四川省达州中学2026届高三上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. （1–i）4=（ ）
A. –4 B. 4
C. –4i D. 4i
3. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
4. 基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，
世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累
计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0 =1+rT.有学者基于已有
数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln2≈
0.69) （ ）
A. 1.2 天 B. 1.8 天
C. 2.5 天 D. 3.5 天
5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角
坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 是阴影部分（包括边界）的动点，则
的最小值为（ ）
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A. B. C. D. -1
6. 等比数列 的公比为 q，前 n 项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙 充分条件也不是乙的必要条件
7. 若曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处的切线
斜率为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 10
8. 已知函数 为 上的奇函数， ，且 ，则
（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离
是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已知 的外心为 ，重心为
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，垂心为 ，且 ， ，以下结论正确的是（ ）
A
B.
C.
D. 若 ，则
11. 已知点 F 是抛物线 C： 的焦点，点 A 是抛物线 C 的准线与 x 轴的交点，过点 A 且斜率为 k 的直
线 l 与 C 交于 M，N 两点，则下列说法正确的是（ ）
A. k 的取值范围为 B.
C. 若 ，则 或 D. 点 M 关于 x 轴的对称点在直线 NF 上
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 如图，正方体 ABC A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 C1D1，A1D1 中点，则异面直线 DE 与 AF 所成角
的余弦值是_________．
13. 已知 为公差为 1 的等差数列，且 依次成等比数列，则 ______．
14. 设 ，不等式 在 上恒成立，则 的最小值_________________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 满足： ，数列 单调递增等比数列， ，且
成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
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16. 已知双曲线 与 有相同的渐近线，且经过点 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知直线 与双曲线 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆 上，
求实数 的值．
17. 如图 1，在 中， ， ， 分别为边 ， 的中点，且 ，将
沿 折起到 的位置，使 ，如图 2，连接 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）线段 上一动点 满足 ，判断是否存在 ，使二面角 的正弦值为
，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
18. 泊松（Pissr）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊
松（Simen-Denis Pissn）在 1838 年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的
次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站
台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA 序列的变异数、放射性原子核的衰变数、
激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机
变量 X 服从参数为 的泊松分布（记作 ，则其概率分布为 ， ，
其中 为自然对数
（1）对于二项分布，当 n 很大，p 很小，而乘积 大小适中，二项分布就可以近似的看作参数
的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为 0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以 X 记产品中的
次品数.求在 1000 个产品中至多有 1 个次品的概率（用泊松分布近似计算）；
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（2）已知 ， 为正整数，若 的最大值是 ，求 的值；
（3）若 ，试比较 与 0.99 的大小，并说明理由.
19. 设 ， .已知函数 ， .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）已知函数 和 的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证： 在 处的导数等于 0；
（ii）若关于 x 不等式 在区间 上恒成立，求 b 的取值范围.
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