2025-2026学年山东省济南市章丘区九年级（上）第一次质检数学试卷-学生用卷

这是一份2025-2026学年山东省济南市章丘区九年级（上）第一次质检数学试卷-学生用卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A. x2+3x=(x−5)2B. 2x2−xy=2
C. x−1x=1D. x2−bx=1(b为常数)
2.已知2x=3y，则下列比例式成立的是( )
A. x2=3yB. x2=y3C. x3=y2D. xy=23
3.矩形的对角线长为10，其中一边长为6，则该矩形的面积为( )
A. 60B. 48C. 40D. 24
4.某校教学楼示意图如图，教学楼围出一块长30m，宽20m的矩形区域，中间是绿化区(阴影部分)，三面有等宽的道路，矩形区域内道路的面积正好与绿化区的面积相等.设道路的宽度为x m，则可列方程( )
A. (30−x)(20−x)=12×30×20B. 30x+2×20x=12×30×20
C. (30−2x)(20−x)=12×30×20D. (30−x)(20−2x)=12×30×20
5.如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE=AD，连接EC.若∠ADE=36∘，则∠DEC的度数为( )
A. 72∘
B. 54∘
C. 50∘
D. 48∘
6.关于x的方程(a−2)x2−3x−1=0有实数根，则a满足( )
A. a≥−14B. a≥−1，且a≠2
C. a≥−14且a≠2D. a≠2
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60∘，M，N分别为BC，OC的中点，若AD=4 3，则MN的长为( )
A. 4
B. 2
C. 8
D. 6
8.某学校食堂准备了A，B，C，D四种营养套餐，如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF.若AC=2，CG= 3，则CF的长为( )
A. 52
B. 2
C. 3
D. 72
10.定义新运算：a⊗b=a2−b(a≤0)−a+b(a>0)，例如：−2⊗4=(−2)2−4=0，2⊗3=−2+3=1.若x⊗1=−34，则x的值为( )
A. ±12B. 12或74C. −12D. −12或74
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率(精确到0.01)大约是 .
12.如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点A，B，C.若AC=52cm，则AB的长是 cm.
13.已知等腰三角形ABC的底边长为3，另两边长恰好是关于x的一元二次方程kx2−2(k+3)x+12=0的两根，则△ABC的周长为 .
14.小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在将其化为一般式的过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在将其化为一般式的过程中过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是−2和−5.则原方程正确的解是 .
15.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，给出下列结论：①PD= 2EC；②四边形PECF的周长为8；⑧△APD一定是等腰三角形；④AP=EF；⑤ EF的最小值为2 2，其中正确结论的序号为______.
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
解方程：
(1)x2−4x=−2；
(2)12x2−2 2x−12=0；
(3)(2x−1)2−4x+2=0；
(4)x2−3x−18=0.
17.(本小题6分)
如图，E为矩形ABCD的边BC上的点，连接AE，AD=AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F.求证：AB=DF.
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE//AC，DF//BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF的周长．
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+4k−3=0.
(1)若x1+x2−x1x2=0，求k的值；
(2)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根.
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AD=5，BD=6，则OE=______.
21.(本小题8分)
甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好.
(1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为______.
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率.
22.(本小题8分)
小袁作为大学生返乡的新农人，致力于科技种菜.如图是小袁要修建的一个长方形蔬菜大棚，蔬菜大棚的一边靠墙，墙长22m，其余三边用竹篱笆围，竹篱笆的总长度为45m，围成的长方形蔬菜大棚四周没有空隙.
(1)若围成的蔬菜大棚的面积为250m2，则蔬菜大棚的长和宽各应为多少米？
(2)围成的蔬菜大棚的面积能达到260m2吗？如果能，写出计算过程；如果不能，说明理由.
23.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠A=90∘，AB=12cm，CD=15cm，AD=6cm.点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2cm/秒的速度向点D运动.规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动.设点Q运动的时间为t秒.
(1)直接写出边BC的长为______cm；
(2)当四边形APQD是矩形时，求t的值；
(3)在点Q运动过程中，当△BCQ是等腰三角形时，求t的值；
(4)在点P，Q运动过程中，当PQ=BC时，直接写出t的值.
24.(本小题12分)
我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克.
(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
①每千克茶叶应降价多少元？
②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由.
25.(本小题12分)
问题背景：如图，在正方形ABCD中，边长为4.点M，N是边AB，BC上两点，且BM=CN=1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O.
(1)探索发现：探索线段DN与CM的关系，并说明理由；
(2)探索发现：若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
(3)拓展提高：延长CM至P，连接BP，若∠BPC=45∘，请直接写出线段PM的长.
试验次数
100
300
500
1000
1600
2000
“有2个人同月过生日”的次数
79
229
385
781
1251
1562
“有2个人同月过生日”的频率
0.79
0.763
0.77
0.781
0.782
0.781