黑龙江省绥化市肇东市第四中学校2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试卷（含答案）

这是一份黑龙江省绥化市肇东市第四中学校2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）
A． B． C．D．
2．若直线过点，，则此直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
3．向量，，若且，则的值为（ ）
A．B．1C．D．4
4．如图，底面是平行四边形的棱柱，是上底面的中心，设，则（ ）
B．
D．
5．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．8
6．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法正确的是（ ）
A．与AC所成角的余弦值为 B．
C．向量与的夹角是60° D．
7．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为( )
A．，1 B．，－1 C．－，1 D．－，－1
8．已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知平面过点，其法向量，则下列点不在内的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知分别是正方体的棱和的中点，则（ ）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为45°
C．与平面所成角的余弦值为
D．平面与平面所成角的余弦值为
11．下列各组直线中与一定平行的是（ ）
A．经过点，经过点
B．经过点，经过点
C．的倾斜角为，经过点
D．平行于轴，经过点
三、填空题
12．直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为 ．
13．设直线过定点A，则过点A且与直线垂直的直线方程为 ．
14．如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于 ．

四、解答题
15．如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若，求x，y的值．
16．如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，点在线段上，⊥平面，设，．
(1)求平面的法向量；
(2)求二面角的正切值．
17．如图，已知三棱柱，底面，，，为的中点.
(1)证明：面；
(2)若，求点到平面的距离.
18．求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等；
（2）直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；
（3）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求直线MN的方程．
19．如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．
(1)求证：直线平面；
(2)若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．
2025-2026年度上高二数学第一月考试题》参考答案
15．
【分析】根据图形结合空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可得出答案.
【详解】解：因为
，
又，
所以.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意，以作坐标原点建立空间直角坐标系，写出的坐标，根据法向量的求解方法，带值计算即可.
（2）求得平面的法向量，根据法向量夹角与二面角的关系，即可求得结果.
【详解】（1）因为⊥平面，⊂平面，故，
又底面为矩形，故，则两两垂直，
故以为坐标原点，建立如下所示空间直角坐标系：
又因为平面面，故，
又面面，故，
又面，故面，
又面，故，又四边形为矩形，故为正方形，
则，且，
，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
故平面的一个法向量为，与其平行的非零向量也可为该平面法向量.
（2）由（1）可知，平面，故取平面的法向量，
又平面的法向量为，
设二面角的平面角为，由图可知其为锐角，
故.
则，则.
即二面角的正切值为3．
17．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连接交于点，利用三角形的中位线证出线线平行，然后由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以，所在的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求点到平面的距离即可.
【详解】（1）证明：如图
连接交于点，则为的中点，
连接，又因为为的中点，
所以，平面，平面，
所以平面.
（2）如图：
以，所在的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
，则，
所以，，，，，
，，
设平面的法向量，
则，所以，所以，令，，
所以，又，
记点到平面的距离为，
所以.
18．（1）2x－3y＝0或x＋y－5＝0；（2）x－y＋6＝0；（3）5x－2y－5＝0.
【分析】（1）设所求直线的斜率k存在且k≠0，分截距为0和截距不为0两种情况讨论，即可求解；
（2）先求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；
（3）先求出M、N的坐标，利用截距式求出直线方程.
【详解】（1）由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，
设直线方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－，
令x＝0，得y＝2－3k，
由已知3－＝2－3k，
解得k＝－1或k＝，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝ (x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
（2）由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.
又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝ (x＋)，即x－y＋6＝0.
（3）设C(x0，y0)，则
M，N
因为点M在y轴上，所以，
所以x0＝－5.
因为点N在x轴上，所以，
所以y0＝－3，即C(－5，－3)，
所以M，N(1，0)，
所以直线MN的方程为，
即5x－2y－5＝0.
19．(1)证明见解析
(2)在直线上存在一点，且，使得平面．
【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明直线平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法保证平面，进而求得点的位置．
【详解】（1）
在直三棱柱中，
是的中点，
又为的中点 ，而，
四边形是平行四边形，
平面平面，平面．
（2）
在直线上找一点，使得平面，证明如下：
在直三棱柱中，
又两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，
在线段上，设，则，
则，
，则，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面，，解得，
在直线上存在一点，且，使得平面．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
B
C
D
D
D
BCD
AD
题号
11









答案
AD