专题1.8 空间向量与立体几何全章综合测试卷（提高篇）（人教A版2019选择性必修第一册）--高二上学期期中数学复习

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一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023秋·河北保定·高二统考期末）在以下命题中：
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=2OA−2OB−2OC，则P，A，B，C四点共面
④若a，b是两个不共线的向量，且c=λa+μbλ,μ∈R,λ,μ≠0，则a,b,c构成空间的一个基底
⑤若a,b,c为空间的一个基底，则a+b,b+c+2a,c+a构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】直接利用空间基底，共面向量，共线向量的基础知识的应用求出结果．
【解答过程】空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.
①根据空间基底的定义，三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；故命题①正确．
②由空间基底的定义，若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线，若a，b不共线，则a，b共面，一定有向量与a，b不共面；故命题②正确．
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，当OP=2OA−2OB−2OC时，若P，A，B，C四点共面，则AP=λAB+μAC，OP−OA=λOB−OA+μOC−OA，OP=1−λ−μOA+λOB+μOC，1−λ−μ=2λ=−2μ=−2，方程组无解，故P，A，B，C四点不共面；故命题③错误．
④若a，b是两个不共线的向量，且c=λa+μb(λ,μ∈R,λ,μ≠0)，则向量c与a，b构成共面向量，{a,b,c}不能构成空间的一个基底；故命题④错误．
⑤利用反证法：若{a+b,b+c,c+a}不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，
设a+b=x(b+c)+y(c+a)(x,y∈R)，当x+y=0，a与b共线，当x+y≠0，得c=1−yx+ya+1−xx+yb，都有a,b,c共面，由于{a,b,c}为空间的一个基底，得出矛盾，所以{a+b,b+c,c+a}能够成空间的一个基底，故命题⑤正确．
真命题有3个.
故选：D.
2．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则PM⋅PN的最大值为( )
A．4B．12C．8D．6
【解题思路】设正方体内切球的球心为O，则OM=−ON，PM⋅PN=OM−OP⋅ON−OP =OP2−4，将问题转化为求OP的最大值.
【解答过程】设正方体内切球的球心为O，则OM=ON=2，OM=−ON，
∴PM⋅PN=OM−OP⋅ON−OP=OP2−OP⋅OM+ON+OM⋅ON＝=OP2−4，
又点P在正方体表面上运动，∴当P为正方体顶点时，OP最大，且最大值为正方体体对角线的一半，OPmax=12×3×42= 23，∴PM⋅PN的最大值为232−4=8.
故选：C.
3．（5分）（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a，其中00，则2+a+2+2b=5，
所以23a+4b+1a+3b=22a+2b+a+1a+2b+b=22+a+11+b
=22+a+22+2b=15(2+a+2+2b)22+a+22+2b
=154+2(2+a)2+2b+2(2+2b)2+a≥154+22(2+a)2+2b⋅2(2+2b)2+a=85，
当且仅当2(2+a)2+2b=2(2+2b)2+aa+2b=1，即a=12b=14时，等号成立，
故23a+4b+1a+3b的最小值为85.
故选：D.
5．（5分）（2023春·高二课时练习）设空间两个单位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p与向量OC=1,1,1的夹角都等于π4，则cs∠AOB=（ ）
A．2−34B．2+32
C．2−34或2+34D．2−32或2+32
【解题思路】首先根据OA为单位向量得到m2+n2=1，再利用OA与OC的夹角等于π4，得m+n=62.联立方程求解出m与n的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可.
【解答过程】∵空间两个单位向量OA=m,n,0，OB=0,n,p与向量OC=1,1,1的夹角都等于π4，
∴∠AOC=∠BOC=π4，OC=3，
∵OA⋅OC=OA⋅OC⋅cs∠AOC=62，
又OA⋅OC=m+n，∴m+n=62，
又OA为单位向量，∴m2+n2=1，
联立m+n=62m2+n2=1，得m2=2+34n2=2−34或m2=2−34n2=2+34，
∵ OA=m,n,0，OB=0,n,p，
∴cs∠AOB=n2=2±34.
故选：C.
6．（5分）（2023春·高二课时练习）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD．若PA=AD=AB=kBC(0