高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示达标测试

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 平面向量数量积的坐标表示
题型2：向量的平行、垂直及应用
题型3：向量的模
题型4：向量的夹角
题型5：与向量夹角有关的参数问题
题型6：向量数量积的最值
题型7：向量的模的最值
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点1：平面向量数量积的坐标表示
在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
知识点2：两个向量平行、垂直的坐标表示
已知非零向量，
（1）．
（2）
知识点3：向量模的坐标表示
（1）向量模的坐标表示
若向量，由于，所以．
其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
（2）两点间的距离公式
已知原点，点，则，于是．
其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．
（3）向量的单位向量的坐标表示
设，表示方向上的单位向量
知识点4：两向量夹角余弦的坐标表示
已知非零向量，是与的夹角，则．
二、重点题型分类研究
题型1: 平面向量数量积的坐标表示
典型例题
例题1．已知向量，，那么等于（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】A
【详解】，，.
故选：A.
例题2．如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A．-15B．-13C．13D．14
【答案】C
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，又，，，则，
即，即，则，
，
则，；故选：C．
例题3．在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．
【答案】
【详解】解：因为为的重心，所以，因为，
所以，则，因为，所以，
即，所以，在中，．
方法一：因为，，
所以．
方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，由方法一可知，，
所以．
同类题型演练
1．如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，
又，，，则，即，即，
则，则，，
则；故选：C．
2．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为向量，，，所以，，所以 .
故选：C.
3．如图，四边形是边长为4的正方形，若，且为的中点，则______.
【答案】5
【详解】以A为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，则，，所以.
故答案为：5.
4．在△ABC中，H，D分别是边BC，AC上一点，，，，则___________.
【答案】12
【详解】如图，以H为坐标原点，BC所在直线为x轴，HD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，设，所以，，所以.
故答案为：
题型2：向量的平行、垂直及应用
典型例题
例题1．已知向量，且，若，则实数 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为，且，所以，即，解得（舍）或所以，，因为，所以，解得.故选：D
例题2．设，向量,且 ，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【详解】由题意向量,且，
故得：，解得 ，故，故选：A
例题3．已知向量，，若，则的值为___________.
【答案】
【详解】因为向量，，所以，，
又因为，所以，即，解得，
所以的值为.故答案为：.
例题4．已知向量，，且.
(1)求，并求在上的投影；
(2)若，求实数的值，并确定此时它们是同向还是反向？
【答案】(1)；(2)k=-1，反向.
(1)向量，，则，而，则有，解得，
于是得，所以，在上的投影是.
(2)由（1）知，，，又，
则，解得，所以实数的值是，向量与的方向是反向.
同类题型演练
1．已知，，，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，因为，所以，解得，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B.
2．已知向量，若，则m=___________.
【答案】
【详解】由题意可知，，因为，所以，得.
故答案为：
3．已知向量，若向量满足，则_________.
【答案】
【详解】设，由题意得，，因为，
所以，即，解得，所以.
故答案为：
4．已知向量，，若，则___________．
【答案】
【详解】由题意，又，所以，解得．
故答案为：．
题型3：向量的模
典型例题
例题1．已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0B．48C．D．
【答案】C
【详解】由题意，得，又与反向共线，故，此时，
故.故选：C.
例题2．设平面向量，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，即，解得，即，则，
所以.故选：B.
例题3．已知向量，则___．
【答案】
【详解】解：因为，所以，故故答案为：
例题4．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针后得到点，向量为向量在向量上的投影向量，则__________.
【答案】
【详解】因为，，所以，
，所以P点坐标为，
所以，所以.
故答案为：.
同类题型演练
1．已知，是单位向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，因为，是单位向量，所以，所以，所以，所以，故选：D
2．已知向量，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以，则，
所以，即．故选：C．
3．已知向量，且与的夹角，则（ ）
A．B．13C．D．10
【答案】A
【详解】解：由题得，所以．故选：A
4．已知向量，，若，则______
【答案】
【详解】根据题意，，
解得，此时，则.故答案为：
题型4：向量的夹角
典型例题
例题1．向量，，若、的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为、的夹角为钝角，则且、不共线，所以，，解得且，
因此，实数的取值范围是.故选：C.
例题2．已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以可设，，则，，因为，所以，即.则，故选：A.
例题3．已知矩形的边长满足，点满足，则的值为___________.
【答案】
【详解】以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设，
则点A（0，0）、B（1，0），C（1，3）、D（0，3），，则点P（1，），∴，，
因此，，，．
．故答案为：.
例题4．已知向量，．
(1)若，求．
(2)若向量，，求与夹角的余弦值．
【答案】(1)(2)
(1)因为，，所以，．
由，可得，即4(m＋2)－6＝0，
解得， 所以，故．
(2)依题意得因为，所以3(2m－2)＋2×9＝0，解得m＝－2，
则，，所以，
故与夹角的余弦值为．
同类题型演练
1．在矩形中，，，若，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图：以为原点，建立如图的平面直角坐标系，因为四边形是矩形，，，，则，，，，则，，
故，因为，所以，故选：B.
2．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设与的夹角为，则．∵，，∴，
∴．故选：A
3．已知，，，与的夹角为．若为锐角，则的取值范围是__．
【答案】且
【详解】，且为锐角，所以，解得，
又当时，，夹角，不成立，所以且，故答案为：且.
4．已知向量，，，，则__________.
【答案】
【详解】解：因为，，所以，，，
所以.故答案为：
题型5：与向量夹角有关的参数问题
典型例题
例题1．已知平面向量，，与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为与的夹角为钝角，所以.所以，即，解得：.而与反向时，，此时，即，解得：，不符合题意.所以且.故选：D
例题2．若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，
由，共线得，得，故.故选:D.
例题3．已知向量，，.
(1)若，，三点共线，求实数的值；
(2)若为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：因为，，，
所以，，
因为，，三点共线，所以与共线，
所以，解得.所以实数的值
（2）解：因为向量，，，
所以，，
因为为锐角，所以且与不共线，即，解得且，
所以，实数的取值范围是
同类题型演练
1．已知，，且与的夹角是钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为与的夹角是钝角，所以，且，
解得且.故选：D.
2．已知，，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是______．
【答案】;
【详解】因为，，且与的夹角为钝角，
所以且不共线，则，
解得且，即.故答案为：.
3．已知向量，.
(1)若，求；
(2)若和的夹角为锐角，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)因为，所以，解得，
所以，，，所以.
(2)因为和的夹角为锐角，所以，
即，解得且，所以的取值范围是.
题型6：向量数量积的最值
典型例题
例题1．在菱形中，，点在菱形所在平面内，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由菱形中，，可得且，
设交于点，以为坐标原点，直线分别为轴，轴建立直角坐标系，如图，
取中点，则，，设，
则，
所以当，时，取得最小值.故选：C．
例题2．如图，线段，点，分别在轴和轴的非负半轴上运动，以为一边，在第一象限内作矩形，，设为原点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图令，，由于，故，，
如图，，故，，
故，同理可求得，即，
∴，∵，∴．∵，∴的最大值是3，最小值是1，故选：C．
例题3．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．己知正六边形的边长为1，点满足，则________________；若点是线段上的动点（包括端点），则的最小值是________________．
图① 图②
【答案】
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，则
，，设，
则，
，
当时，的最小值为
故答案为：；.
例题4．如图，梯形，且，，，则_________，在线段上，则的最小值为_________.
【答案】
【详解】，，，，
，
，又，；作，垂足为，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，，，
设，，，解得：，，
，，，
，
则当时，取得最小值，最小值为.故答案为：；.
同类题型演练
1．已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则，设点，，
于是得：，
当时，取得最小值，所以的最小值是.故选：B
2．已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】法一：因为在上，不妨设，则（其中）
所以
，因为，所以
法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点，
其中，，∴
∵∴
故选：D.
3．已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上的高，点在内部或边界上运动，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
如图：在直角三角形中，为直角，，，所以，建立直角坐标系如图所示：，直线的方程为：，所以直线的方程：，所以，点在内部或边界上运动，与夹角大于等于90°，由图可得：与夹角大于等于，点在线段上时，，且为最大值，点在线段上时，有最小值，设点，
.综上所述：的取值范围是.故选：D
4．在矩形ABCD中，，，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是_____，的最大值是__________．
【答案】
【详解】由题意可得 ，即向量在向量上的投影向量的长度是 ；
如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，设 ，则 ,
故 ，则，当时，取最大值为 ，故答案为：；
题型7：向量的模的最值
典型例题
例题1．如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
可知，，分别在线段、上，设（），
则，所以，
所以，，
所以，
设，则，当且仅当时，取等号，
所以的最小值为．故答案为：
例题2．已知，．
(1)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
(2)当时，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)解：因为，，所以，，
因为与的夹角为钝角，
所以，且，
解得且，所以的取值范围为；
(2)根据题意，，则，
所以，又，则，所以的取值范围是．
例题3．已知是坐标原点，，，点满足.
(1)求；
(2)设，求的最小值.
【答案】(1);(2).
(1)，，即，
，，
，，，.
(2)由（1）知，，
，
所以当时，取得最小值，最小值为.
同类题型演练
1．已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：可设，，则，
即，则，，，
当时，取得最大值为6，即的最大值为6.故选：C
2．已知向量 ​.
(1)当 时，求向量与的夹角;
(2)求的最大值.
【答案】(1)(2)4
(1)解：当​时，​，​，
设​与​的夹角为​， 则​，
而​，，即​与​的夹角为​；
(2)解：​，
​
当时，取等号，​的最大值为​.
3．已知两个向量
(1)求以及与垂直的单位向量；
(2)当实数取何值时，向量与方向相反？
(3)若（其中，求的最小值.
【答案】(1)，或；(2)；(3)；
(1)由模长公式，，，
设该单位向量的坐标为，则，得或，
所以与垂直的单位向量为或.
(2)，，当向量与共线时，
，解得或，
当时，与同向，不合题意；
当时，与反向，符合题意；
所以.
(3)，，
由二次函数的性质，，所以恒成立，
当时，取最小值，所以的最小值为.
三、高考（模拟）题体验
1．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【详解】解：,,即,解得,故选：C
2．已知平面向量，满足，，，则在上的投影为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】B
【详解】，，
解得，所以在上的投影为，故选：B
3．（多选）已知向量，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【详解】对A，若，则，可解得，A对；
对B，若，则，可解得，B错；
对CD，，设，则，
则，解得，故C错，D对.故选：AD
4．已知，，则______．
【答案】
【详解】由题意得，，所以．
故答案为：．
5．已知向量，若，则___________.
【答案】
【详解】因为，，
所以，得，则，所以，故.
故答案为：.
6．已知向量，且，则______.
【答案】
【详解】∵，∴， 解得，∴.故答案为：.
7．如图直角梯形中，，，，在等腰直角三角形中，，则向量在向量上的投影向量的模为____________；若，分别为线段，上的动点，且，则的最小值为_______．
【答案】 ##
【详解】解：根据题意，如图，建立平面直角坐标系，
因为，所以，所以，，
所以，向量在向量上的投影向量为，
故其模为.因为，分别为线段，上的动点，
所以，设，，
所以，所以，即，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立.故答案为：；