江苏省扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题及答案

这是一份江苏省扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（总分150 时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线经过第一、二、三象限，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线所过的象限判断斜率、截距的符号即可.
【详解】因为直线经过第一、二、三象限，
所以直线的斜率，在y轴上的截距.
故选：A
2. 若方程表示圆，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式求解即可.
【详解】因为表示圆，
所以,解得或.
故选：B.
3. 若椭圆：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：由题意可得： .
本题选择C选项.
4. 圆O1：和圆O2：的位置关系是
A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．
考点：圆与圆的位置关系．
5. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，直接求出焦点坐标及准线方程，即可求解.
【详解】因为抛物线的焦点为，准线为，
所以抛物线的焦点到准线的距离是，
故选：D.
6. 设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
7. 已知椭圆，设点的轨迹为曲线，已知点与点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断点N在椭圆内部，利用椭圆定义将转化为，求出的最大值，即可求得答案.
【详解】依题意，为曲线的左焦点，
由于满足，故点N在椭圆内部，
设C的右焦点为 ，连接 ，
由于M为曲线C上的动点，则 ，
从而，
因为,
当 共线，且N在线段上时取等号(如图)，
故的最小值为，
故选：C.
8. 已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.
【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，
显然直线，因此，直线与交点P轨迹是以线段AB为直径的圆，
其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图：
，两圆外离，由圆的几何性质得：，，
所以的取值范围是：.
故选：B
【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知双曲线C：，则（ ）
A. 双曲线C的离心率为B. 双曲线C的虚轴长为
C. 双曲线C的焦点坐标为D. 双曲线C的渐近线方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线方程求解出，由双曲线的性质逐一判断.
【详解】由双曲线的方程，得，
则，所以离心率为，A正确；
虚轴长为，B错误；焦点坐标为，C正确；
渐近线方程，D正确.
故选：ACD
10. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 直线在y轴上的截距是2
B. 直线与平行，则实数的值为1
C. 若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，则m＋n＝3
D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】通过计算可以判定选项BC正确；直线在y轴上的截距是 所以选项A错误；过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为或，所以选项D错误.
【详解】A. 直线在y轴上的截距是 所以该选项错误；
B. 直线与平行，则 所以或 当 时，两直线重合，所以舍去.所以实数的值为1.所以该选项正确；
C. 若点A（5，－2）和点B（m，n）关于直线x－y＋1＝0对称，所以，则m＋n＝3，所以该选项正确；
D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为或，所以该选项错误.
故选：BC
11. 已知椭圆C：的左、右两个焦点分别为，直线与C交于A，B两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（ ）
A. 四边形为平行四边形
B. 可能为直角
C. 四边形面积最大为4
D. 直线的斜率为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据对称性判断A，用反证法判断B，由面积为4确定点位置，从而确定直线位置后判断C，设，计算斜率判断D．
详解】由椭圆方程得，，，
选项A，由椭圆的对称性得，又，所以四边形AF1BF2为平行四边形，A正确；
选项B，若为直角，则，所以是椭圆短轴顶点，即椭圆与的轴交点，此时，直线与轴重合，不存在，B错；
选项C，四边形面积为，，则是短轴顶点，此时直线直线与轴重合，不存在，C错；
选项D，设，则，，，，D正确．
故选：AD．

12. 已知抛物线 的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，在线段上，点为在上的射影．线段交轴于点，下列命题正确的是（ ）
A. 对于任意直线，均有
B. 不存在直线，满足
C. 对于任意直线，直线与抛物线相切
D. 存在直线，使
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项由为线段的中点以及抛物线定义即可判断，B选项由及抛物线方程求出，坐标，再说明，，三点共线，即存在直线即可，C选项设，，表示出直线，联立抛物线，利用即可判断，D选项设出直线，联立抛物线得到，通过焦半径公式结合基本不等式得即可判断．
【详解】对于选项A，如图，由抛物线知为的中点，轴，所以为线段的中点，
由抛物线的定义知，所以，所以选项A正确；
对于选项B，设，，，，，为线段的中点，则，
，， 由，得，
解得，，又，，故，，，
可得，，故存在直线，满足，所以选项B不正确；
对于选项C，由题意知，为线段的中点，从而设，则，
直线的方程，与抛物线方程联立可得：，
又，代入整理得，
则，所以直线与抛物线相切，所以选项C正确；
对于选项D，设的方程，联立，则，所以，，
由，
而，由，得，解得：，
故，所以，所以选项D错误，

故选：AC．
【点睛】方法点晴：（1）直线与抛物线的位置关系一般需要设出直线方程，然后与抛物线联立，进而利用根与系数的关系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 经过点的直线的倾斜角是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据斜率的公式求解即可.
【详解】经过点的直线的倾斜角是.
所以倾斜角为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了两点间斜率的计算,属于基础题.
14. 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.
【答案】2米
【解析】
【详解】
如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，
将A（2，-2）代入，
得m=-2，
∴，代入B得，
故水面宽为米，故答案为米．
考点：抛物线应用
15. 已知双曲线C:（，）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若，则C的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题干条件先得到和的值，然后利用三角函数和双曲线渐近线方程分别表示，化简得到的值，最后利用可得双曲线的离心率.
【详解】如图所示，
由题意可知，，，
，，
设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
则，又，
，解得，
.
故答案为：.
16. 已知椭圆的标准方程为，上顶点为，左顶点为，设点为椭圆上一点，的面积的最大值为，若已知点、为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则的最小值为_________.
【答案】##2.25
【解析】
【分析】根据的面积的最大值为可求得，进而可得知点、为椭圆的左、右焦点，可得出，由此利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】由已知条件可得、，直线的斜率为，
则直线的方程为，
当的面积最大时，过点的直线与椭圆相切且与直线平行，

故设该直线的方程为，
联立，整理，得，
由，得，解得，
分析可知当的面积最大时，，此时切线方程为，
则点到直线的距离.
又，所以，所以，
所以、，
所以，
则
，
当且仅当时取等号，
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于分析得到，当的面积最大时，过点的直线与椭圆相切且与直线平行，进而联立直线与椭圆方程借助求出，后续再求出，进而结合基本不等式求解.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2；
（2）与双曲线有共同的渐近线，并且经过点.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据渐近线得到，根据距离得到，得到答案.
（2）设双曲线方程为，代入点坐标，计算得到答案.
【小问1详解】
双曲线的渐近线方程为，则，两顶点之间的距离为，则.
故双曲线方程为：.
【小问2详解】
与双曲线有共同的渐近线，则设双曲线方程为，，
过点，则，解得，故双曲线方程为.
18. 直线经过两直线和的交点．
（1）若直线与直线平行，求直线的方程；
（2）若直线与圆相切，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）、
【解析】
【分析】（1）先求得交点坐标，然后根据直线平行求得直线的方程.
（2）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得正确答案.
【小问1详解】
由解得，所以交点为，
由于直线与直线平行，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
圆的圆心为，半径为，
所以直线与圆相切
当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，
，圆心到直线的距离，
解得，所以直线方程为，
.
综上所述，切线方程为、.
19. 已知圆：．
（1）当取何值时，直线：与圆相交得到的弦长最短；
（2）若直线过点且被圆截得的弦长为8，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据直线被圆截得弦长的算法可知，圆心和直线所过定点的连线与直线垂直时，所得弦长最短；
（2）按照斜率是否存在，分情况讨论进行求解.
【小问1详解】

设直线与圆相交于两点
∵：过定点．
∴当时，弦长取最小值．
∵，∴
∴时直线：与圆相交得到的弦长最短．
【小问2详解】
设直线与圆相交于两点
①当不存在时，依题意有：直线的方程为
∵圆：
∴弦长符合．
∴直线方程为符合题意．
②当存在时，设直线：即
∵弦长，，∴．
∵，∴．
解得．
∴直线方程为：即．
综上：直线方程为：或．
20. 在以下三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行求解：
①圆经过点；②圆心在直线上；
③圆与直线相切；
已知圆经过点，且__________
（1）求圆的方程；
（2）已知点，问在圆上是否存在点，使得？若存在，求出点的个数；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）答案见解析；
（2）存在，符合题意的点的个数是2个．
【解析】
【分析】（1）若选①，设圆的方程为，由条件列方程求可得结论；
若选②，先求直线的垂直平分线方程，与直线联立可求圆心坐标，再求圆的半径，由此可得圆的方程；
若选③，设圆的方程为，由条件列方程求可得圆的方程；
（2）设，由条件求点的轨迹方程，再求该方程与圆的交点个数即可.
【小问1详解】
若选①，设圆的方程为，
由已知可得，
解得，
所以圆的方程为，
若选②，
由已知的中点为的斜率为，
所以的中垂线方程为：，即，
又因为圆心在直线上，
联立，可得，
所以圆心的坐标为，
半径为，
所以圆的方程为：；
若选③，设圆的方程为，
因为圆经过点，
所以，
因为圆与直线相切，
所以，
解得，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
设，
由已知，
，即，
点在圆上，
圆的圆心的坐标为，半径，
又因点在圆上，
圆的圆心的坐标为，半径，
又，，
所以，
圆与圆相交，两圆有两个公共点，
符合题意的点的个数是2个．
21. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于和两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得，则抛物线方程可求；
（2）由（1）求出，的坐标结合，求出的坐标，代入抛物线方程求得值．
【详解】解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为，，故直线的方程为，
联立，可得．
，，△，
解得，．
经过抛物线焦点的弦，解得．
抛物线方程为；
（2）由（1）知，，，代入直线，
可求得，，即，，，
，，，，
，，
点在抛物线上，故，
解得：或．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属于中档题．
22. 平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且点（，）在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【详解】（Ⅰ）由题意知又，解得，
所以椭圆的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆的方程为.
（ⅰ）设由题意知.
因为又，即
所以，即
（ⅱ）设将代入椭圆的方程，可得，由可得①
则有所以因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积
设将直线代入椭圆的方程，可得，由可得②
由①②可知故.
当且仅当，即时取得最大值
由（Ⅰ）知，的面积为，所以面积的最大值为
考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.距离与三角形面积；4.转化与化归思想.