2025-2026学年广东省广州市铁一中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年广东省广州市铁一中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若全集为U=R，集合A=x|x0，则下列关系正确的是( )
A. A⊆BB. B⊆AC. ∁UA⊆BD. B⊆∁UA
2.函数fx的定义域为R，对任意的x1,x2∈1,+∞x1≠x2,有fx2-fx1x2-x10，
因为AB=BC=1,AD=2且BC//AD，可得B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,m)，
则BC=(0,1,0),CD=(-1,1,0),PC=(1,1,-m)，
设平面PBC的法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1⋅BC=y1=0n1⋅PC=x1+y1-mz1=0,
取x1=m，可得y1=0,z1=1，所以n1=(m,0,1)，
设平面PCD的法向量为n2=(x2,y2,z2)，则n2⋅CD=-x2+y2=0n2⋅PC=x2+y2-mz2=0,
取y2=m，可得x2=m,z2=2，所以n2=(m,m,2)，
因为二面角B-PC-D 的平面角为5π6，
所以|cs n1,n2|=|n1⋅n2||n1||n2|=|m2+2| m2+1× m2+m2+4=|cs 5π6|= 32，
整理得m4+m2-2=0，解得m2=1，
又因为m>0，所以m=1，即PA的长为1．

19.解：(1)由题意结合空间向量的线性运算化简得AB⋅CD+2AC⋅BD+3AD⋅BC=
AB⋅AD-AC+2AC⋅AD-AB+3AD⋅AC-AB，
=-2AB⋅AD-3AB⋅AC+5AC⋅AD，
因为AB⊥AC,AC⊥AD,AB⊥AD，所以AB⋅AC=0,AC⋅AD=0,AB⋅AD=0，
即AB⋅CD+2AC⋅BD+3AD⋅BC=-2AB⋅AD-3AB⋅AC+5AC⋅AD=0，
故该三棱锥是完美三棱锥，
(2)该三棱锥不是完美三棱锥，
①▵ABD为正三角形，AB=AC=2，
故AB⋅AD=2×2×12=2，AB=AC=2=AD=BD，又CB=CD=2 2，
得到AB2+AC2=BC2，由勾股定理逆定理得AB⊥AC，
即AB⋅AC=0，同理可得AC⋅AD=0，
所以，
则该三棱锥不是完美三棱锥．
②如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则B(2,0,0),D1, 3,0，
因为CB=3，由余弦定理得cs∠BAC=4+4-98=-18，
所以AB⋅AC=-12，AB⋅AD=2，
因为该三棱锥A-BCD为完美三棱锥，
所以AB⋅CD+2AC⋅BD+3AD⋅BC=
-2AB⋅AD-3AB⋅AC+5AC⋅AD=-4+32+20cs∠CAD=0，
解得cs∠CAD=18，由余弦定理得cs∠CAD=4+4-CD28=18，解得CD= 7，
设C(x,y,z)，CA2=x2+y2+z2=4CB2=(x-2)2+y2+z2=9CD2=(x-1)2+y- 32+z2=7，解得x=-14y= 34z=154,
即C-14, 34,154，设平面ACD的一个法向量m=x1,y1,z1，
则m⋅AD=-x1+ 3y1=0m⋅AC=-14x1+ 34y1+154z1=0，不妨取x1= 3，则m= 3,-1,0，
设平面BCD的一个法向量n=x2,y2,z2，
则n⋅BD=-x2+ 3y2=0n⋅BC=-94x2+ 34y2+154z2=0,
不妨取x2= 3，则n= 3,1,815，
则csm,n=22× 2+8152=1517，
由图可知二面角A-CD-B为锐角，故二面角A-CD-B的余弦值为1517．