初中数学三元一次方程组精品习题

这是一份初中数学三元一次方程组精品习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.我们探究发现，关于x，y的方程x+2y=3的正整数解有1组，x+2y=5的正整数解有2组，x+2y=7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z=15的正整数解有( )
A. 7组B. 21组C. 28组D. 42组
2.已知a，b，c为三个非负实数，且满足a+b+c=203a+4b−2c=60，若W=a+5b−c，则W的最大值为( )
A. 20B. 40C. 60D. 80
3.方程组x+y=−1,x+z=0,y+z=1的解是 ( )
A. x=−1,y=1,z=0B. x=1,y=0,z=−1C. x=0,y=1,z=−1D. x=−1,y=0,z=1
4.由方程组2x+y=3,2y+z=4,2z+x=5可以得到x+y+z的值等于 ( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
5.三元一次方程组x−y=1,y−z=1,x+z=6的解是( )
A. x=2,y=3,z=4B. x=2,y=4,z=3C. x=3,y=2,z=4D. x=4,y=3,z=2
6.已知三元一次方程组x+y=−4,y+z=6, z+x=8,则x+y+z的值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.下列方程组不是三元一次方程组的是( )
A. x+y=1,2y+z=−2,3y=6B. x2−4=0,y+1=x,xy−z=−3C. x=2,2y=−3,x−z=1D. y−x=−1,x+z=3,2y−z=0
8.若点P(x,y)满足方程组x+y=3x+z=−4y+z=5，则点P在第( )象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
9.下列方程组中，不是三元一次方程组的是( )
A. x+y=1,2x+z=−2,3y=6B. x2−4=0,y+1=x,xy−z=−3C. x=2,2y=−3,x−z=1D. y−x=−1,x+z=3,2y−z=0
10.若a−b+c=5，a+b+c=−3，则c2−ab的值满足( )
A. 小于0B. 小于或等于0C. 大于0D. 大于或等于0
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如果关于x的方程x3+ax2+bx+c=0的根分别为−2，1，3，那么a的值是 ．
12.已知x，y，z为非负实数，且满足x+y+z=30，3x+y−z=50.代数式5x+4y+2z的最大值是 ．
13.三元一次方程组x+y=7,x−z=15,2x+z=6的解是 ．
14.如图，每条边上的三个数之和都等于16，那么a，b，c这三个数分别为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
解方程组：
(1)3m−4n=79m−10n+25=0；
(2)x+y+z=82x−y+z=6−x+2y−z=−2．
16.(本小题8分)
解下列方程组．
(1)2x+4y=5x=1−y；
(2)2x−5y=−74x+3y=25；
(3)2x+y+z=36x−y=12x−y+z=18．
17.(本小题8分)
解方程组：x−y−z=2x+5y+7z=18x−y+2z=17．
18.(本小题8分)
解方程组：
(1)x3−y4=13x−y=−1；
(2)x+3y+2z=32x−3y−z=−24x+3y−3z=−2．
19.(本小题8分)
在等式y=ax ​2+bx+c中，当x=1时，y=−2；当x=−1时，y=20；当x=2时，y=−10；求当x=−2时，y的值．
20.(本小题8分)
在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=−2，当x=−1时，y=20，当x=2时，y=−10.求当x=−2时，y的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：关于x，y的方程x+2y=3的正整数解有1组，即1=3−12，
x+2y=5的正整数解有2组，即2=5−12，
x+2y=7的正整数解有3组，即3=7−12，
……，
x+2y=n(n为正奇数)，其正整数解有n−12组，
已知关于x，y，z的方程x+2y+2z=15，
设y+z=k，
则x+2k=15，
其正整数解的组数为15−12=7，
∵x为正整数，
∴k=1，2，3，4，5，6，7，
∴y+z=1，2，3，4，5，6，7，
∵y，z都是正整数，
∴当y+z=1时，不符合题意，
当y+z=2时，有1组正整数解，
当y+z=3时，有2组正整数解，
当y+z=4时，有3组正整数解，
当y+z=5时，有4组正整数解，
当y+z=6时，有5组正整数解，
当y+z=7时，有6组正整数解，
则1+2+3+4+5+6=21(组)，
即关于x，y，z的方程x+2y+2z=15的正整数解有21组，
故选：B．
根据二元一次方程组的解的个数总结规律，然后令y+z=k，从而求得k的整数解的个数，再根据y，z为正整数分别确定k取不同的解时y+z=k的正整数解的个数，然后将它们相加即可．
本题考查解三元一次方程，二元一次方程的解，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：a+b+c=20①3a+4b−2c=60②，
由①得，c=20−a−b，
将c代入②：3a+4b−2(20−a−b)=60，
∴5a+6b=100，
∴a=20−65b，
代入c的表达式：c=20−(20−65b)−b=15b，
∵a，b，c为三个非负实数，
∴a=20−65b≥0，c=15b≥0，
∴0≤b≤503，
∵W=a+5b−c=(20−65b)+5b−15b=20+185b，
∴当b=503时，W取得最大值：
此时W=20+185×503=20+60=80．
故选：D．
先通过方程组消元，消去变量c，建立a与b的关系，再将a的表达式代入c的表达式，得到c与b的关系式，利用非负条件限制b的取值范围(b最大为503)，再把a，c代入W的表达式，化简为只含b的表达式，最终取b的最大值计算W的最大值即可得出结果．
本题考查了解三元一次方程组及不等式约束条件下的最值问题，掌握其相关知识点是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】略
4.【答案】B
【解析】略
5.【答案】D
【解析】解：x−y=1①y−z=1②x+z=6③，
①+②得：x−z=2④，
③+④得：2x=8，
解得：x=4，
把x=4代入④得：z=2，
把x=4代入①得：y=3，
则方程组的解为x=4y=3z=2，
故选：D．
方程组中前两个方程相加消去y，与第三个方程联立求出x与z的值，进而求出y的值即可．
此题考查了三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
6.【答案】C
【解析】略
7.【答案】B
【解析】略
8.【答案】B
【解析】解：x+y=3①x+z=−4②y+z=5③，
①−②得：y−z=7④，
③+④得：2y=12，
解得：y=6，
将y=6代入①得：x+6=3，
解得：x=−3，
则P(−3,6)在第二象限，
故选：B．
利用加减消元法解方程组，然后根据各象限内的点的坐标特征即可求得答案．
本题考查解三元一次方程组，点的坐标，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三元一次方程组的概念，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键．
利用三元一次方程组的定义判断即可．
【解答】
三元一次方程组是三个整式方程，含有三个未知数，并且每个方程中未知数的次数都是1．
B中未知数的最高次数是2，故B不是三元一次方程组．
10.【答案】D
【解析】解：①+②得2a+2c=2，
则a=1−c，
将a=1−c代入②得：1−c+b+c=−3，
解得：b=−4，
则c2−ab
=c2+4(1−c)
=(c−2)2≥0，
故选：D．
通过联立方程消去变量，求出b的值，再用a与c的关系代入表达式c2−ab，转化为完全平方形式判断符号．
本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握完全平方公式的应用是关键．
11.【答案】−2
【解析】解：x3+ax2+bx+c=0的根分别为−2，1，3，
代入得−8+4a−2b+c=01+a+b+c=027+9a+3b+c=0，
解得a=−2．
故答案为：−2．
把方程的根代入方程，解三元一次方程组即可求解．
本题考查了方程的解，消元法解三元一次方程组是解题的关键．
12.【答案】130
【解析】解：将已知的两个等式联立成方程组x+y+z=30①3x+y−z=50②，
∴①+②得，4x+2y=80．
y=40−2x．
将y=40−2x代入①，x+20−2x+z=30，
可解得z=x−10．
∵y，z均为非负实数，
∴40−2x≥0x−10≥0．
解40−2x≥0，得x≤20，
解x−10≥0，得x≥10，
∴解得不等式组的解集为10≤x≤20，
设u=5x+4y+2z=5x+4(40−2x)+2(x−10)=−x+140．
当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大．
故当x=10时，u有最大值130．
故答案为：130．
将x+y+z=30，3x+y−z=50联立，得到y和z的关于x的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，再将u转化为关于x的表达式，将x的最小值代入解析式即可得到u的最大值．
此题考查了代数式的最值．将y、z的转化为关于x的表达式，求出u关于x的表达式是解题的关键．
13.【答案】x=7,y=0,z=−8
【解析】解：x+y=7①x−z=15②2x+z=6③，
②+③得：3x=21，
解得：x=7，
把x=7代入①得：y=0，
把x=7代入③得：z=−8，
则方程组的解为x=7y=0z=−8，
故答案为x=7y=0z=−8．
14.【答案】5，6，4
【解析】略
15.【答案】m=−853n=−23；
x=2y=2z=4
【解析】(1)3m−4n=7①9m−10n+25=0②，
②−①×3解得n=−23，
将n=−23代入①得，3m+4×23=7，
解得：m=−853，
∴m=−853n=−23；
(2)x+y+z=8①2x−y+z=6②−x+2y−z=−2③，
①−②得，−x+2y=2④，
将④代入③解得：z=4，
将z=4代入①得x+y+4=8⑤，
④+⑤得3y=6，
解得：y=2，
将y=2代入④解得x=2，
∴原方程组的解为：x=2y=2z=4．
(1)根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解；
(2)①−②得，−x+2y=2④，将④代入③得，求得z=4，将z=4代入①得，x+y+4=8⑤，④+⑤得，求得y=2，进而求得x=2，即可求解．
本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键．
16.【答案】x=−0.5y=1.5；
x=4y=3；
x=10y=9z=7
【解析】(1)2x+4y=5①x=1−y②，
把②代入①得：2(1−y)+4y=5，
解得：y=1.5，
把y=1.5代入②得：x=1−1.5=−0.5，
∴原方程组的解为：x=−0.5y=1.5；
(2)2x−5y=−7①4x+3y=25②，
①×2得：4x−10y=−14③，
②−③得：13y=39，
解得：y=3，
把y=3代入①得：2x−15=−7，
解得：x=4，
∴原方程组的解为：x=4y=3；
(3)2x+y+z=36①x−y=1②2x−y+z=18③，
①−③得：2y=18，
解得：y=9，
把y=9代入②得：x−9=1，
解得：x=10，
把x=10，y=9代入③得：20−9+z=18，
解得：z=7，
∴原方程组的解为：x=10y=9z=7．
(1)利用代入消元法进行计算，即可解答；
(2)利用加减消元法进行计算，即可解答；
(3)利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】x=3y=−4z=5．
【解析】解：x−y−z=2①x+5y+7z=18②x−y+2z=17③，
②−①得：6y+8z=16，
即3y+4z=8④，
③−①得：3z=15，
解得：z=5，
把z=5代入④得：3y+20=8，
解得：y=−4，
把y=−4，z=5代入①得：x+4−5=2，
解得：x=3，
∴原方程组的解为：x=3y=−4z=5．
利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了解三元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】x=−3y=−8；
x=0y=13z=1
【解析】(1)将原方程组整理得：4x−3y=12①3x−y=−1②，
②×3得：9x−3y=−3③，
①−③得：−5x=15，
解得x=−3，
把x=3代入②，得−9−y=−1，
解得y=−8，
∴原方程组的解为x=−3y=−8；
(2)x+3y+2z=3①2x−3y−z=−2②4x+3y−3z=−2③，
①+②得3x+z=1④，
②+③得6x−4z=−4，即3x−2z=−2⑤，
④−⑤得3z=3，
解得z=1，
把z=1代入④得3x+1=1，
解得x=0，
把x=0，z=1代入①得0+3y+2=3，
解得y=13，
∴原方程组的解为x=0y=13z=1．
(1)先整理，再用加减消元法进行运算即可；
(2)先运用加减消元法把三元一次方程组化成二元一次方程组，再运用代入消元法进行运算即可．
本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
19.【答案】解：∵在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=−2；当x=−1时，y=20；当x=2时，y=−10；
∴a+b+c=−2a−b+c=204a+2b+c=−10，
解得，a=1b=−11c=8，
∴y=x2−11x+8，
当x=−2时，y=(−2)2−11×(−2)+8=34，
即x=−2时，y的值是34．
【解析】根据在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=−2；当x=−1时，y=20；当x=2时，y=−10；可以求得a、b、c的值，从而可以得到x=−2时，y的值．
本题考查解三元一次方程组，解答本题的关键是明确解三元一次方程组的方法．
20.【答案】解：∵在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=−2；当x=−1时，y=20；当x=2时，y=−10；
∴a+b+c=−2a−b+c=204a+2b+c=−10，
解得，a=1b=−11c=8，
∴y=x2−11x+8，
当x=−2时，y=(−2)2−11×(−2)+8=34，
即x=−2时，y的值是34．
【解析】根据在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=−2；当x=−1时，y=20；当x=2时，y=−10；可以求得a、b、c的值，从而可以得到x=−2时，y的值．
本题考查解三元一次方程组，解答本题的关键是明确解三元一次方程组的方法．