九年级上学期数学压轴必考题型——锐角三角函数练习（含答案）

这是一份九年级上学期数学压轴必考题型——锐角三角函数练习（含答案），共50页。
1．（2020秋•桐城市期末）如图，平面直角坐标系中的点P的坐标为（2，4），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春•温县期末）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（ ）
A．2千米B．2千米C．2千米D．千米
3．（2020秋•八步区期末）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan∠DAC的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020秋•高平市期末）如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2020秋•南岸区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．2+B．2+1C．2+D．2+2
7．（2021春•沙坪坝区月考）某网红地惊现震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡．小丽想了解该LED屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30米到达台阶底端D点，在D点测得屏幕下端点B的仰角为27°，然后她再沿着i＝4：3长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达F点，在F点测得屏幕上端点A的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且E、F和C、D、G分别在同一水平线上），则该LED屏AB的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）
A．86.2米B．114.2米C．126.9米D．142.2米
8．（2020秋•北碚区校级期末）北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为i＝1：0.75，EF的坡角为45°，小王想利用所学知识测量基站顶部A到地面的距离，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为37°，在F点处测得基站顶部A的仰角为60°，则基站顶部A到地面的距离为（ ）（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．21.5米B．21.9米C．22.0米D．23.9米
二．填空题
9．（2020秋•崇川区期末）如图，若A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则∠BOD的余弦值为 ．
10．（2021春•爱辉区期末）如图1是公园某处的几何造型，如图2是它的示意图，正方形的一部分在水平面EF下方，测得DE＝2米，∠CDF＝45°，露出水平面部分的材料长共合计140米（注：共8个大小一样的正方形造型，不计损耗），点B到水平面EF的距离为 米．
11．（2020秋•锡山区期末）如图的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为 ．
12．（2020秋•覃塘区期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D都是小正方形的顶点，AB与CD相交于点P，则sin∠BPD的值是 ．
13．（2020秋•抚州期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cs∠BOD＝ ．
14．（2020秋•蒙城县期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tanB的值为 ．
15．（2020秋•新吴区期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin＝ ．
16．（2021春•瑞安市月考）如图，在河对岸有一等腰三角形场地EFG，FG＝EG，为了估测场地的大小，在笔直的河岸上依次取点C，D，B，A，使FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，点E，G，D在同一直线上，在D观测F后，发现∠FDC＝∠EDA，测得CD＝12米，DB＝6米，AB＝12米，则FG＝ 米．
17．（2021•新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN＝，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为 ．
18．（2021•乐山）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为 ．
三．解答题
19．（2020秋•安丘市期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．
类比这种方法，计算tan22.5°（画图并写出过程）．



20．（2021•西藏）如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B两点，使A、B、D三点在同一条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°，小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°，且AB＝10m．求建筑物CD的高度．
（拉姆和小明同学的身高忽略不计．结果精确到0.1m，≈1.732）
21．（2021•淮安）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）



22．（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）


23．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，c22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）


24．（2020秋•文登区期末）生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳蓬，如图1．现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳蓬．如图2，AB表示窗户的高，CD表示遮阳蓬，且AB＝1.5m，遮阳蓬与窗户所在平面的夹角∠BCD等于75°．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳蓬的宽度CD．
25．（2021•荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？



26．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．


27．（2021•武汉模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，CA平分∠BCE，延长EC交⊙O于点D，连接DO并延长交AB于点F．
（1）求证：AO⊥BD；
（2）已知tan∠ACE＝，求tan∠AFO．




28．（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．
人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 锐角三角函数
一．选择题
1．（2020秋•桐城市期末）如图，平面直角坐标系中的点P的坐标为（2，4），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（ ）
A．B．C．D．
【思路引导】如图，过点P作PH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OP，可得结论．
【完整解答】解：如图，过点P作PH⊥x轴于H．
∵P（2，4），
∴OH＝2，PH＝4，
∴OP＝＝＝2，
∴sinα＝＝＝，
故选：D．
2．（2021春•温县期末）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（ ）
A．2千米B．2千米C．2千米D．千米
【思路引导】过C作CD⊥AB于D，先证∠BAC＝∠BCA，得BC＝AB＝4千米，再由含30°角的直角三角形的性质求出CD的长即可．
【完整解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，
则∠CDB＝90°，
由题意得：∠BAC＝15°，∠CBD＝30°，AB＝4千米，
∴∠BCA＝∠CBD﹣∠BAC＝30°﹣15°＝15°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴BC＝AB＝4千米，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
∴CD＝BC＝2（千米），
即该建筑物离地面的高度为2千米，
故选：A．
3．（2020秋•八步区期末）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan∠DAC的值为（ ）
A．B．C．D．
【思路引导】设AC＝a，通过解直角三角形用含a代数式分别表示出BC，CD的值，然后作比求解．
【完整解答】解：设AC＝a，
∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2a，
∵tan∠ABC＝＝，
∴BC＝AC＝a，
∵AB＝BD＝2a，
∴CD＝BC+BD＝（2+）a，
∴tan∠DAC＝＝＝2+．
故选：C．
4．（2020秋•高平市期末）如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（ ）
A．B．C．D．
【思路引导】如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则AH＝5a，利用勾股定理求出AB，可得结论．
【完整解答】解：如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则AH＝5a，
在Rt△AHB中，AB＝＝＝a，
∴sin∠BAC＝＝，
故选：C．
5．（2020秋•南岸区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
【思路引导】过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AH，可得结论．
【完整解答】解：过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝4，
∴AH＝＝＝3，
∴sinB＝＝，
故选：C．
6．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．2+B．2+1C．2+D．2+2
【思路引导】如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，证明△DAB∽△TAC，推出＝＝，推出TC＝2，再根据CD≤DT+CT，可得CD≤1+2，由此即可解决问题．
【完整解答】解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，
∵＝＝2，
∴＝，
∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC，＝
∴∠DAB＝∠TAC，
∵＝，
∴△DAB∽△TAC，
∴＝＝，
∴TC＝2，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2，
∴CD的最大值为1+2，
故选：B．
7．（2021春•沙坪坝区月考）某网红地惊现震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡．小丽想了解该LED屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30米到达台阶底端D点，在D点测得屏幕下端点B的仰角为27°，然后她再沿着i＝4：3长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达F点，在F点测得屏幕上端点A的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且E、F和C、D、G分别在同一水平线上），则该LED屏AB的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据sin27°≈0.45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）
A．86.2米B．114.2米C．126.9米D．142.2米
【思路引导】作EM⊥GC于M，设FE交AC于N，则EN＝MC＝DM+DC，EM＝NC＝NB+BC，由三角函数定义求出BC，由坡度求出EM＝28米，MD＝21米，得出CM＝51米，FN＝96米，再由三角函数定义求出AN，即可得出答案．
【完整解答】解：作EM⊥GC于M，设FE交AC于N，如图所示：
则EN＝MC＝DM+DC，EM＝NC＝NB+BC，
由题意得：∠AFN＝50°，FE＝45米，DC＝30米，DE＝35米，∠BDC＝27°，ED的坡度i＝4：3，
∵tan∠BDC＝，
∴BC＝DC×tan27°≈30×0.51＝15.3（米），
∵DE的坡度为4：3＝，
∴EM＝NC＝ED＝28（米），DM＝DC＝21（米），
∴EN＝MC＝DM+DC＝21+30＝51（米），
∴FN＝FE+EN＝45+51＝96（米），
∵tan∠AFN＝，
∴AN＝FN×tan50°≈96×1.19≈114.24（米），
∴AB＝AC﹣BC＝AN+NC﹣BC＝114.24+28﹣15.3≈126.9（米）．
故选：C．
8．（2020秋•北碚区校级期末）北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为i＝1：0.75，EF的坡角为45°，小王想利用所学知识测量基站顶部A到地面的距离，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为37°，在F点处测得基站顶部A的仰角为60°，则基站顶部A到地面的距离为（ ）（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．21.5米B．21.9米C．22.0米D．23.9米
【思路引导】延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，根据锐角三角函数即可求出结果．
【完整解答】解：如图，延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，
∵CD的坡度为i＝1：0.75＝，
∴＝，
设DG＝4k，CG＝3k，则CD＝5k，
∴5k＝15，
∴k＝3，
∴DG＝12，CG＝9，
∵EF的坡角为45°，EF＝3，
∴EH＝FH＝3，
∵四边形BNHF和四边形DGMN是矩形，
∴BF＝NH＝DE，BN＝FH＝3，DN＝MG，NM＝DG＝12，
∴BM＝BN+NM＝15，
在Rt△BCM中，∠BCM＝37°，
MC＝MG+CG＝DN+CG＝NH+HE+DE+CG＝2BF+3+9＝2BF+12，
∴BM＝CM•tan∠BCM，
∴15＝（2BF+12）×0.75，
∴BF＝4，
在Rt△ABF中，∠AFB＝60°，
∴AB＝BF•tan60°＝4≈6.92（米），
∴AM＝AB+BM＝6.92+15≈21.9（米）．
故选：B．
二．填空题
9．（2020秋•崇川区期末）如图，若A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则∠BOD的余弦值为 ．
【思路引导】如图，取格点T，连接CT．DT．利用平行线的性质证明∠BOD＝∠TCD，求出CT，CD，可得结论．
【完整解答】解：如图，取格点T，连接CT．DT．
观察图象可知，CT∥AB，CT⊥DT，
∴∠BOD＝∠TCD，∠CTD＝90°，
∵CT＝＝，CD＝＝5，
∴cs∠BDO＝cs∠TCD＝＝＝，
故答案为：．
10．（2021春•爱辉区期末）如图1是公园某处的几何造型，如图2是它的示意图，正方形的一部分在水平面EF下方，测得DE＝2米，∠CDF＝45°，露出水平面部分的材料长共合计140米（注：共8个大小一样的正方形造型，不计损耗），点B到水平面EF的距离为 米．
【思路引导】延长AE交CD的延长线于T，连接BT交DE于J．设AB＝m米．解直角三角形求出JT，ET，TD，构建方程求出m，再求出BT，可得结论．
【完整解答】解：延长AE交CD的延长线于T，连接BT交DE于J．设AB＝m米．
∵四边形ABCT是正方形，
∴AB＝BC＝CT＝TA＝m米，∠BTC＝45°，
∵∠CDF＝∠EDT＝45°，
∴∠TJD＝90°，
∵∠ETD＝90°，
∴∠TED＝∠TDE＝45°，
∴TE＝DT，
∵DE＝2米，TJ⊥DE，
∴EJ＝JD＝1（米），
∴JT＝DE＝1（米），
∴ET＝DT＝（米），
由题意，AB+BC+AE+CD＝140÷8＝17.5，
∴2m+2（m﹣）＝17.5，
∴m＝+，
∴BT＝m＝（+1）（米），
∴BJ＝BT﹣TJ＝（米）．
故答案为：
11．（2020秋•锡山区期末）如图的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为 ．
【思路引导】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，CH，可得结论．
【完整解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝2，BC＝5，
∴S△ABC＝×2×4＝•BC•AH，
∴AH＝，
∴BH＝＝＝，
∴CH＝BC﹣BH＝5﹣＝，
∴tan∠ACB＝＝＝，
故答案为：．
12．（2020秋•覃塘区期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D都是小正方形的顶点，AB与CD相交于点P，则sin∠BPD的值是 ．
【思路引导】连接AE、BE．通过平行四边形的判定说明AE∥CD，从而得到∠EAB＝∠DPB．再利用勾股定理的逆定理判断△AEB的形状，最后求出sin∠BPD的值．
【完整解答】解：如图所示：连接AE、BE．
∵AC＝ED＝1，AC∥ED，
∴四边形AEDC是平行四边形．
∴AE∥CD．
∴∠EAB＝∠DPB．
∵BE＝AE＝＝，
AB＝＝＝2．
∴AB2＝AE2+BE2．
∴△AEB是等腰直角三角形．
∴∠EAB＝∠DPB＝45°．
∴sin∠BPD＝sin45°＝．
故答案为：．
13．（2020秋•抚州期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cs∠BOD＝ ．
【思路引导】连接CE、DE，利用正方形对角线的性质先说明CE∥AB、∠CED＝90°，这样把求∠BOD的余弦值转化为求∠ECD的余弦值，在在Rt△CED中，可利用勾股定理和直角三角形的边角关系求解．
【完整解答】解：如图，连接CE、DE．
∵AB、CE、ED都是正方形的对角线，
∴∠CEF＝∠ABF＝∠OED＝∠CEO＝45°．
∵∠CEF＝∠ABF，
∴CE∥AB．
∴∠ECD＝∠BOD．
∵∠OED＝∠CEO＝45°，
∴∠CED＝90°．
在Rt△CED中，
cs∠ECD＝＝＝＝，
∴cs∠BOD＝．
故答案为：
14．（2020秋•蒙城县期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tanB的值为 ．
【思路引导】如图，取格点E，连接AE，EC，则B，A，E共线，∠E＝90°．利用勾股定理求出EC，EB，可得结论．
【完整解答】解：如图，取格点E，连接AE，EC，则B，A，E共线，∠E＝90°．
∵EC＝＝，BE＝＝2，
∴tanB＝＝．
故答案为：．
15．（2020秋•新吴区期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin＝ ．
【思路引导】如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．证明CB＝CT，利用等腰三角形的性质求解即可．
【完整解答】解：如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．
∵BC＝＝5，CT＝＝5，
∴CB＝CT，
∵BH＝HT，
∴∠HCA＝∠HCB，CH⊥BT，
∵HT＝，
∴sin＝＝＝，
故答案为：．
16．（2021春•瑞安市月考）如图，在河对岸有一等腰三角形场地EFG，FG＝EG，为了估测场地的大小，在笔直的河岸上依次取点C，D，B，A，使FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，点E，G，D在同一直线上，在D观测F后，发现∠FDC＝∠EDA，测得CD＝12米，DB＝6米，AB＝12米，则FG＝ 8 米．
【思路引导】过点G作GM⊥AE于G．GN⊥EF于N，过点D作DJ⊥l，过点F作FT⊥AE于T．利用相似三角形的性质证明DF＝FG，再证明∠DEA＝∠DEF，推出EN＝EM＝FN，证明△EGM≌△EGN（AAS），推出EM＝EN，设AM＝m，在Rt△ETF中，利用勾股定理求出方程求出m，即可解决问题．
【完整解答】解：过点G作GM⊥AE于G．GN⊥EF于N，过点D作DJ⊥l，过点F作FT⊥AE于T．
∵FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，
∴∠FCD＝∠EAD＝90°，BG∥AE，
∵∠FDC＝∠EDA，
∴△FCD∽△EAD，△GBD∽EAD，
∴＝＝2，＝＝，
∴DF＝2DG，DE＝3DG，
∴EG＝FG＝2DG，
∴FD＝FG，
∴∠FDG＝∠FGD＝∠GFE+∠GEF，
∵GE＝GF，
∴∠GEF＝∠GFE，
∵∠FDJ+∠FDC＝90°，∠EDJ+∠EDA＝90°，∠FDC＝∠EDA，
∴∠FDJ＝∠EDJ，
∴2∠EDJ＝2∠GEF，
∴∠EDJ＝∠DEF，
∵DJ∥AE，
∴∠EDJ＝∠AED，
∴∠DEA＝∠DEF，
∵GM⊥AE，GN⊥EF，
∴∠EMG＝∠ENG＝90°，
∵EG＝EG，
∴△EGM≌△EGN（AAS），
∴EM＝EN，
∵GE＝GF，GN⊥EF，
∴FN＝EN＝EM，
∵四边形ABGM，四边形CFTA都是矩形，
∴AB＝GM＝CD＝6（米），
∵DF＝EG，∠FCD＝∠GME＝90°，
∴Rt△FCD≌Rt△EMG（HL），
∴CF＝EM，
设AM＝m米则AE＝3m米，EM＝CF＝AT＝FN＝EN＝2m米，
∴ET＝AE﹣AT＝m（米），
在Rt△EFT中，FT2+ET2＝EF2，
∴302+m2＝（4m）2，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴FN＝4（米），
∵GN＝GM＝12米，
∴FG＝＝＝8（米），
故答案为：8．
17．（2021•新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN＝，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为 2 ．
【思路引导】作NP⊥AB于点P，设AM长为x，用含x代数式表示出ON，然后通过配方求解．
【完整解答】解：作NP⊥AB于点P，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AB＝＝＝5，
设AM长为x，则BM＝5﹣x，
∵tan∠MAN＝＝，
∴AN＝2MN，
∴AM＝＝MN，
∴MN＝AM＝x，AN＝2MN＝x，
同理，在Rt△ANP中可得NP＝＝x，AP＝2NP＝x，
∵O为BM中点，
∴BO＝BM＝，
∴AO＝AB﹣BO＝，
∴OP＝AO﹣AP＝﹣x＝，
在Rt△ONP中，由勾股定理得ON2＝OP2+NP2，
即ON2＝（）2+（x）2＝（25x2﹣150x+3125）＝（x2﹣6x+125）＝（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，ON2取最小值为20，
∴ON最小值为2．
故答案为：2．
18．（2021•乐山）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为 ．
【思路引导】当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，由tan∠CAM＝tan∠BCG，得到y＝﹣（n﹣3）（n+2），进而求解．
【完整解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，
∵直线y＝﹣2∥x轴，故∠ABN＝α，
当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，
故BN最小，即BG最大时，tanα最大，
即当BG最大时，sinα的值最大，
设BG＝y，
则AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，
∴∠CAM＝∠BCG，
∴tan∠CAM＝tan∠BCG，
∴，即，
∴y＝﹣（n﹣3）（n+2），
∵﹣＜0，
故当n＝（3﹣2）＝时，y取得最大值，
故n＝，
故答案为：．
三．解答题
19．（2020秋•安丘市期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．
类比这种方法，计算tan22.5°（画图并写出过程）．
【思路引导】如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．设AC＝1，求出CD，可得结论．
【完整解答】解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．
∵∠ABC＝45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，
∴∠D＝22.5°，
设AC＝1，则，
∴CD＝CB+BD＝，
∴tan22.5°＝tanD＝＝＝．
20．（2021•西藏）如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B两点，使A、B、D三点在同一条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°，小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°，且AB＝10m．求建筑物CD的高度．
（拉姆和小明同学的身高忽略不计．结果精确到0.1m，≈1.732）
【思路引导】连接AC、BC，由锐角三角函数定义求出BD＝CD，AD＝CD，再由AB＝AD﹣BD，即可求解．
【完整解答】解：连接AC、BC，如图所示：
由题意得：∠A＝30°，∠DBC＝45°，AB＝10m，
在Rt△BDC中，tan∠DBC＝＝tan45°＝1，
∴BD＝CD，
在Rt△ACD中，tan∠DAC＝＝tan30°＝，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD﹣BD＝CD﹣CD＝10（m），
解得：CD＝5+5≈13.7（m），
答：建筑物CD的高度约为13.7m．
21．（2021•淮安）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．
（参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【思路引导】过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可．
【完整解答】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．
则AE＝50m，
在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），
在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），
∴CD＝CE+DE≈26.5+42＝68.5（m）．
答：铁塔CD的高度约为68.5m．
22．（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
【思路引导】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，在Rt△ACD中，可求出CD、AD，根据外角的性质可求出∠B的度数，在Rt△BCD中求出BC即可；
（2）计算AC+BC和AB的长，计算可得答案．
【完整解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，
∴CD＝AC＝300（m），
AD＝AC＝300（m），
∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，
∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，
∴CD＝BD＝300（m），
BC＝CD＝300（m），
答：景点B和C处之间的距离为300m；
（2）由题意得．
AC+BC＝（600+300）m，
AB＝AD+BD＝（300+300）m，
AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）
≈204.6
≈205（m），
答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．
23．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，c22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）
【思路引导】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，易得四边形BCFE是矩形，则BE＝CF，EF＝BC＝150 m，设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，CD＝≈xm，根据题意得到2（x+150）＝+150，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．
【完整解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，
∵BC⊥AB，
∴四边形BCFE是矩形，
∴BE＝CF，EF＝BC＝150 m，
设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，
在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，
∴AD＝2DE＝2（x+150）m，
在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，
∴CD＝≈＝xm，
∵AD＝CD+BC，
∴2（x+150）＝+150，
解得x＝250（m），
∴DF＝250 m，
∴DE＝250+150＝400 m，
∴AD＝2DE＝800 m，
∴CD＝800﹣150＝650 m，
由勾股定理得AE＝＝＝400 m，
BE＝CF＝＝＝600 m，
∴AB＝AE+BE＝400+600≈1293（m），
答：公园北门A与南门B之间的距离约为1293 m．
24．（2020秋•文登区期末）生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳蓬，如图1．现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳蓬．如图2，AB表示窗户的高，CD表示遮阳蓬，且AB＝1.5m，遮阳蓬与窗户所在平面的夹角∠BCD等于75°．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳蓬的宽度CD．
【思路引导】过点D作DE⊥AC于点E，解直角三角形求出EC，DE，利用勾股定理求解即可．
【完整解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，
由题意，∠DBC＝60°，∠BAD＝30°，AB＝1.5m，
∵∠DBC＝∠BAD+∠ADB＝60°，
∴∠BDA＝∠ADB＝30°，
∴AB＝BD＝1.5m，
∴BE＝BD•cs60°＝0.75（m），DE＝BE＝0.75（m），
∵∠BCD＝75°，∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴AD＝AC＝2DE＝1.5，
∴EC＝AC﹣AE＝1.5﹣1.5﹣0.75＝1.5﹣2.25，
∴CD＝＝＝．
25．（2021•荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
【思路引导】（1）通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P到航线AB的最低距离PC，与暗礁的半径比较即可得出答案；
（2）规划新航线BD，使小岛P到新航线的距离PE等于暗礁的半径，进而求出∠PBD，进而求出∠CBD，确定方向角．
【完整解答】解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，
设PC＝x，则BC＝x，
在Rt△PAC中，
∵tan30°＝＝＝，
∴x＝10+10，
∴PA＝2x＝20+20，
答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；
（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，
当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，
有sin∠PBE＝＝＝，
∴∠PBD＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
90°﹣15°＝75°
即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．
26．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．
【思路引导】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．
【完整解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，
在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH＝，cs∠BAH＝，
∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，
在Rt△BCH中，
∵tan∠BCH＝，
∴CH＝＝，
又∵CA＝CH+AH，
∴257＝+AH，
所以AH＝，
∴AB＝≈＝168（海里），
答：AB的长约为168海里．
27．（2021•武汉模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，CA平分∠BCE，延长EC交⊙O于点D，连接DO并延长交AB于点F．
（1）求证：AO⊥BD；
（2）已知tan∠ACE＝，求tan∠AFO．
【思路引导】（1）根据BC是⊙O的直径，得到BD⊥DE，利用CA平分∠BCE和OA＝OC，求出∠OAC＝∠ACE，进而得到AO∥DE，即可证明AO⊥BD；
（2）延长DF交⊙O于点G，连接BG，过点O作OT⊥AB，设AH＝3a，AO＝OB＝r，根据勾股定理求出r＝a，以及OH的长，再利用相似算出AF的长，根据锐角三角函数计算出TO和AT，进而算出FT即可求出tan∠AFO．
【完整解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥DE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵CA平分∠BCE，
∴∠ACE＝∠OCA，
∴∠OAC＝∠ACE，
∴AO∥DE，
∴AO⊥BD；
（2）解：延长AO交BD于点H，延长DF交⊙O于点G，连接BG，过点O作OT⊥AB于点T，
∵tan∠ACE＝tan∠ABD＝，
∴设AH＝3a，AO＝OB＝r，则BH＝2a，OH＝3a﹣r，
在Rt△ABC中，r2＝（2a）2+（3a﹣r）2，
解得r＝a，
∴OH＝a，
∵BG是直径，
∴∠GBD＝90°，
∴AH∥GB，
∴△DHO∽△DBG，△GBF∽△OAF，
∴＝＝，BG＝a，
∴＝＝，
∴AF＝AB＝a，
∵TO＝AOsin∠BAH＝a，AT＝AOcs∠BAH＝a，
∴FT＝AF﹣AT＝a，
∴tan∠AFO＝＝．
28．（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求D处的竖直高度；
（2）求基站塔AB的高．
【思路引导】（1）通过作垂线，利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；
（2）设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．
【完整解答】解：（1）如图，过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点E、F，过点D作DM⊥CF，垂足为M，
∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
∴＝，
即＝，
设DM＝5k米，则CM＝12k米，
在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，
CM2+DM2＝CD2，
即（5k）2+（12k）2＝132，
解得k＝1（米），
∴DM＝5（米），CM＝12（米），
答：D处的竖直高度为5米；
（2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，
设DE＝12a米，则BE＝5a米，
又∵∠ACF＝45°，
∴AF＝CF＝（12+12a）米，
∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，
在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，
∵tan∠ADE＝tan53°≈，
∴＝，
解得a＝，
∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），
BE＝5a＝（米），
∴AB＝AE﹣BE＝28﹣＝（米），
答：基站塔AB的高为米．