河南省南阳市六校2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试题（解析版）

这是一份河南省南阳市六校2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了 已知曲线，则等内容，欢迎下载使用。
命题学校：桐柏一高 审题学校：南阳八中
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线的倾斜角小于，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由倾斜角与斜率的关系求解.
【详解】由，倾斜角小于，所以，即，
故选：A.
2. 过点的圆的一般方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆的方程为，根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到圆的一般方程.
【详解】由题意，设所求圆一般方程为，
因为圆过点，，，
可得，解得，
所以所求圆的一般方程为.
故选：B.
3. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）
A. 2B. 10C. 2或9D. 2或10
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的定义求解.
【详解】，，，，
由，由得或10，
又.
所以.
故选：B.
4. 已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆的标准方程及点与圆的位置关系判断.
【详解】由圆的方程可化为， ，又点在圆外，则，，综上.
故选：D.
5. 若直线与直线平行，则两直线间距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据两直线平行的充要条件求出，再根据平行直线间的距离公式计算即可.
【详解】因为，所以，解得或，
经检验，当时两直线重合，
所以，
则，即，
所以两直线之间的距离为.
故选：A.
6. 已知动圆过点，且与圆内切，则点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两圆内切半径关系可得： ，根据椭圆的定义可得点的轨迹方程.
【详解】设动圆的半径为，则，， ， ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，故长半轴，半焦距 ,则短半轴 点轨迹方程为.
故选：C.
7. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由得，
直线经过点，
设，，知，，
当与圆相切时，
，解得或，
由数形结合知直线与半圆形有两个公共点，则或，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据条件求得，由椭圆定义得，从而利用求得离心率.
【详解】设椭圆的半焦距为，依题意，，又，
如图，

设，四边形为等腰梯形，
，即，；
由椭圆定义知，，，
解得.
故选：B.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知曲线，则（ ）
A. 若，则曲线表示圆，且半径为
B. 若，则曲线表示双曲线，且渐近线为
C. 若，，则曲线表示两条直线
D. 若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆
【答案】AC
【解析】
【分析】根据方程表示的曲线确定参数的关系，然后由方程研究曲线的性质判断各选项.
【详解】选项A：若，则，表示圆，且半径为，故A正确；
选项B：若，，则，其渐近线为，
若，，则，其渐近线为，故B错误；
选项C：若，时，，即表示两条直线，故C正确；
选项D：当时，，表示焦点在轴上的椭圆，故D错误.
故选：AC.
10. 已知，是椭圆的两个焦点，是该椭圆的上顶点，点是椭圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 该椭圆的离心率为B.
C. 的最大值为2D. 内切圆半径的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由椭圆方程求得后得到离心率判断A，由椭圆性质判断B，根据椭圆方程判断C，利用三角形面积公式判断D.
【详解】不妨设，分别是左、右焦点.
选项A：由椭圆方程可得，，，所以该椭圆的离心率为，故A正确；
选项B：，即：，故B正确；
选项C：设，，则， ∴当时最大，最大值为，故C错误；
选项D：设内切圆半径为，则，故.当且仅当点为短轴顶点时，取得最大值，所以内切圆半径的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
11. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（ ）
A. 的最小值是
B. 的最大值是
C. 四边形面积的最小值为
D. 当最小时，直线的方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：利用圆心到直线的距离减去半径可得到；对于B：当与圆相切且直线时，最大，计算此时的即可；对于C：当直线时，最小，计算此时的四边形面积即可；对于D：当直线时，最小，利用以线段为直径的圆与圆的相交弦直线即为直线的方程，两圆作差即得到此时的直线的方程.
【详解】选项A：，故A正确；
选项B：当与圆相切且直线时，最大，
此时，，，，故B正确；
选项C：由，
当与直线垂直，最小，最小，
，
，故C错误；
选项D：由题意知，则，
，即，
，
，
当最小，取得最小值，此时垂直于直线，
所以直线方程为.，联立，解得，即，
则以为直径的圆的方程为，
即为四边形的外接圆，方程为，
由四边形的外接圆与圆相交于，
两圆方程相减即为的方程，故D正确.

故选：ABD.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知直线被圆所截得的弦长为，则________.
【答案】或
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程求得圆的圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，列出关于的方程，即可求解.
【详解】由圆的方程，可得，
可得圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，则，
因为直线被圆所截得的弦长为，
由圆的弦长公式，可得，即，即，
整理得，解得或.
故答案为：或.
13. 已知为椭圆上一动点，，为椭圆的左、右焦点，点，则周长的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆方程得到参数，即得到焦点坐标，求得，然后由三角形三边关系求得周长的最小值.
【详解】，，，，，
法一：，由，
的周长的最小值为.
法二：的周长的最小值为.

故答案为：.
14. 已知，是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的性质和双曲线的对称性可知四边形为矩形，则，利用双曲线的定义和勾股定理列式得，代入列不等式化简得，解不等式即可求解离心率范围.
【详解】如图

由题意知四边形为矩形，所以且，所以，
因为，所以，
所以，即：，
所以 ，即： ，所以 ，又，所以.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且与轴垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，，证明点在椭圆上，并求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）证明见解析，.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列式求出即得.
（2）将点的坐标代入椭圆方程计算得证；再利用两点间距离公式，结合余弦函数有界性求出范围.
【小问1详解】
由与轴垂直得，即半焦距，
由点在椭圆上，得，解得，
所以椭圆的方程是.
【小问2详解】
由点，得，
所以点在椭圆上；
依题意，
，而，则 ，
所以的取值范围是.
16. 双曲线的左、右焦点分别为，，其离心率，且双曲线过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线上一点满足，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代点的坐标入曲线方程，结合离心率和的关系建立方程组，求得的值，即可得到曲线方程；
（2）由双曲线上的点到两焦点距离差为，两焦点间的距离，结合余弦定理即可求得，然后得到三角形面积.
【小问1详解】
由题意知： ，
解得，
故双曲线的方程为：.
【小问2详解】
由题意得，，
在中，由余弦定理得：
即：，，
，
所以的面积为.
17. 已知直线.
（1）设直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）中，为直线所过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到直线不过原点，且直线的斜率为，得出方程，求得的值，进而求得直线的方程；
（2）由直线的方程，求得点坐标，再由边上的高的方程求得，得到的方程，联立方程组，求得的坐标，设，得到，代入求得，联立方程组，求得，进而求得的方程.
【小问1详解】
由直线在两坐标轴上截距相等，
则且，且直线不过原点，
要使得直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的斜率为，
即，解得，所以直线的方程为.
【小问2详解】
由，可得
由，解得，所以，
因为边上的高所在直线的方程为，可得，
所以直线的方程为，即，
又因为所在直线的方程为，
由，解得，所以，
设，则中点，
将其代入，可得，整理得，
又由，解得，所以，
所以直线的方程为，即.
18. 已知圆经过点，点，且圆心在直线上.
（1）求圆标准方程；
（2）设，，若圆上存在点，使，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设圆心，建立方程组即可求得圆心坐标，然后求出半径长，从而写出圆的方程；
（2）由构造圆，由两个圆有交点建立不等式即可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
设圆的圆心为，则
解得
圆的半径
所以圆的标准方程是
【小问2详解】
，点在以为直径的圆上
设线段的中点为，则，圆
又点在圆上，圆与圆有公共点
即：
两边平方解得：
实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了圆的相关性质，（1）可以设圆心由圆的性质建立方程即可得到答案；（2）中根据得到三点共圆，由两圆有交点建立不等式即可求得结果.
19. 已知定点，，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）设动点坐标为，根据题意列出等量关系并化简即可求得其轨迹方程；
（2）讨论直线斜率是否存在，先求出其中一条直线斜率不存在时四边形的面积.再设出两条直线的方程，求出圆心到两直线的距离，由垂径定理求得两条弦长，然后得到四边形面积的表达式.先讨论当时的面积，再当时利用基本不等式求出其最大值.然后得出四边形的最大值.
【小问1详解】
设动点的坐标为，
因为，，且，
所以，
整理得，即：，
所以动点轨迹的方程为，
【小问2详解】
当直线与轴重合时，，，，
当直线不与轴重合，设直线的方程为，
则直线的方程为，
设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为，
则，，，
所以，
，
所以，
当时，，
当时，，
当且仅当时等号成立，
综上所述，四边形面积的最大值为7.
【点睛】本题考查了圆的方程与直线方程，在讨论动直线的时候需要考虑直线的斜率是否存在.