广东省八校联盟2025-2026学年高二上学期教学质量检测（一）-数学试题（含解析）

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注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“正面朝上”的概率和频率分别是（ ）
A. 0.5，0.5B. 0.51，0.51C. 0.49，0.49D. 0.5，0.49
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率的计算方法以及概率的含义，即可求得答案.
【详解】抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，
故“正面朝上”的频率为，
每次抛掷硬币时，正面和反面向上的机会均等，故“正面朝上”的概率为0.5.
故选：D
2. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解.
【详解】
故选：A
3. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（ ）
A. A与B是对立事件B. B与C是对立事件
C. A与C是互斥事件D. A与B是互斥事件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A：当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误；
对于选项B：事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确；
对于选项C：当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，所以C错误；
对于选项D：当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误.
故选：B．
4. 在空间直角坐标系中，已知点，若点P与点A关于平面对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先得到，从而得到，利用模长公式得到答案.
【详解】若点与点关于平面对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等．
又，则，又，所以，
.
故选：A
5. 已知随机事件中，与互斥，与对立，且，，则（ ）
A. 0.6B. 0.7C. 0.8D. 0.9
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥事件对立事件的概率公式进行求解.
【详解】由于与对立，，则，
又与互斥，，则.
故选：B
6. 在三棱锥中，若，，，则（ ）
A. B. 1C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可.
【详解】因为，，，
所以.
故选：B
7. 已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可.
【详解】因为是空间的一个单位正交基底，
所以，，
则，
，
所以空间向量在方向上的投影向量为，
故选：D
8. 如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立．A，B同时正常工作或C正常工作，则该电子元件能正常工作，那么该电子元件能正常工作的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式列式求解.
【详解】设上半部分正常工作为事件M，下半部分正常工作为事件N，该电子元件能正常工作为事件E，
则，，而，
因此，即该电子元件能正常工作的概率是.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（ ）
A. 身高在A层次中的女生人数比男生多
B. 身高在B层次中的人数最多
C. 身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15%
D. 身高在E层次中的男生有3人
【答案】BCD
【解析】
【分析】结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为60人，
样本中A层次身高的男生人数为人，女生人数为4人，
所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A错误；
对于B，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的人数最多，
所以样本中B层次身高人数最多，B正确；
对于C，样本中D层次身高的女生有8人，占女生人数的比例为，C正确；
对于D，样本中E层次身高的男生有人，D正确.
故选：BCD
10. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（ ）
A. B.
C. 侧棱与底面所成角的余弦值为D. 直线AM与CN所成角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】把分别用表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断ABD，连接，在上取点，使得，连接，则平面，解即可判断C.
【详解】由正四面体ABCD，可得，
对于A，，
则，
所以，故A正确；
对于B，，
则
，故B错误；
对于D，，
则，
，
设直线所成角为，
则，
所以直线所成角的余弦值为，正弦值为,故D正确；
对于C，连接，在上取点，使得，连接，
则平面，
则即为直线与平面所成角的平面角，
在中，，
则，
由正四面体的结构特征可得，直线与平面所成角的相等，
所以侧棱与底面所成角的余弦值为，故C正确.
故选：ACD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知事件，若，，且，则
B. 已知事件，若，且与相互独立，则
C. 已知事件，若，，且，则与相互独立
D. 某班对学生体重进行抽样调查，抽取男生30人，平均数和方差分别为55，15；女生20人，平均数和方差分别为45，20，则总体样本的方差为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，根据条件得，即可求解；对B和C，利用相互独立事件的概率公式，再结合选项条件，即可求解；对D，利用分层抽样方差计算公式，结合选项条件，直接求出方差，即可求解.
【详解】对选项A，因为，所以，则，所以选项A正确；
对于选项B，因为与相互独立，，则，
又，所以选项B错误；
对于选项C，因为，
又，则，
所以与相互独立，故选项C正确，
对于选项D，样本总体平均数，
总体样本的方差为，所以选项D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 现需要对某种疫苗进行检测，从800支疫苗中抽取60支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800支按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第10列的数开始向右读，依次读取三位数，则得到的第4个样本个体的编号是________.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
【答案】704
【解析】
【分析】根据随机数表读取编号的方法，即可求得答案.
【详解】按照所给随机数表，依次读取的个体编号为157，245，506，704，
所以得到的第4个样本个体的编号是704.
故答案为：704
13. 从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用列举法可得总样本空间为10个，符合的有7个，利用古典概率即可求解.
【详解】设3个红球分别为，2个黑球分别为，
则试验的样本空间为，共10个样本点，
选出的2个球中至少有1个黑球包含的样本点为，共7个，
则所求概率为．
故答案为：.
14. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据向量以为基底时的坐标，得到关于，，的表达式，然后设以为基底时的坐标为，得到关于，，的表达式，最后通过向量相等建立方程组，求解方程组得到，，的值，即为所求坐标.
【详解】因为向量以为基底时的坐标为，所以．
设向量在新基底下的坐标为，
则，
即
则，解得，
所以以为基底时的坐标为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，其中第15题和第19题为选做题，从选做1和选做2中任选一题作答.两题都答题者以选做1为准.
15. 已知，，，，，求：
（1）的值；
（2）与夹角的余弦值.
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）由向量平行及垂直的坐标表示即可求解；
（2）由向量夹角的坐标公式即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
解得，，
所以，
又，则，即，得，
于是，则.
【小问2详解】
由（1）得，
设与的夹角为，所以，
所以与夹角的余弦值为.
16. 在平面直角坐标系中，已知三点.
（1）若直线过点C且与直线AB垂直，求直线的方程；
（2）若直线经过点A，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出直线的斜率，利用垂直关系求出直线的斜率及方程.
（2）按截距是否为0分类，再结合直线的截距式方程求解.
【小问1详解】
由，得直线的斜率为，
由，得直线的斜率为，
所以直线的方程为，即
【小问2详解】
设直线在上的截距为，
当时，直线过原点及点，方程为，即；
当时，直线的方程为，而直线过点，则，直线的方程为，
所以直线的方程为或.
17. 为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求恰有1人成绩在的概率．
【答案】（1），平均数为分，中位数为分；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数，根据中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值；
（2）分析可知后三组中所抽取的人数分别为，将这人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
由已知可得，解得，
所抽取的名学生成绩的平均数为（分），
由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，
所以，中位数，由题意可得，解得（分）.
【小问2详解】
由（1）可知，后三组中的人数分别为，故这三组中所抽取的人数分别为，
记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生为，
则从中任抽取人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、，共种.
其中恰有人成绩在为、、、、、、、共种.
故所求概率为.
18. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求：
（1）的长；
（2）直线和所成角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先设，，，得出，利用向量数量积的运算律计算即得；
（2）利用空间向量的夹角公式计算即可.
【小问1详解】
如图，连接，设，，，
依题意，
而，
，
所以.
【小问2详解】
连接，，
所以
，
又，，
所以，
故直线和所成角的余弦值为.
19. 甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）若甲先投，求投篮结束时，乙只投了2个球的概率；
（2）为使乙获胜的概率更大，应该由谁首次投篮？
【答案】（1）
（2）乙
【解析】
【分析】（1）设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件C，由互斥事件概率的加法公式和独立事件的乘法公式计算可得答案；
（2）由互斥事件概率的加法公式和独立事件的乘法公式，分别求解甲和乙首次投篮时乙获胜的概率，比较大小即可求解.
【小问1详解】
根据题意，设，分别表示甲、乙在第次投篮投中，
则，，
记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件C，
则
．
【小问2详解】
若由甲首次投篮，设“乙获胜”为事件，
则
；
若由乙首次投篮，记“乙获胜”为事件E，则
.
因为，所以为使乙获胜的概率更大，应该由乙首次投篮.
20. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.
（1）求证：；
（2）为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论；
（2）假设存在使得平面，设，根据线面垂直可得，求出参数的值，即可得结论；
（3）由为的重心，可得，利用向量的运算推出，再根据、、、四点共面，则存在，使得，继而得，结合空间向量基本定理即可证明结论.
【小问1详解】
证明：以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
，，，
则、、、、，
是的中点，则，，，
，，即.
【小问2详解】
假设存在使得平面，
由（1）得，，
设，其中，
则，，
因为平面，平面，
故，平面，
若平面，则只需，解得，，
故存在点，使得平面，此时.
【小问3详解】
证明：因为为的重心，则，
即，可得，
因为为上一点，且，则，
因为、、、四点共面，则存在，使得，
即，
所以，
又因为，且、、不共面，
由空间向量基本定理可得，
因此为定值.
21. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ． 平面 平面 分别是棱 的中点， 分别在线段 ， 上，且 ．
（1）证明： 四点共面；
（2）证明： 平面 ；
（3）设直线 与直线 交于点 ，当直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先证明，，可得， 从而可得结论；
（2）取AB中点为I，连接CI，先证明与，再利用线面垂直的判定定理可得平面 ；
（3）取BC中点为N，以A点为坐标原点，再分别以AN，AD和AP所在直线为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，求出直线MC的方向向量与平面EFGH的法向量，利用线面角的正弦值列方程可求 的值．
【小问1详解】
，分别是棱，的中点，，
，，
，，，，四点共面．
【小问2详解】
底面ABCD是菱形，，
，是等边三角形，
取AB中点为I，连接CI，则，
又平面平面，且平面平面，
平面PAB，又PA平面PAB，，
又，且，平面，
平面．
【小问3详解】
平面PBC，平面PAC，又平面PBC平面PAC，
，即直线MC就是直线PC．
取BC中点为N，以A点为坐标原点，再分别以AN，AD和
AP所在直线为轴，轴和轴建立如图6所示的空间直角
坐标系：
则，，，，
，，
设，则，，
由可得：
，，
设平面EFGH的一个法向量为，
则取，则，，
，
设直线MC与平面EFGH所成角为，
则，
化简得：，解得：或，
又，．