2025-2026学年浙江省杭州市文澜中学九年级（上）第二次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年浙江省杭州市文澜中学九年级（上）第二次月考数学试卷-自定义类型，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（ ）
A. 点A在圆上B. 点A在圆外C. 点A在圆内D. 不确定
3.博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（ ）
A. B. C. D.
4.关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向上B. 对称轴是直线
C. 抛物线的顶点坐标是D. 当时，y随x的增大而增大
5.正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（）
A. 对角相等B. 对角线互相垂直C. 对边平行且相等D. 对角线相等
6.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
7.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的直角边在x轴上，分别与反比例函数（）的图象相交于点C、D，且C为的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连接．若的面积为，则k的值为（ ）
A. B. C. 3D. 6
9.如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（ ）
A. 4B. C. 6D.
10.在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ）
A. 当且时，则B. 当时，则
C. 当且时，则D. 当时，则
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次函数的图象与y轴的交点坐标是 ．
12.如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，为半径的弧，，则的长是 ．
13.在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是 ．
14.如图，在边长为2的正方形中，点E在对角线上（不与点B，D重合），于点F，连接，，则线段的长为 ．
15.一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大．
16.如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，过点D作，点E恰好是翻折后的的中点，则的度数为 ，的值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知一个二次函数的图像经过点，求这个函数的表达式，并写出这个函数图像的对称轴．
18.(本小题8分)
如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．求证：．
19.(本小题8分)
小杭在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gā）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小杭记录了拉力的大小F与l的变化，如下表：
(1) 小杭通过分析表格数据发现， F是l的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(2) 根据以上数据和图象，判断F是l的什么函数？直接写出F关于l的函数表达式（不要求写自变量取值范围）．并判断当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由．
20.(本小题8分)
如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上．
(1) 若点B是的中点，求证：；
(2) 若，，求的半径r．
21.(本小题8分)
已知二次函数（m为常数）．
(1) 若点在该函数图像上，则 ；
(2) 证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(3) 若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
22.(本小题8分)
如图，点E是矩形的边延长线上一点，连接，交于点G，作交于点F，．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，求的长．
23.(本小题8分)
许多数学问题源于生活．如图1是撑开后的户外遮阳伞，它的外形可以近似地看成抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨，的交点．点为抛物线的顶点，点在抛物线上，关于轴对称．点、的坐标分别是．
(1) 直接写出点B的坐标；
(2) 求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）；
(3) 如图2，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向左平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求的值．
24.(本小题8分)
如图1，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点，作于点．
(1) 求证：；
(2) 如图2，若，平分，则的值为 ；
(3) 猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】5
16.【答案】
​​​​​​​

17.【答案】解：设二次函数的解析式为：，
将代入解析式可得：
，
解得：，
二次函数的解析式为，
对称轴为直线．

18.【答案】证明：如图，连接，
是圆的直径，
，
，
．

19.【答案】【小题1】
解：画出与的函数图象如图所示：
【小题2】
解：当的长增大时，拉力减小，理由如下：
、都是正数，
这条曲线是反比例函数的一支，
，
其函数表达式为，
，
在第一象限内，随的增大而减小，
即当的长增大时，拉力是减小．
所以是的反比例函数，解析式为，当OA的长增大时，拉力F是减小．

20.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：连接,
设的半径为r，，
则，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径为．

21.【答案】【小题1】
2
【小题2】
解：，
，
，
，
该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
【小题3】
解：的对称轴为直线，
二次项系数，
二次函数图像开口向上，
，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，
即，
或．

22.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【小题2】
解：如图，连接，

∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∴，解得：．

23.【答案】【小题1】
根据关于轴对称可求B的坐标；
解：∵关于轴对称，，
∴，
故答案为：；
【小题2】
解：由题意可设抛物线对应的函数关系式为，
将点代入得，
解得，
∴抛物线对应的函数关系式为；
【小题3】
设平移后的抛物线对应的关系式为，
当时，，
此时抛物线与y轴的交点设为，
∵平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，且，
∴，
∴，
解得（负值已舍）或（负值已舍），
∴m的值为6或．

24.【答案】【小题1】
证明：连接，如图，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵是的直径，弦于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
4
【小题3】
解：线段之间的数量关系为．理由：
在的延长线上截取，连接，如图，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的直径，弦，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
即．
点A与点O的距离
1
1.5
2
2.5
3
拉力的大小
300
200
150
120
100