高考物理一轮复习讲义练习第十章　第5讲　实验十二：测量电源的电动势和内阻

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考点一 教材原型实验
【典例1】 （2024·甘肃卷）精确测量干电池电动势和内阻需要考虑电表内阻的影响。可用器材有：电压表（量程1.5 V，内阻约为1.5 kΩ）、电流表（量程0.6 A）、滑动变阻器、开关、干电池和导线若干。某小组开展了以下实验。
(1)考虑电流表内阻影响
①用图1所示电路测量电流表的内阻。从图2电压表和电流表读数可得电流表内阻RA＝1.0 Ω（结果保留两位有效数字）。
②用图3所示电路测量干电池电动势和内阻。电压表读数、电流表读数、干电池内阻和电流表内阻分别用U、I、r和RA表示。则干电池电动势E＝U＋I(r＋RA)（用I、r和RA表示）。
③调节滑动变阻器测得多组电表读数，作出图4所示的U－I图像。则待测干电池电动势E＝1.40 V（结果保留三位有效数字）、内阻r＝1.0 Ω（结果保留一位小数）。
(2)考虑电压表内阻影响
该小组尝试用图5所示电路测量电压表内阻，但发现实验无法完成。原因是D。
A．电路设计会损坏仪器
B．滑动变阻器接法错误
C．电压太大无法读数
D．电流太小无法读数
【解析】 (1)①由题图2可知，电压表读数为U＝0.60 V，电流表读数为I＝0.58 A，根据欧姆定律可得电流表内阻为RA＝ eq \f(U,I)＝ eq \f(0.60,0.58) Ω≈1.0 Ω。
②由闭合电路欧姆定律可知，干电池电动势的表达式为E＝U＋I(r＋RA)。
③根据E＝U＋I(r＋RA)变形为U＝－(r＋RA)I＋E，根据图像可知，纵截距b＝E＝1.40 V，斜率的绝对值|k|＝r＋RA＝ eq \f(1.40－1.00,0.20－0) Ω＝2.0 Ω，所以待测干电池电动势为E＝1.40 V，电源内阻为r＝1.0 Ω。
(2)由于将电压表串联接在电路中，电压表内阻很大，电路中电流太小，故无法完成实验的原因是电流太小无法读数，故选D。
1．（2023·浙江6月选考）在“测量干电池的电动势和内阻”实验中：
(1)部分连线如图甲所示，导线a端应连接到B（选填“A”“B”“C”或“D”）接线柱上。正确连接后，某次测量中电压表指针位置如图乙所示，其示数为1.20 V。
(2)测得的7组数据已标在如图丙所示U－I坐标系上，用作图法求干电池的电动势E＝1.50 V和内阻r＝1.04 Ω。（结果均保留两位小数）
解析：(1)电压表测量的电压应为路端电压，开关应能控制电路，所以导线a端应连接到B处；干电池电动势约为1.5 V，电压表选择0～3 V量程，分度值为0.1 V，题图乙中电压表读数为1.20 V。
(2)作出U－I图像如图所示。
根据闭合电路欧姆定律U＝E－Ir，
可知U－I图像纵轴截距为干电池的电动势，可得E＝1.50 V。
U－I图像斜率的绝对值等于干电池的内阻可得，r＝ eq \f(1.50－1.00,0.48－0) Ω≈1.04 Ω。
考点二 拓展创新实验
1．实验器材、数据获取上的创新
2.测量电池的电动势和内阻时，有时会遇到实验需要的电表没有给出，或者给出的电表的量程不符合要求，如果电表的内阻已知（或可以看成理想电表），可以利用定值电阻对电表进行改装。
【典例2】 某研究小组用实验测量水果电池的电动势和内阻，把铜片和锌片相隔约1 cm插入一个柠檬中，就可制成一个水果电池，查阅资料后得知该水果电池的电动势约为1 V，内阻约为5 000 Ω。
(1)该小组设计了如下两种测量方案，如图甲所示，为减小测量误差，应选用方案二（选填“一”或“二”）。
(2)某同学选用方案二测量电路进行测量。闭合开关S，改变电阻箱R的阻值，并记录电阻箱阻值R和对应的电流表的示数I，然后作出R－ eq \f(1,I)图像，就可以求出水果电池电动势E和内阻r。
(ⅰ)已知电流表量程为150 μA，某次测量，电流表的示数如图乙所示，则电流表的示数为100 μA。
(ⅱ)把测量数据标在R－ eq \f(1,I)坐标系中，获得如图丙所示图像，根据图像可得水果电池的电动势为0.88 V（结果保留两位有效数字），同时可以求得水果电池内阻。
(ⅲ)若考虑电流表的内阻，则水果电池电动势的测量值等于（选填“大于”“等于”或“小于”）真实值。
【解析】 (1)对于方案一，产生误差的原因是电压表分流，测得的是电源和电压表并联组成的等效电源的电动势和内阻，即测量值E1＝ eq \f(RV,r真＋RV)E真（当外电路断路时，电源与电压表直接串联，根据串联电路分压可得），r1＝ eq \f(r真RV,r真＋RV)；对于方案二，产生误差的原因是电流表分压，测得的是电源和电流表串联组成的等效电源的电动势和内阻，即测量值E2＝E真，r2＝r真＋RA。由题知r真≈5 000 Ω，则由方案一测得的电动势和内阻误差均较大，由方案二测得的电动势无系统误差，测得的电源内阻误差较小，故选用方案二。
(2)(ⅰ)电流表最小分度值为5 μA，故电流表的示数为100 μA。
(ⅱ)若不考虑电流表内阻，可知有E＝I(r＋R)，所以R＝E· eq \f(1,I)－r，由题图丙所示图像可知，图像斜率k＝E＝ eq \f(9 000－2 000,(16－8)×103) V≈0.88 V。
(ⅲ)若考虑电流表的内阻，则有E＝I(r＋R＋RA)，即R＝E· eq \f(1,I)－(r＋RA)，可知图像斜率仍为E，则水果电池电动势的测量值等于真实值。
2．某探究小组准备用图甲所示电路测量某电源的电动势和内阻，实验室准备的器材如下：
待测电源（电动势约2 V）；
电阻箱R（最大阻值为99.99 Ω）；
定值电阻R0（阻值为2.0 Ω）；
定值电阻R1（阻值为4.5 kΩ）；
电流表G（量程为400 μA，内阻Rg＝500 Ω）；
开关S，导线若干。
(1)图甲中将定值电阻R1和电流表G串联，相当于把电流表G改装成了一个量程为2 V的电压表。
(2)闭合开关，多次调节电阻箱，并记下电阻箱的阻值R和电流表G的示数I。
(3)分别用E和r表示电源的电动势和内阻，则 eq \f(1,I)和 eq \f(1,R)的关系式为 eq \f(1,I)＝ eq \f((R1＋Rg)(R0＋r),E)· eq \f(1,R)＋ eq \f(R1＋Rg＋R0＋r,E)（用题中字母表示）。
(4)以 eq \f(1,I)为纵坐标， eq \f(1,R)为横坐标，探究小组作出 eq \f(1,I)－ eq \f(1,R)图像如图乙所示，根据该图像求得电源的内阻r＝0.50 Ω，则其电动势E＝2.08（2.07～2.09均可） V（结果保留两位小数）。
(5)该实验测得的电动势E测与真实值E真相比，理论上E测＝（选填“>”“I测，
因电压表内阻RV不变，随着电压U测值减小，电压表中电流IV减小，当电压U测值趋于0时，I趋于I测，在题图乙中重新绘制的U－I图线如图所示，
故新绘制的图线与横坐标轴交点的数值将不变，与纵坐标轴交点的数值将变大。
4．（12分）（2024·辽宁卷）某探究小组要测量电池的电动势和内阻。可利用的器材有：电压表、电阻丝、定值电阻（阻值为R0）、金属夹、刻度尺、开关S、导线若干。他们设计了如图所示的实验电路原理图。
(1)实验步骤如下：
①将电阻丝拉直固定，按照图甲连接电路，金属夹置于电阻丝的A（选填“A”或“B”）端。
②闭合开关S，快速滑动金属夹至适当位置并记录电压表示数U，断开开关S，记录金属夹与B端的距离L。
③多次重复步骤②，根据记录的若干组U、L的值，作出图丙中图线Ⅰ。
④按照图乙将定值电阻接入电路，多次重复步骤②，再根据记录的若干组U、L的值，作出图丙中图线Ⅱ。
(2)由图线得出纵轴截距为b，则待测电池的电动势E＝ eq \f(1,b)。
(3)由图线求得Ⅰ、Ⅱ的斜率分别为k1、k2，若 eq \f(k2,k1)＝n，则待测电池的内阻r＝ eq \f(R0,n－1)（用n和R0表示）。
解析：(1)①为了保护电路，闭合开关前，金属夹置于电阻丝的最大阻值处，由题图可知，应该置于A端。
(2)对于电路图甲，根据闭合电路欧姆定律有U＝E－Ir，设金属丝的电阻率为ρ，横截面积为S，结合欧姆定律和电阻定律I＝ eq \f(U,R)，R＝ρ eq \f(L,S)，联立可得U＝E－ eq \f(US,ρL)r，整理可得 eq \f(1,U)＝ eq \f(1,E)＋ eq \f(Sr,Eρ)· eq \f(1,L)。对于电路图乙，根据闭合电路欧姆定律有U＝E－I(r＋R0)，结合欧姆定律和电阻定律I＝ eq \f(U,R)，R＝ρ eq \f(L,S)，联立后整理 eq \f(1,U)＝ eq \f(1,E)＋ eq \f(S(r＋R0),Eρ)· eq \f(1,L)，可知图线的纵轴截距b＝ eq \f(1,E)，解得E＝ eq \f(1,b)。
(3)由题意可知k1＝ eq \f(Sr,Eρ)，k2＝ eq \f(S(r＋R0),Eρ)，又 eq \f(k2,k1)＝n，联立解得r＝ eq \f(R0,n－1)。
5．（15分）一实验小组利用图甲所示的电路测量一电池的电动势E（约1.5 V）和内阻r（小于2 Ω）。图中电压表量程为1 V，内阻RV＝380.0 Ω；定值电阻R0＝20.0 Ω；电阻箱R，最大阻值为999.9 Ω；S为开关。按电路图连接电路。完成下列填空：
(1)为保护电压表，闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选15.0（选填“5.0”或“15.0”）Ω。
(2)闭合开关，多次调节电阻箱，记录下阻值R和电压表的相应读数U。
(3)根据图甲所示电路，用R、R0、RV、E和r表示 eq \f(1,U)，得 eq \f(1,U)＝ eq \f(R0＋RV,ERVR0)·R＋ eq \f(1,E)＋ eq \f((R0＋RV)r,ERVR0)。
(4)利用测量数据，作 eq \f(1,U)－R图线，如图乙所示。
(5)通过图乙可得E＝1.55 V（结果保留两位小数），r＝1.0 Ω（结果保留一位小数）。
(6)若将图甲中的电压表当成理想电表，得到的电源电动势为E′，由此产生的误差为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(E′－E,E)))×100%＝5%。
解析：(1)闭合开关后，电阻箱接入电路的阻值越大，电压表示数越小。若闭合开关后，电压表满偏，则有 eq \f(Umax,\f(RVR0,RV＋R0))＝ eq \f(E－Umax,R＋r)，代入数据解得R＝7.5 Ω，因此闭合开关前，电阻箱接入电路的电阻值可以选15.0 Ω。
(3)由闭合电路的欧姆定律可得E＝U＋ eq \f(U,\f(RVR0,RV＋R0))(R＋r)，化简可得 eq \f(1,U)＝ eq \f(R0＋RV,ERVR0)·R＋ eq \f(1,E)＋ eq \f((R0＋RV)r,ERVR0)。
(5)由 eq \f(1,U)＝ eq \f(R0＋RV,ERVR0)·R＋ eq \f(1,E)＋ eq \f((R0＋RV)r,ERVR0)，可得 eq \f(R0＋RV,ERVR0)＝k＝ eq \f(1,19E)， eq \f(1,E)＋ eq \f((R0＋RV)r,ERVR0)＝b＝ eq \f(1,E)＋ eq \f(r,19E)，则E＝ eq \f(1,19k)，r＝ eq \f(b,k)－19，由题图丙 eq \f(1,U)－R图线[例如取点(9.5，1.00)和(24，1.50)分析]可得k≈0.034，b≈0.68，将其代入E、r的表达式，可得E≈1.55 V，r≈1.0 Ω。
(6)若将题图甲中的电压表当成理想电压表，则有 eq \f(1,U)＝ eq \f(1,E′)＋ eq \f(r,E′R0)＋ eq \f(1,E′R0)R，可得 eq \f(1,E′R0)＝k＝ eq \f(1,20E′)，即E′＝ eq \f(1,20k)，因此误差为 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(E′－E,E)))×100%＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\f(1,20k)－\f(1,19k),\f(1,19k))))×100%＝5%。实验原理
实验操作
注意事项
1.电路图
2．原理：根据闭合电路欧姆定律E＝U＋Ir，改变滑动变阻器的电阻，测多组U、I值，列方程组计算E、r
1.选量程、连线路：按原理图连接电路，注意电压表、电流表的量程和正、负接线柱的连接。
2．滑动变阻器滑片移到阻值最大一端。
3．测量：闭合开关，改变滑动变阻器阻值，测多组U、I值。
4．求解：利用公式法或图像法求E、r
1.为了使路端电压变化明显，可使用内阻较大的旧电池。
2．电流不要过大，应小于0.5 A，读数要快。
3．要测出不少于6组的(I，U)数据，变化范围要大些
数据
处理
方法一：列方程组求解电动势和内阻的大小。
根据以上三组方程分别求出E、r，再取其平均值作为电源的电动势E和内阻r。
方法二：用作图法处理数据，如图所示。
(1)图线与纵轴交点为电动势E。
(2)图线的斜率的绝对值表示内阻r＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(ΔU,ΔI)))
误差
分析
1.读数不准确和电表线性不良引起误差。
2．用图像法求E和r时，由于作图不准确造成误差。
3．实验时通电时间过长或电流过大，都会引起E、r变化。
4．若采用图甲电路，由于电压表的分流作用造成误差，电压值越大，电压表的分流越多，对应的I真与I测的差值越大。其U－I图像如图丙所示。结论：E测＜E真，r测＜r真。
5．若采用图乙电路，由于电流表的分压作用造成误差，电流值越大，电流表的分压越多，对应的U真与U测的差值越大。其U－I图像如图丁所示。结论：E测＝E真，r测＞r真
实验
方案
安阻法测电动势和内阻
伏阻法测电动势和内阻
实验
电路
实验
原理
E＝I1(R1＋r)
E＝I2(R2＋r)
E＝U1＋ eq \f(U1,R1)r
E＝U2＋ eq \f(U2,R2)r
图像
组别
1
2
3
4
5
6
7
R/Ω
2.0
4.0
6.0
8.0
14.0
20.0
33.0
U/V
0.34
0.50
0.59
0.62
0.74
0.80
0.84
eq \f(1,R)/Ω-1
0.50
0.25
0.17
0.13
0.07
0.05
0.03
eq \f(1,U)/V-1
2.94
2.00
1.69
1.61
1.35
1.25
1.19