专题01 一元二次方程十三题型（期中真题汇编，江西专用）九年级数学上学期人教版试题+答案

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题型01
一元二次方程的定义
1．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)下列方程是一元二次方程的是 （ ）
A．x2+2y=3B．x+y=2C．4−ax2+16x+1=0D．x2−9=0
2．(24-25九上·江西吉安·期中)下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0（a，b，c为常数）B．x2=0
C．x+12=x+2x−3D．x2+1x=0
3．(24-25九上·江西南昌外国语学校教育集团·期中)将关于x的一元二次方程x2+x=2x−3化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．1,−4B．−1,6C．−1,−6D．1,−6
4．(24-25九上·江西九江民办晨光中学·期中)一元二次方程3x2−x−2=0的常数项是 ．
5．(24-25九上·江西新余分宜县·期中)若关于x的方程2−mm2−2−mx+1=0是一元二次方程，则m的值为 ．
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题型02
由一元二次方程的解求参数
1．(24-25九上·江西南昌外国语学校教育集团·期中)已知m是关于x的方程x2−2x−4=0的一个根，则2m2−4m+2=（ ）
A．5B．10C．−10D．6
2．(24-25九上·江西九江修水县·期中)若关于x的方程x2−5x+a=0的一根为1，则方程的另一个根为 ．
3．(24-25九上·江西宜春袁州区宜阳新区四校·期中)若关于x的一元二次方程kx2+6x+2=0的一个根为x=1，则k的值为 ．
4．(24-25九上·江西抚州·期中)若m是方程x2−x−1=0的一个根，则m2−m+2024的值为 ．
5．(24-25九上·江西赣州·期中)已知x=2是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则2m+n的值是 ．
6．(24-25九上·江西宜春·期中)已知一元二次方程x2−4x+m=0的一个根为x1=1，则m的值为 ．
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题型03
配方法解一元二次方程
1．(24-25九上·江西宜春·期中)通过一元二次方程x2−6x+3=0配方后变形正确的是（ ）
A．x−32=6B．x−32=9
C．x+32=6D．x+32=9
2．(24-25九上·江西南昌·期中)用配方法解方程x2−4x=6时，应该把方程两边同时（ ）
A．加2B．减2C．加4D．减4
3．(24-25九上·江西九江第十一中学·期中)解下列方程
(1)x2−4x=1
(2)xx+1=3x+2
4．(24-25九上·江西景德镇·期中)请用配方法讨论关于x的一元二次方程x2−2x−c+2=0的根的情况．
5．(24-25九上·江西赣州南康区第十中学·期中)（1）计算：x+32−x−1x−2
（2）解方程：x2−2x−3=0
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题型04
由判别式判断根的情况
1．(24-25九上·江西鹰潭月湖区·期中)一元二次方程x2+x=−14的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．有一个实数根
2．(24-25九上·江西抚州·期中)以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2−6x=0B．x2−9=0
C．x2−6x+6=0D．x2−6x+9=0
3．(24-25九上·江西赣州·期中)若一次函数y=kx+bk≠0的图像经过第一、二、四象限，则方程bx2−2x+k=0有 个根．
4．(24-25九上·江西景德镇·期中)已知关于x的方程x2−2kx+k2=9．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为2，试求3k2−12k+2025的值．
5．(24-25九上·江西赣州·期中)已知关于x的方程x2+ax+a−2=0．
(1)若该方程有一个根为−2，求a的值：
(2)求证：方程总有两个不相等的实数根．
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题型05
根据一元二次方程根的情况求参数
1．(24-25九上·江西九江·期中)关于x的一元二次方程a−5x2−4x−1=0有实数根，则a满足（ ）
A．a≥6B．a>1且a≠5
C．a≥1且a≠5D．a≥6且a≠5
2．(24-25九上·江西抚州·期中)若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>−1B．k≤−1
C．k>−1且k≠0D．k≥−1且k≠0
3．(24-25九上·江西抚州临川第二中学·期中)若关于x的方程x2−c=0的判别式的值为4，则c= ．
4．(24-25九上·江西景德镇·期中)已知关于x的方程x2−2x+3−m=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：2−m−m−12．
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题型06
公式法解一元二次方程
1．(24-25九上·江西九江·期中)大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点（AP>BP），如果AB的长度为10cm，那么较短线段BP的长度为（ ）
A．5+5cmB．10−5cmC．55−5cmD．15−55cm
2．(24-25九上·江西宜春高安·期中)解下列方程：
(1)x−32=4；
(2)x2−5x+1=0．
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题型07
因式分解法解一元二次方程
1．(24-25九上·江西抚州第二实验学校·期中)一元二次方程x2=2x的解为（ ）
A．x=2B．x=0C．x=2或x=1D．x=2或x=0
2．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)若关于x的一元二次方程m−1x2+x+m2+1=0有一个根是 x=−2，则m的值为 ．
3．(24-25九上·江西南昌外国语学校教育集团·期中)定义运算：m&n=m2−mn+5．例如1&2=12−1×2+5=4，则方程x&6=0的解为 ．
4．(24-25九上·江西吉安·期中)如图，已知点B6,1，点A，点C分别在x轴，y轴正半轴上运动，且OC=OA，当S△ABC=6时，求A点坐标 ．
5．(24-25九上·江西景德镇浮梁县储田学校·期中)解关于x的方程．
(1)x2+2x=0；
(2)x2+2x−6=0．
6．(24-25九上·江西鹰潭月湖区·期中)已知关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程有一个根为x=1，求k的值及另一个根．
7．(24-25九上·江西抚州临川区·期中)计算
(1)解方程：x(x+3)=2(x+3)；
(2)若x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根，设M=1−ac，N=ax0+12，试比较M与N的大小．
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题型08
一元二次方程的根与系数的关系
1．(24-25九上·江西九江第三中学·期中)已知关于x的一元二次方程x2−5x+2m=0有一个根为−2，则另一根为（ ）
A．7B．3C．−7D．−3
2．(24-25九上·江西景德镇·期中)如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2−17x+66=0的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是（ ）
A．19B．18C．17D．16
3．(24-25九上·江西南昌县莲塘第四中学·期中)若实数a，b分别满足 a2−5a+4=0,b2−5b+4=0,且 a≠b,则 1a+1b= ．
4．(24-25九上·江西赣州章贡区·期中)若m，n是一元二次方程x2−5x+2=0的两个实数根，则m−mn+n的值为 ．
5．(24-25九上·江西九江修水县·期中)若m，n是方程x2−2024x−2025=0的解，则m+n+mn的值为 ．
6．(24-25九上·江西萍乡·期中)设α，β是x2+x−8=0的两个实数根，则α2+4α+3β的值是 ．
7．(24-25九上·江西九江修水县·期中)已知关于x的方程x2−m+2x+2m=0．
(1)求证：无论m为何值，该方程总有实数根；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22+x1x2=3，求m的值．
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题型09
一元二次方程的应用---传播问题
1．(24-25九上·江西九江·期中)新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（ ）
A．20B．22C．24D．25
2．(24-25九上·江西南昌·期中)一种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列出方程 ．
3．(24-25九上·江西景德镇乐平·期中)若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？
4．(24-25九上·江西景德镇·期中)【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．
（1）①共有 ______场比赛；
②设比赛组织者应邀请x个队参赛，每个队要与其他_____ 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛_____场，列方程：____________．
【小试牛刀】（2）参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人参加聚会？
【综合运用】（3）将A1，A2，A3，……，An，共n个点每两个点连一条线段共得到y1条线段，将B1，B2，B3，……，B2n．共2n个点每两个点连一条线段共得到y2条线段，问y2y1能否为整数？写出你的结论，并说明理由．
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题型10
一元二次方程的应用---增长率问题
1．(24-25九上·江西九江·期中)劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．3001+x=363B．300+3001+x+300(1+x)2=363
C．300+300x2=363D．300(1+x)2=363
2．(24-25九上·江西赣州·期中)某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率．设每次下调的百分率为x，则可列方程为 ．
3．(24-25九上·江西九江第三中学·期中)某件夏天T恤的售价为100元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为81元，求平均每次降价的百分率．
4．(24-25九上·江西南昌南昌县·期中)据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色文化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次．若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．
5．(24-25九上·江西景德镇·期中)以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题：
(1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展．
数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？
(2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军．
小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？
6．(24-25九上·江西抚州·期中)龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
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题型11
一元二次方程的应用---几何问题
1．(24-25九上·江西赣州上犹县·期中)为增强学生身体素质和运动技能，某中学要在操场旁增建一个矩形沙坑用来给学生练习跳远，要求它的周长为20米，面积为24平方米，请求出沙坑的长和宽．
2．(24-25九上·江西新余·期中)如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，求道路的宽度．
3．(24-25九上·江西南昌·期中)如图，一农场主准备用木栅栏建一个面积为180平方米的养鸡场，一边靠墙MN，其它部分用的是木栅栏，并且留有两道宽1米的门．其中，门用其它材料制作，木栅栏总长46米，墙长20米．
(1)设养鸡场宽BC=x米，用含x的代数式表示养鸡场的长AB．
(2)求出x的值．
4．(24-25九上·江西南昌·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点P从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C运动，同时点Q从点C出发沿边CD以1cm/s的速度向点D运动，当一个点到达终点时另一点也同时停止，设运城的时间为ts．
(1)填空：CP=__________cm，DQ=__________cm（用含t的代数式表示），t的取值范围为__________．
(2)当t为何值时，PQ的长度为25cm？
(3)当t为何值时，△PDQ的面积为6cm2？
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题型12
一元二次方程的应用---营销问题
1．(24-25九上·江西九江第十一中学·期中)平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶60元．平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于50元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．该商店若希望每周获利3000元，则每顶头盔应降价多少元？
2．(24-25九上·江西抚州南城县·期中)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．某公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．
(1)设每辆轮椅降价x元，则每辆的销售利润为_______元．（用含x的代数式表示）
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
3．(24-25九上·江西萍乡·期中)为积极响应新旧功能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）满足一次函数关系，下表给出x和y的部分对应数据．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
4．(24-25九上·江西九江修水县·期中)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件的进价为80元，当销售单价为120元时，每天的销售量是20件，据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．
(1)若该专卖店销售这款童装要想每天盈利1088元，求该款童装每件应降价多少元？
(2)在（1）的基础上，在获利不变的情况下，为尽可能减少库存，扩大销售量，该专卖店销售该款童装时应按原售价的几折出售？
5．(24-25九上·江西上饶·期中)应用一元二次方程解答下列问题：如图，一个仓库的一边靠墙，另外三面用32米木板材料围建，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边有一扇2米宽的门，仓库面积为140平方米．
(1)这个仓库的宽和长分别是多少米？
(2)仓库存有一批商品，每件商品的进价为15元，销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．为了尽快减少库存，为了实现平均每天1280元的利润，每件商品的定价应为多少元？
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题型13
一元二次方程的应用---其他问题
1．(24-25九上·江西南昌南昌县·期中)著名数学家张景中教授主编的《数学美拾趣》一书中，记载了这样一首民间数学诗：“三百六十一只缸，任君分作几船装．不许一船多一只，不容一船少一缸”，译文为：“361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？”答：每船所装的缸数为 ．
2．(24-25九上·江西九江第三中学·期中)《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了x步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程： ．（结果化为一般式）
3．(24-25九上·江西九江第十一中学·期中)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=18cm，动点P从点B开始沿边BA向A以2cm/s的速度移动（不与点A重合），动点Q从点C开始沿边CB向B以3cm/s的速度移动（不与点B重合）．如果P，Q分别从B，C同时出发，设运动的时间为t（单位：s），四边形APQC的面积为y（单位：cm2）．
(1)直接写出BP=________cm，BQ=________cm（用含有t的代数式表示）；
(2)求四边形APQC的面积（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围；
(3)四边形APQC的面积能否等于129 cm2，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
4．(24-25九上·江西南昌南昌县·期中)要组织一次篮球联赛，赛制为双循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
5．(24-25九上·江西宜春·期中)芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．
(1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率；
(2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
销售单价x万元
…
35
38
40
…
年销售量y台
…
550
520
500
…