\s\up6(→))，则 eq \(AD,\s\up6(→))＝λ eq \(AC,\s\up6(→))＋(1－λ) eq \(AB,\s\up6(→)).特别地，若D为线段BC的中点，则 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)).
*5. 奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB· eq \(PC,\s\up6(→))＝0.

研题型 素养养成
举题说法
平面向量基本定理的应用
例1 (1) (2024·益阳一模)在平行四边形ABCD中， eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AE,\s\up6(→))，若 eq \(AF,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AD,\s\up6(→))，则m＋n＝( B )
A. eq \f(1,3)B. eq \f(1,2)
C. eq \f(5,6)D. 1
【解析】 如图，因为 eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))))＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,6) eq \(AD,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AD,\s\up6(→))，所以m＝ eq \f(1,3)，n＝ eq \f(1,6)，所以m＋n＝ eq \f(1,2).
(例1(1)答)
(2) (2025·无锡期中)在△ABC中，已知BC＝3，AC＝1，∠ACB＝60°，D是BC的中点，E是线段AD上一点，且AE＝ eq \f(1,3)AD，连接CE并延长交边AB于点P，则线段CP的长为( B )
A. eq \f(7,5)B. eq \f(\r(37),5)
C. eq \f(6,5)D. eq \f(\r(35),5)
【解析】 如图，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝λ eq \(AP,\s\up6(→))，则 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AC,\s\up6(→))))＝ eq \f(λ,6) eq \(AP,\s\up6(→))＋ eq \f(1,6) eq \(AC,\s\up6(→)).因为P，E，C三点共线，所以 eq \f(λ,6)＋ eq \f(1,6)＝1，得λ＝5，即 eq \(AB,\s\up6(→))＝5 eq \(AP,\s\up6(→))， eq \(CP,\s\up6(→))＝ eq \f(4,5) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,5) eq \(CB,\s\up6(→))，两边平方得 eq \(CP,\s\up6(→))2＝ eq \f(16,25) eq \(CA,\s\up6(→))2＋ eq \f(1,25) eq \(CB,\s\up6(→))2＋ eq \f(8,25) eq \(CA,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \f(16,25)＋ eq \f(9,25)＋ eq \f(8,25)×1×3× eq \f(1,2)＝ eq \f(37,25)，所以CP＝ eq \f(\r(37),5).
(例1(2)答)
(1) 选定基底后，根据向量的加、减、数乘运算法则以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2) 强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
变式1 (1) (多选)已知等腰梯形ABCD满足AB∥CD，AC与BD交于点P，且AB＝2CD＝2BC，则( AC )
A. eq \(AP,\s\up6(→))＝2 eq \(PC,\s\up6(→))
B. | eq \(AP,\s\up6(→))|＝3| eq \(PD,\s\up6(→))|
C. eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))
D. eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))
【解析】 如图，因为AB∥CD，且AC与BD交于点P，所以△APB∽△CPD.又AB＝2CD＝2BC，则 eq \f(AB,CD)＝ eq \f(AP,PC)＝ eq \f(PB,PD)＝2，即AP＝2PC，PB＝2PD，则 eq \(AP,\s\up6(→))＝2 eq \(PC,\s\up6(→))，故A正确；又四边形ABCD是等腰梯形，故AP＝PB，即| eq \(AP,\s\up6(→))|＝2| eq \(PD,\s\up6(→))|，故B错误；由PB＝2PD，则 eq \(DP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(DB,\s\up6(→))， eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DP,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(DB,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→)))＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))，故C正确； eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2) eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))，故D错误．
(变式1(1)答)
(2) 在正六边形ABCDEF中，用 eq \(AC,\s\up6(→))和 eq \(AE,\s\up6(→))表示 eq \(CD,\s\up6(→))，则 eq \(CD,\s\up6(→))＝( B )
A. － eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AE,\s\up6(→))B. － eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AE,\s\up6(→))
C. － eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AE,\s\up6(→))D. － eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AE,\s\up6(→))
【解析】 设正六边形的边长为2，如图，设AD与EC交于点O，则有OD＝1，AO＝3，所以 eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(CO,\s\up6(→))＋ eq \(OD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AE,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,6)( eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(AE,\s\up6(→)))＝－ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AE,\s\up6(→)).
(变式1(2)答)
向量的坐标表示及运算
例2 (1) 已知点A(－1，0)，B(3，－1)，C(1，2)， eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))，求点E，F及向量 eq \(EF,\s\up6(→))的坐标．
【解答】 设点E(a，b)， eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))，即(a＋1，b)＝ eq \f(1,3)(2，2)，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(2,3)，))故E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3))).设点F(c，d)， eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))，即(c－3，d＋1)＝ eq \f(1,3)(－2，3)，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝\f(7,3)，,d＝0，))故F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，0))， eq \(EF,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，－\f(2,3))).
(2) 在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图所示，已知|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标．
(例2(2))
【解答】设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2).由于∠AOx＝45°，所以a1＝|a|cs 45°＝4× eq \f(\r(2),2)＝2 eq \r(2)，a2＝|a|sin 45°＝4× eq \f(\r(2),2)＝2 eq \r(2).由已知可以求得向量b的方向相对于x轴正方向逆时针转角120°，所以b1＝|b|cs 120°＝3× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－ eq \f(3,2)，b2＝|b|sin 120°＝3× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(3\r(3),2).故a＝(2 eq \r(2)，2 eq \r(2))，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).
(1) 利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2) 解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
变式2 已知A(－1，0)，B(0，2)，C(－3，1)， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝5， eq \(AD,\s\up6(→))2＝10.
(1) 求点D的坐标；
【解答】 设D(x，y)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，2)， eq \(AD,\s\up6(→))＝(x＋1，y).由题得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·\(AD,\s\up6(→))＝x＋1＋2y＝5，,\(AD,\s\up6(→))2＝(x＋1)2＋y2＝10，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝4，,(x＋1)2＋y2＝10，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))所以点D的坐标为(－2，3)或(2，1).
(2) 若点D在第二象限，试用 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))表示 eq \(AC,\s\up6(→))；
【解答】 因为点D在第二象限，所以D(－2，3)，所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1，3).因为 eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，1)，设 eq \(AC,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AD,\s\up6(→))，则(－2，1)＝m(1，2)＋n(－1，3)，即有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＝m－n，,1＝2m＋3n，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝1，))所以 eq \(AC,\s\up6(→))＝－ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)).
(3) 设 eq \(AE,\s\up6(→))＝(m，2)，若(3 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))⊥ eq \(AE,\s\up6(→))，求 eq \(AE,\s\up6(→))的坐标．
【解答】 因为3 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝3(1，2)＋(－2，1)＝(1，7)， eq \(AE,\s\up6(→))＝(m，2)，(3 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))⊥ eq \(AE,\s\up6(→))，所以(3 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))· eq \(AE,\s\up6(→))＝0，即m＋14＝0，解得m＝－14，所以 eq \(AE,\s\up6(→))＝(－14，2).
向量共线的坐标表示
例3 (1) (2024·秦皇岛二模)已知向量a＝(m，2m＋3)，b＝(1，4m＋1)，则“m＝－ eq \f(3,4)”是“a与b共线”的( A )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【解析】 若a与b共线，则m(4m＋1)－(2m＋3)＝0，解得m＝－ eq \f(3,4)或m＝1，所以“m＝－ eq \f(3,4)”是“a与b共线”的充分不必要条件．
(2) 如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC和OB的交点P的坐标为_(3，3)_．
(例3(2))
【解析】 因为 eq \(OP,\s\up6(→))与 eq \(OB,\s\up6(→))共线，故设 eq \(OP,\s\up6(→))＝λ eq \(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，则 eq \(AP,\s\up6(→))＝(4λ－4，4λ)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(2－4，6－0)＝(－2，6).由 eq \(AP,\s\up6(→))与 eq \(AC,\s\up6(→))共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝ eq \f(3,4)，所以 eq \(OP,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)＝(3，3).故点P的坐标是(3，3).
两平面向量共线的充要条件有两种形式：
(1) 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2) 若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
变式3 (1) (2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则( C )
A. “x＝－3”是“a⊥b”的必要条件
B. “x＝－3”是“a∥b”的必要条件
C. “x＝0”是“a⊥b”的充分条件
D. “x＝－1＋ eq \r(3)”是“a∥b”的充分条件
【解析】 对于A，当a⊥b时，a·b＝0，所以 x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，所以必要性不成立，故A错误；对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于B，当a∥b时，2(x＋1)＝x2，解得x＝1± eq \r(3)，即必要性不成立，故B错误；对于D，当x＝－1＋ eq \r(3)时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．
(2) 设向量 eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)， eq \(OC,\s\up6(→))＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0.若A，B，C三点共线，则 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)的最小值为( D )
A. 4B. 6
C. 8D. 9
【解析】 因为 eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)， eq \(OC,\s\up6(→))＝(－b，0)，所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝(a－1，1)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(－b－1，2).又因为A，B，C三点共线，所以 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))共线，即2(a－1)＋(b＋1)＝0，得2a＋b＝1.又因为a＞0，b＞0，所以 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(2a＋b)＝ eq \f(2b,a)＋ eq \f(2a,b)＋5≥9，当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(a,b)，即a＝b＝ eq \f(1,3)时等号成立，所以 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)的最小值为9.
随堂内化
1. (人A必二P30例5改编)已知▱ABCD的三个顶点为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为( B )
A. (1，4)B. (1，5)
C. (2，4)D. (2，5)
【解析】 设D(x，y)，则由 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5，))故D(1，5).
2. (2025·南通海安期中)在▱ABCD中， eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(BN,\s\up6(→))＝2 eq \(NC,\s\up6(→))， eq \(AP,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋(1－x) eq \(AD,\s\up6(→))，x∈R.若AP∥MN，则x＝( C )
A. eq \f(1,7)B. eq \f(2,7)
C. eq \f(3,7)D. eq \f(4,7)
【解析】 如图，因为 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(BN,\s\up6(→))＝2 eq \(NC,\s\up6(→))，所以 eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \(BN,\s\up6(→))－ eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))，又AP∥MN，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝λ eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)λ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)λ eq \(AD,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋(1－x) eq \(AD,\s\up6(→))，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)λ，,1－x＝\f(2,3)λ，))解得λ＝ eq \f(6,7)，x＝ eq \f(3,7).
(第2题答)
3. (2024·武汉2月调研)(多选)已知向量a＝(cs θ，sin θ)，b＝(－3，4)，则下列命题为真命题的是( ACD )
A. 若a∥b，则tan θ＝－ eq \f(4,3)
B. 若a⊥b，则sin θ＝ eq \f(3,5)
C. |a－b|的最大值为6
D. 若a·(a－b)＝0，则|a－b|＝2 eq \r(6)
【解析】 对于A，因为a＝(cs θ，sin θ)，b＝(－3，4)，a∥b，则4cs θ＝－3sin θ，解得tan θ＝－ eq \f(4,3)，故A正确；对于B，因为a⊥b，则－3cs θ＋4sin θ＝0，解得tan θ＝ eq \f(3,4)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1( eq \f(sin θ,cs θ)＝ eq \f(3,4)，, sin2θ＋cs2θ＝1，))解得sin θ＝± eq \f(3,5)，故B错误；对于C，因为|a|＝ eq \r(cs2θ＋sin2θ)＝1，|b|＝ eq \r((－3)2＋42)＝5，而|a－b|≤|a|＋|b|＝6，当且仅当a，b反向时等号成立，此时 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4csθ＝－3sin θ，, sin2θ＋cs2θ＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝－\f(4,5)，,cs θ＝\f(3,5)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(4,5)，,cs θ＝－\f(3,5)．))当sin θ＝ eq \f(4,5)，cs θ＝－ eq \f(3,5)时，a，b同向，舍去；当sin θ＝－ eq \f(4,5)，cs θ＝ eq \f(3,5)时，满足a，b反向，故C正确；对于D，若a·(a－b)＝0，则a2－a·b＝0，即cs2θ＋sin2θ＋3csθ－4sin θ＝0，所以4sin θ－3cs θ＝1，则|a－b|＝ eq \r((cs θ＋3)2＋(sin θ－4)2)＝ eq \r(6cs θ－8sin θ＋26)＝ eq \r(－2(4sin θ－3cs θ)＋26)＝ eq \r(24)＝2 eq \r(6)，故D正确．
4. (2024·北京三模)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则 eq \f(λ,μ)＝_－4_．
(第4题)
【解析】 根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(0，4)－(1，6)＝(－1，－2)，b＝(7，2)－(1，6)＝(6，－4)，c＝(2，0)－(7，2)＝(－5，－2)，所以λa＋μb＝λ(－1，－2)＋μ(6，－4)＝(－λ＋6μ，－2λ－4μ).因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以(－5，－2)＝(－λ＋6μ，－2λ－4μ)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－λ＋6μ＝－5，,－2λ－4μ＝－2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2，,μ＝－\f(1,2)，))所以 eq \f(λ,μ)＝－4.
(第4题答)
练案❶ 趁热打铁，事半功倍．请老师布置同学们及时完成《配套精练》．
练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(提高版)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．
2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考增分提速天天练》(提高版)，成书可向当地发行咨询购买．
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
1. 已知四边形ABCD是平行四边形， eq \(AE,\s\up6(→))＝3 eq \(EB,\s\up6(→))，若 eq \(EC,\s\up6(→))＝a eq \(AB,\s\up6(→))＋b eq \(AD,\s\up6(→))(a，b∈R)，则a＋b＝( C )
A. eq \f(1,2) B. eq \f(3,4)
C. eq \f(5,4) D. eq \f(3,2)
【解析】 如图，因为 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(EB,\s\up6(→))＝3 eq \(EB,\s\up6(→))，所以 eq \(EB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))，所以 eq \(EC,\s\up6(→))＝ eq \(EB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))，所以a＝ eq \f(1,4)，b＝1，故a＋b＝ eq \f(5,4).
(第1题答)
2. (2025·苏州期初)已知向量a＝(1，－1)，b＝(x－2，x2)，则“x＝－2”是“a∥b”的( A )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【解析】 由a＝(1，－1)，b＝(x－2，x2)，若a∥b，则x2＝2－x，解得x＝－2或x＝1，故“x＝－2”是“a∥b”的充分不必要条件．
3. (2024·湖南模拟)已知λ∈R，平面向量a＝(λ，－1)，b＝(2，λ)，则|a＋b|的最小值为( A )
A. eq \f(3\r(2),2) B. eq \r(3)
C. eq \r(2) D. eq \f(\r(3),2)
【解析】 易知a＋b＝(λ＋2，λ－1)，故|a＋b|2＝(λ＋2)2＋(λ－1)2＝2λ2＋2λ＋5＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(9,2)，当λ＝－ eq \f(1,2)时，|a＋b|最小，此时|a＋b|＝ eq \f(3\r(2),2)，故|a＋b|的最小值为 eq \f(3\r(2),2).
4. (2024·漳州三检)在△ABC中，D是边BC上一点，且BD＝2DC，E是AC的中点，记 eq \(AC,\s\up6(→))＝m， eq \(AD,\s\up6(→))＝n，则 eq \(BE,\s\up6(→))＝( D )
A. eq \f(5,3)n－3m B. eq \f(7,2)n－3m
C. eq \f(7,2)m－3n D. eq \f(5,2)m－3n
【解析】 如图， eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))－( eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→)))＝－ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))－3 eq \(CD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))－3( eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→)))＝ eq \f(5,2) eq \(AC,\s\up6(→))－3 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(5,2)m－3n.
(第4题答)
二、 多项选择题
5. 在等边三角形ABC中， eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(EC,\s\up6(→))＝2 eq \(AE,\s\up6(→))，AD与BE交于点F，则下列结论正确的是( AC )
A. eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))) B. eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(BA,\s\up6(→))
C. eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) D. eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))
【解析】 由于 eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))，故A正确．由 eq \(EC,\s\up6(→))＝2 eq \(AE,\s\up6(→))，得 eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CE,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(CA,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)( eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(BA,\s\up6(→))，故B错误．由于E，F，B三点共线，所以 eq \(AF,\s\up6(→))＝λ eq \(AE,\s\up6(→))＋(1－λ) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)λ eq \(AC,\s\up6(→))＋(1－λ) eq \(AB,\s\up6(→))，且 eq \(AF,\s\up6(→))＝x eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)x( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)x· eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)x· eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＝1－λ，,\f(1,2)x＝\f(1,3)λ，))解得λ＝ eq \f(3,4)，x＝ eq \f(1,2)，故C正确． eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2)( eq \(BD,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→)))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))－\(BA,\s\up6(→))))＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→))，故D错误．
6. 设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中∠xOy＝θ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜θ＜π且θ≠\f(π,2)))，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若平面向量a满足a＝xe1＋ye2，则有序数对(x，y)称为向量a在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y)θ，下列命题中是真命题的是( BD )
A. 已知a＝(2，3) eq \f(π,3)，则|a|＝ eq \r(13)
B. 已知a＝(x1，y1)θ，b＝(x2，y2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)θ
C. 已知a＝(－1，2)θ，b＝(2，1)θ，则a·b＝0
D. 已知a＝(x1，y1)θ，b＝(x2，y2)θ，若a∥b，则x2·y1＝x1·y2
【解析】 对于A，a＝(2，3) eq \f(π,3)，则a＝2e1＋3e2，所以|a|＝ eq \r((2e1＋3e2)2)＝ eq \r(4e eq \\al(2,1)＋9e eq \\al(2,2)＋12e1·e2)＝ eq \r(4＋9＋12×1×1×cs \f(π,3))＝ eq \r(19)，故A错误．对于B，已知a＝(x1，y1)θ，b＝(x2，y2)θ，则a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，a＋b＝(x1＋x2)e1＋(y1＋y2)e2，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)θ，故B正确．对于C，a＝(－1，2)θ，b＝(2，1)θ，则a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，所以a·b＝(－e1＋2e2)·(2e1＋e2)＝－2|e1|2＋2|e2|2＋3|e1|·|e2|cs θ＝－2＋2＋3×1×1×cs θ＝3cs θ，故C错误．对于D，a＝(x1，y1)θ，b＝(x2，y2)θ，则a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，若a∥b，则当a＝0或b＝0时，x1＝y1＝0或x2＝y2＝0，x2·y1＝x1·y2满足；当a≠0且b≠0，则存在唯一λ，使得a＝λb，则x1e1＋y1e2＝λ(x2e1＋y2e2)，则x1＝λx2，y1＝λy2，消元变形得到x2·y1＝x1·y2，故D正确．
7. (2024·厦门四检)已知等边三角形ABC的边长为4，点D，E满足 eq \(BD,\s\up6(→))＝2 eq \(DA,\s\up6(→))， eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(EC,\s\up6(→))，AE与CD交于点O，则( ABD )
A. eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→)) B. eq \(BO,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝8
C. eq \(CO,\s\up6(→))＝2 eq \(OD,\s\up6(→)) D. | eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))|＝ eq \r(3)
【解析】如图，对于A， eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)( eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→)))＝ eq \f(2,3) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→))，故A正确；对于B，因为△ABC为等边三角形， eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(EC,\s\up6(→))，则E为BC中点，所以AE⊥BC，所以AO⊥BC，即 eq \(AO,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝0，所以 eq \(BO,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝( eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AO,\s\up6(→)))· eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(AO,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝| eq \(BA,\s\up6(→))|| eq \(BC,\s\up6(→))|cs 60°＝4×4× eq \f(1,2)＝8，故B正确．对于C，设 eq \(CO,\s\up6(→))＝λ eq \(CD,\s\up6(→))，由(1)得 eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(CE,\s\up6(→))，所以 eq \(CO,\s\up6(→))＝ eq \f(2λ,3) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2λ,3) eq \(CE,\s\up6(→)).又O，A，E三点共线，所以 eq \f(2λ,3)＋ eq \f(2λ,3)＝1，解得λ＝ eq \f(3,4)，所以O为CD上靠近点D的四等分点，故C错误．对于D， eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(3,2) eq \(AD,\s\up6(→))，设 eq \(AE,\s\up6(→))＝t eq \(AO,\s\up6(→))，则t eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(3,2) eq \(AD,\s\up6(→))，所以 eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2t) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(3,2t) eq \(AD,\s\up6(→)).又O，C，D三点共线，所以 eq \f(1,2t)＋ eq \f(3,2t)＝1，解得t＝2，所以O为AE中点，所以 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋( eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))＝ eq \(OA,\s\up6(→))＋2 eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \(OE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AE,\s\up6(→))，即| eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))|＝ eq \f(1,2)| eq \(AE,\s\up6(→))|＝ eq \r(3)，故D正确．
(第7题答)
三、 填空题
8. (2024·淮北二模)已知向量a＝(1，2)，b＝(1，t)，若2a＋b与a＋2b共线，则实数t＝_2_．
【解析】 由a＝(1，2)，b＝(1，t)，可得2a＋b＝(3，t＋4)，a＋2b＝(3，2t＋2).因为2a＋b与a＋2b共线，所以3(t＋4)＝3(2t＋2)，解得t＝2.
9. 在平行四边形ABCD中，E是线段BD的中点，若 eq \(AB,\s\up6(→))＝m eq \(AD,\s\up6(→))＋n eq \(EC,\s\up6(→))，则m－n＝_－3_．
【解析】 如图，因为四边形ABCD为平行四边形，E为BD中点，所以E为AC中点，所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CB,\s\up6(→))＝2 eq \(EC,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))＝2 eq \(EC,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→))，所以m＝－1，n＝2，所以m－n＝－1－2＝－3.
(第9题答)
10. 设点A(2，0)，B(4，2)，点P在直线AB上，且| eq \(AB,\s\up6(→))|＝2| eq \(AP,\s\up6(→))|，则点P的坐标为_(3，1)或(1，－1)_．
【解析】 因为点P在直线AB上，且 | eq \(AB,\s\up6(→))|＝2| eq \(AP,\s\up6(→))|，当点P在线段AB上时，P为线段AB的中点，所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2＋4,2)，\f(0＋2,2)))，即P(3，1).当点P在线段BA的延长线上时， eq \(AB,\s\up6(→))＝－2 eq \(AP,\s\up6(→))，设P(x，y)，所以－2 eq \(AP,\s\up6(→))＝(4－2x，－2y)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝4－2x，,2＝－2y，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))所以P(1，－1).
四、 解答题
11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．
(1) 若 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝0，求| eq \(OP,\s\up6(→))|；
【解答】 因为 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝0， eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))即 eq \(OP,\s\up6(→))＝(2，2)，故| eq \(OP,\s\up6(→))|＝2 eq \r(2).
(2) 设 eq \(OP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→))(m，n∈R)，用x，y表示m－n.
【解答】 因为 eq \(OP,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，2)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，1)，所以(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))两式相减，得m－n＝y－x.
12. 如图，在△ABO中， eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up6(→))，AD与BC相交于点M，设 eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b.
(第12题)
(1) 试用向量a，b表示 eq \(OM,\s\up6(→))；
【解答】 由A，M，D三点共线，可设 eq \(OM,\s\up6(→))＝m eq \(OA,\s\up6(→))＋(1－m) eq \(OD,\s\up6(→))＝ma＋ eq \f(1－m,2)b.由B，M，C三点共线，可设 eq \(OM,\s\up6(→))＝n eq \(OC,\s\up6(→))＋(1－n) eq \(OB,\s\up6(→))＝ eq \f(n,4)a＋(1－n)b，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,4)n，,\f(1－m,2)＝1－n，))解得m＝ eq \f(1,7)，n＝ eq \f(4,7)，所以 eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,7)a＋ eq \f(3,7)b.
(2) 过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F，记 eq \(OE,\s\up6(→))＝λa， eq \(OF,\s\up6(→))＝μb，求证： eq \f(1,λ)＋ eq \f(3,μ)为定值．
【解答】 因为E，M，F三点共线，所以设 eq \(OM,\s\up6(→))＝k eq \(OE,\s\up6(→))＋(1－k) eq \(OF,\s\up6(→))＝kλa＋(1－k)μb.由(1)知kλ＝ eq \f(1,7)，(1－k)μ＝ eq \f(3,7)，所以 eq \f(1,λ)＝7k， eq \f(3,μ)＝7－7k，所以 eq \f(1,λ)＋ eq \f(3,μ)＝7，为定值．
B组 能力提升练
13. 如图，已知△ABC是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若 eq \(AF,\s\up6(→))＝3 eq \(EF,\s\up6(→))，| eq \(AF,\s\up6(→))|＝3，且 eq \(AF,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝( A )
(第13题)
A. eq \f(15,19) B. eq \f(6,19)
C. eq \f(9,19) D. eq \f(4\r(19),19)
【解析】 由题设 eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3)( eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)))＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→)) ＋\f(2,3)\(CE,\s\up6(→))))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(4,9)( eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AE,\s\up6(→)))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(4,9) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(8,27) eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))－ eq \f(4,9) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(8,27) eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,9) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(8,27) eq \(AF,\s\up6(→))，所以 eq \f(19,27) eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,9) eq \(AC,\s\up6(→))，即 eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(9,19) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(6,19) eq \(AC,\s\up6(→))，又 eq \(AF,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))，故λ＋μ＝ eq \f(15,19).
14. (2024·临汾二模)(多选)设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若 eq \(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2，则把有序实数对(x，y)叫做向量 eq \(OP,\s\up6(→))在斜坐标系Oxy中的坐标，记作 eq \(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，则下列说法正确的是( ABD )
A. 若 eq \(OP,\s\up6(→))＝(2，1)，则| eq \(OP,\s\up6(→))|＝ eq \r(7)
B. 若 eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，1)， eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))，则A，B，C三点共线
C. 若 eq \(OP1,\s\up6(→))＝(3，2)， eq \(OP2,\s\up6(→))＝(2，－3)，则 eq \(OP1,\s\up6(→))⊥ eq \(OP2,\s\up6(→))
D. 若 eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，0)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，3)， eq \(OC,\s\up6(→))＝(4，1)，则四边形OACB的面积为 eq \f(7\r(3),2)
【解析】 对于A，由题意得 eq \(OP,\s\up6(→))＝2e1＋e2，故 eq \(OP,\s\up6(→))2＝(2e1＋e2)2＝4e eq \\al(2,1)＋4e1·e2＋e eq \\al(2,2)＝4|e1|2＋4|e1|·|e2|cs 60°＋|e2|2＝4＋4×1×1× eq \f(1,2)＋1＝7，故| eq \(OP,\s\up6(→))|＝ eq \r(7)，A正确．对于B，由题意得 eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1＋e2， eq \(BC,\s\up6(→))＝－e1－ eq \f(1,2)e2，所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝－2 eq \(BC,\s\up6(→))，所以A，B，C三点共线，B正确．对于C，由题意得 eq \(OP1,\s\up6(→))＝3e1＋2e2， eq \(OP2,\s\up6(→))＝2e1－3e2，所以 eq \(OP1,\s\up6(→))· eq \(OP2,\s\up6(→))＝(3e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝6e eq \\al(2,1)－5e1·e2－6e eq \\al(2,2)＝6－5×1×1× eq \f(1,2)－6＝－ eq \f(5,2)≠0，故 eq \(OP1,\s\up6(→))与 eq \(OP2,\s\up6(→))不垂直，C错误．对于D，因为 eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，0)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，3)， eq \(OC,\s\up6(→))＝(4，1)，所以 eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，1)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(4，－2)， eq \(OA,\s\up6(→))＝2e1， eq \(OB,\s\up6(→))＝3e2，所以| eq \(OA,\s\up6(→))|＝ eq \r((2e1)2)＝2，| eq \(OB,\s\up6(→))|＝ eq \r((3e2)2)＝3，| eq \(AC,\s\up6(→))|＝ eq \r((2e1＋e2)2)＝ eq \r(4e eq \\al(2,1)＋e eq \\al(2,2)＋4e1·e2)＝ eq \r(4＋1＋4×1×1×\f(1,2))＝ eq \r(7)，| eq \(BC,\s\up6(→))|＝ eq \r((4e1－2e2)2)＝ eq \r(16e eq \\al(2,1)－16e1·e2＋4e eq \\al(2,2))＝ eq \r(16－8＋4)＝2 eq \r(3)，| eq \(OC,\s\up6(→))|＝ eq \r((4e1＋e2)2)＝ eq \r(16e eq \\al(2,1)＋8e1·e2＋e eq \\al(2,2))＝ eq \r(16＋4＋1)＝ eq \r(21)，所以OB2＋BC2＝OC2，即OB⊥BC，所以S△OBC＝ eq \f(1,2)×3×2 eq \r(3)＝3 eq \r(3).如图，在△OAC中，由余弦定理知，cs ∠OAC＝ eq \f(OA2＋AC2－OC2,2OA·AC)＝ eq \f(4＋7－21,2×2×\r(7))＝－ eq \f(5,2\r(7))，所以sin ∠OAC＝ eq \r(1－cs2∠OAC)＝ eq \f(\r(3),2\r(7))，所以S△OAC＝ eq \f(1,2)×OA×AC×sin∠OAC＝ eq \f(1,2)×2× eq \r(7)× eq \f(\r(3),2\r(7))＝ eq \f(\r(3),2)，所以四边形OACB的面积为S△OBC＋S△OAC＝3 eq \r(3)＋ eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(7\r(3),2)，D正确．
(第14题答)