湖北省武汉市部分学校2024-2025学年高一上学期期中调研考试数学试题及答案

这是一份湖北省武汉市部分学校2024-2025学年高一上学期期中调研考试数学试题及答案，文件包含湖北省武汉市部分学校2024-2025学年高一上学期期中调研考试数学试卷原卷版docx、湖北省武汉市部分学校2024-2025学年高一上学期期中调研考试数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
祝考试顺利
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解一元二次不等式得B，利用交集的运算计算即可.
【详解】由得，即，
所以.
故选：B
2. 命题，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题为全称量词命题，该命题的否定为：，.
故选：A.
3. 下列关于幂函数的判断：①定义域为；②值域为R；③是偶函数；④在上单调递减.其中正确的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数的定义域，值域，单调性可得①②④，由函数的奇偶性可得③.
【详解】，
对于①，定义域为，故①错误；
对于②，由幂函数的性质可得值域为，故②错误；
对于③，，且定义域关于原点对称，所以是偶函数，故③正确；
对于④，由幂函数图象的性质可得在上单调递减，故④正确；
所以正确的个数为2个，
故选：C.
4. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若且，则
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的性质结合反例、作差法一一判定选项即可.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，因为，
若，则，但前述不等式等号不能同时成立，
则，故B正确；
对于C，若，则，所以C错误；
对于D，若，则，故D错误.
故选：B
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的定义域，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，有，可得，
故函数的定义域为，
对于函数，有，解得，
故函数的定义域为.
故选：B.
6. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（ ）
A B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得；
【详解】设，则为奇函数，
可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得
即，,
由可得，
即，
所以，
故选：A.
7. 已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】已知不等式转化后得出函数在上增函数，不等式转化为，然后由偶函数与单调性求解即可．
【详解】不妨设，所以，
则，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，
又是偶函数，所以，
即也是偶函数，则其在上单调递减，
因为，所以，
则，
所以，解之得．
故选：D
8. 已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将问题化为，在上有交点，结合函数单调性列不等式求参数范围.
【详解】设，，
由题意得，在上有交点，
又，易知，在上分别单调递增、单调递减，
所以，只需，即，可得的范围为.
故选：B
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为小时），得到了剩余电量（单位:百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（ ）
A. 测试结束时，该手机剩余电量为
B. 该手机在前内电量始终在匀速下降
C. 该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快
D. 该手机在进行了充电操作
【答案】ACD
【解析】
【分析】由函数图象逐一判断即可；
【详解】对于A，由图象可得，当时，，所以测试结束时，该手机剩余电量为，故A正确；
对于B，由图象可得该手机在前内电量下降不是一条直线，故不是匀速下降，故B错误；
对于C，由图象可得，在内电量下降的速度为，在内下降的速度为，由，故C正确；
对于D，由图象可得该手机在电量上升了，所以进行了充电操作，故D正确；
故选：ACD.
10. 已知函数关于的方程，下列判断中正确的是（ ）
A. 时方程有3个不同的实数根
B. 方程至少有2个不同的实数根
C. 若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为
D. 若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】画出函数图象，结合图象逐个判断即可.
【详解】方程根的问题可以转换成和图象交点问题，
对于A：由图象可知：时方程有3个不同的实数根，正确；
对于B：当时，结合图象可知，方程无解，故错误；
对于C：由图象可知和由3个交点时，的取值范围为，故正确；
对于D：假设，结合图象可知，所以，故正确.
故选：ACD
11. 已知正数，满足，则下列结论中正确的是（ ）.
A. B.
C. 的最小值为D. 与可以相等
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知条件，应用基本不等式及其“1”的代换求最值，注意取值条件，依次判断各项正误.
详解】由题设，当且仅当时等号成立，A对；
由，
当且仅当，即时取等号，B对；
由题设，则，而，
当且仅当取等号，显然等号不成立，C错；
若，即，则，整理得，
所以，满足题设，D对.
故选：ABD
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数的性质依次计算即可.
【详解】由题意可知.
故答案为：
13. 已知函数，若，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性计算即可.
【详解】易知，即为奇函数，
所以.
故答案为：.
14. 对于任意实数a，b定义当实数x，y变化时，令，则的最大值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得到，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意当时，必有，
故要使得取得最大值，必须当，
此时，
所以，
令，
则
，
当且仅当即时取等号，
所以，
所以，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，
（1）当时，求，；
（2）若“”是“”成立的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，解不等式求出集合，再求、；
（2）根据充分条件的定义可得集合是集合的子集，分、两种情况讨论，由此可构造不等式组求得结果.
【小问1详解】
当时，，
所以，，或，
求；
【小问2详解】
，
若“”是“”成立的充分条件，则，
若，则，解得，满足；
若，则，解得，
综上，实数的取值范围为.
16. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）讨论函数在区间上的单调性并证明.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2）单调递增，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）直接利用奇偶性的定义证明即可；
（2）利用单调性的定义证明即可.
【小问1详解】
函数是奇函数，
由知其定义域为，
而，则为奇函数；
【小问2详解】
单调递增，
设，则
，所以，
即函数在区间上单调递增.
17. （1）对于正实数求证:;
（2）已知函数，利用（1）的结论，求函数的最小值，并求出此时对应的的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值，此时
【解析】
【分析】（1）作差，结合基本不等式求解即可；
（2）由条件可得，再化为，结合（1）的结论求解即可；
【详解】（1），①
因为于正实数所以，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以①，即.
（2）由题意可得，解得，
，
因为，所以，
故，即，
由（1）可得，，
当且仅当即时取等号，
又，所以，此时.
18. 在日常生活中，经济学家们通常将函数的边际函数定义为．现已知某高科技企业每月生产某种特殊设备最多11台，根据以往经验：生产台（，）这种特殊设备的月收入函数为（单位：千万元），其月成本函数为（单位：千万元）．求：
（1）月收入函数的最小值及此时的值；
（2）月成本函数边际函数的定义域及最大值（精确到0.01千万元）；
（3）生产台这种特殊设备的月利润的最小值（月利润=月收入-月成本）．
【答案】（1）最小值为88千万元，此时
（2），，（千万元）
（3）（千万元）
【解析】
【分析】（1）由给定函数模型，利用基本不等式求解即可；
（2）由给定函数直接求解定义域；由函数的单调性求最值即可；
（3）由月利润=月收入-月成本，再令，分别求出，，，即可；
【小问1详解】
，
当且仅当，即时取到等号，
即的最小值为88千万元，此时；
【小问2详解】
由，可知定义域为，，
，，，
由函数单调性可知：在，上单调递增，
当时，（千万元）；
【小问3详解】
，
，，．
令，
，，，，
（千万元），此时．
19. 对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数.
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”；
（2）若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围;
（3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值.
【答案】（1）最小值，最大值为；是
（2）
（3）8
【解析】
【分析】（1）结合二次函数的图象即可求得；
（2）根据题意，讨论对称轴和区间的位置关系，，，，分别求得即可；
（3）根据题意，在对称轴取得最小值，讨论对称轴和区间的最大值，再根据和，分别求得.
【小问1详解】
根据题意：，则，
因为，则当时，，
当时，，且，
即函数为上的“聚集函数”.
【小问2详解】
①若，则，，
根据题意：，无解；
②若，则，，
根据题意：，解得：；
③若，则，，
根据题意：，解得：；
④若，则，，
根据题意：，解得：无解；
综上：实数的取值范围为：.
【小问3详解】
因为，则，
①若，则由图象可得：，
，设，即求的最大值.
，
因为，则，，代入上式，得，则.
②若，则由图象可得：，
，设，即求的最大值.
，
因为，则，，代入上式，得，则.
综上：的最大值为，当且仅当时取等号，
即或时取等号.
因此的最大值为.
【点睛】含参数的二次函数在给定区间上求最值问题主要有三种类型：
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考虑对称轴和区间的关系，当含有参数时，要根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，当确定了对称轴和区间的关系，就明确了函数的单调性，从而确定了函数的最值.